Тензор как оператор

Тензор как оператор. Пусть а —вектор, а л = р( — некоторая матрица символом яа мы будем обозначать тройку чисел 1, Ь , Ьз), образованную по правилу [c.615]

Из зависимостей (1.10) усматривается, что тензор можно рассматривать как оператор, переводящий вектор в некоторый другой. Наибольший интерес представляют векторы, претерпевающие при этом минимальные изменения. Эти так называемые главные (собственные) векторы тензора а удовлетворяют соотношению [c.9]

В (5.6.6) — метрический тензор V — оператор ковариантного дифференцирования по X при фиксированном у. Отметим, что матрица A(x-j ), рассматриваемая как функция аргумента является фундаментальным решением сопряженного оператора Q (V) = Q(-V). Используя известное [71] представление функции Макдональда K (z) в форме степенного ряда, можно показать, что при х у ядра j x - j ) имеют следуюш ий характер полярностей [c.158]

Таким образом, тензор можно рассматривать как оператор, который по определенному закону ставит в соответствие каждому вектору а новый вектор. Кроме того, этот оператор является линейным. Итак, выражение яа определяет некоторую линейную вектор-функцию вектора а. [c.616]

Для доказательства аналитичности Uq относительно т поступаем так же, как в п. 7 1, но вместо тензора Грина оператора А (дх) применим тензор [c.342]

Это существенный результат оператор преобразуется как оператор векторного поля (поля тензора первого ранга). В сокращенном виде [c.14]

Очевидно, что уравнение состояния должно быть инвариантным при изменении системы координат выбор последней фактически является соглашением, используемым для определения компонент векторов и тензоров. Если это уравнение записано в тензорной форме, оно всегда инвариантно при изменении системы координат. Действительно, в системе отсчета, избранной для наблюдения, тензоры остаются неизмененными при изменении системы координат, хотя их компоненты могут изменяться. Это становится очевидным сразу же, когда тензоры определяются как линейные операторы, поскольку такое определение не зависит от выбора системы координат. [c.58]

Возможно, имеет смысл обсудить в общих словах значение размерностей оператора. Если либо аргумент, либо значение оператора, либо и то и другое представляют собой размерные величины, оператор является размерным в том смысле, что единицы измерения, выбранные для аргумента (и/или значения), определяют аналитический вид оператора. Если оператор линеен (хорошим примером тому являются тензоры), можно строго определить его размерность например, размерность его значения поделить на размерность его аргумента. Таким образом, если значение оператора и его аргумент имеют одинаковые размерности, линейный оператор безразмерен. Нелинейные операторы безразмерны только тогда, когда как их аргументы, так и значения безразмерны, ибо только в этом случае их аналитический вид не зависит от выбора единицы измерения. [c.264]

Таким образом, между множеством возможных направлений вектора v в данной точке и множеством векторов напряжений fiv) существует линейная однородная зависимость. Как показано в приложении I, оператор, определяющий эту зависимость, является тензором. Этот тензор, который в дальнейшем будет обозначаться через t (или а), называется тензором напряжений. [c.18]

Предположим, что рассматриваемый класс механических задач таков, что можно произвести линеаризацию всех зависимостей по перемещениям и и по производным от ы в частности, любой из тензоров напряжений будет линейным оператором от и . Как видно из формулы (1.79), в этом случае t = ta, и для того чтобы зависимости (1.78), (1.81) были линейными по и, необходимо положить Vo = v, Gi = ki, следовательно, в линейном варианте теории все тензоры напряжений совпадут. Для того чтобы отличать тензор напряжений для этого линейного случая от других, будем использовать специальное обозначение or [c.20]

На основании соотношения (1 .37) тензор второго ранга (а ) можно определить как линейный оператор А, посредством которого произвольному вектору X ставится в соответствие некоторый вектор у. [c.397]

Если вектор х при преобразовании посредством тензора (аи), как линейного оператора, изменяет только свою величину в К раз, а направление его не меняется, то это направление называется главным направлением тензора а ц), а величина % называется главным значением тензора. [c.398]

Вспоминая, что оператор rot у может быть представлен как символическое векторное произведение оператора набла и вектора Рд н используя определение е-тензора, получим [c.213]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

Преобразование (95) может быть истолковано как ортогональное аффинное преобразование координат в четырехмерном пространстве (так называемом проективном пространстве), определяемое оператором или тензором (см. гл. 8) с соответствующей матрицей 4-го порядка (см. гл. 4). [c.47]

Для раскрытия конкретного содержания оператора Н необходимо построить функцию Грина (тензор Грина) для соответствующей краевой задачи. Если и (х, t) и / (х, t) — скалярные поля, то функцию Грина G (х, t т) определяют как решение уравнения [c.311]

В трехмерных задачах часто используется символический набла-оператор Гамильтона V, который рассматривается как вектор, компоненты которого представляют собой дифференциальные операторы Vi. Диадное произведение Vo есть градиент тензора о рассматривают также произведение oV, отличное от Vo например, если о — вектор, то набор компонентов oV представляет собой транспонированную матрицу по отношению к V о, а [c.212]

Наиболее широкое применение,в механике сплошной среды имеют тензоры второго ранга. "Как уже указывалось в 2 тен-зяр второго ранга есть линейный оператор, действующий в пространстве Эп по правилу [c.10]

Как линейный оператор в пространстве трехмерных векторов тензор А переводит главные оси тензора в главные оси [c.63]

Для обозначения оператора Гамильтона, действующего в актуальной конфигурации тела, можно использовать как знак V [9], так и V [36] в соответствии со второй формулой (1.12). В [38] используются оба обозначения, но это представляется нелогичным, так как V и V являются одним и тем же символическим вектором. В настоящей книге используется обозначение V в связи с тем, что оператор Гамильтона в актуальной конфигурации в основном используется для тензоров, определенных в переменных Эйлера. [c.24]

Рассмотрим далее операторное соотношение (1.142) в связи с тремя вариантами геометрических соотношений, введенных в разделе 1.4. Определим тензор-оператор деформаций ё как [c.95]

Тензор лучше всего наглядно представить как оператор, преобразующий векторы в векторы. Определить тензор означает задать правила, по которым работает оператор другими словами, аадавая какой-либо вектор в качестве входного для оператора, мы должны знать вектор, появляющийся в качестве выходного. Работа оператора демонстрируется следующим образом [c.20]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать ко нтра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров первые преобразуются к к сами координаты х (их принято обозначать с верхними индексами), а второе — как операторы дифференцирования д/дх (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как [c.58]

Сравнивая правые части равенств (12) и (13), замечаем, что векторы а и а" тождественно равны лишь в случае симметричного тензора, когда выпo ft яeт я условие (6). Скалярные произведения антисимметричного тензора справа и слева отличаются лишь знаком. Равенства (12) и (13) дают возможность использовать тензоры как некоторые операторы преобразования одних векторов в другие. [c.61]

Соотношение (2.5) показывает, что тензор S можно рассматривать как оператор, переводящий произвольный симметричный тензор второго ранга А в некоторый тензор В того же типа. В общем случае этот оператор искажает вид тензора, переводя, например, mapoBOii тензор в нешаровой и т. д. Характер указанного искажения может служить внутренней характеристикой сингоний и текстур. Несложный анализ с использованием соотношений (2.4), (1.26) и сказанного в 1 о групповом базисе приводит к следующему результату [c.138]

Для того чтобы применить условие иа скачке (XI. 2-6) к сингулярной поверхности второго порядка, возьмем V Чтобы упростить анализ, мы рассмотрим сингулярную поверхность уравнение которой имеет, скажем, вид f X,t) = 0, как трехмерную поверхность в четырехмерной области где — пространство времени, и, далее, рассмотрим как оператор частного дифференцирования в этом пространстве. Поскольку компоненты, соответствующие X и интерпретируются по-разному, мы различаем их в обозначении, записывая четырехмер-ный вектор как упорядоченную пару (v, и) и четырехмерный тензор как упорядоченную тройку (Т, t, ш). В качестве нормали п в (XI. 2-6) можно было бы взять (Grad/,/), но если мы еще разделим на Grad/ , то получим величину, проще поддающуюся интерпретации, а именно [c.331]

Неудача с построением самодуальной (антисамодуальной) величины в вещественной системе самоочевидна рассматривая как оператор в пространстве векторов — антисимметричных тензоров второго ранга, видим из ( ), что его квадрат ( ) = —1 обладает единственным собствеииым значением—], следовательно, сам оператор может обладать лишь собственными значениями г. [c.221]

Обозначим величины де1ди Рф /,у= 1, 2. 3. и рассмотрим оператор P=lPij% называемый тензором напряжений. Оператор Асимметричен, так как [c.237]

Правая часть равенства (5.12) называется девятичленной формой диадного произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким путем можно свести к девятичленной форме и любую диаду. Так как коэффициенты девятичленного представления диады являются однородными квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут преобразовываться так же, как составляющие тензора второго ранга [см. уравнение (5.10)]. И обратно, из каждого тензора второго ранга можно образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отноще-нии действия, производимого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор / можно записать таким образом, что будет ясно видна его диадная форма. Для этого мы введем единичную диаду 1 [c.169]

Обратное утверждение справедливо не всегда, а именно, не всякое дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как уравнения Эйлера в вариационной задаче для некоторого функционала. Для того, чтобы имелась такая возможность, дифференциальные операторы, входяище в дифференциальные уравнения, должны удовлетворять определенным требованиям. Эти требования сводятся к следующему. Дифференциальные операторы А и А, входящие в различные группы уравнений (каждая из которых составлена относительно своих тензоров и функций), должны быть формально сопряженными, т. е. такими, что [c.450]

При использовании исходной информации в виде тензора напряжений, как и в случае известных перемещений, возможно определение искомого вектора напряжений не по всей совокупности компонент тензора напряжений, а по отдельным из них. Такая возможность может быть реализована при условии однозначной разрешимости соответствующего уравнения или системы уравнений. В практических расчетах установление единственности решения обычно основьтается на анализе ядер интегральных операторов, являющихся функциями геометртческой формы тела и взаимного расположения точек интегрирования и измерений. В случае существования не единственного решения, в предположении, что исходные данные удовлетворяют условиям разрешимости, задача сводится к нахождению нормального решения системы интегральных уравнений (или уравнения), представляющего собой вектор-функцию, норма которого минимальна. Нормальное решение определяется однозначно, [c.68]

На тензор Т, называемый аффинором, можно смотреть как на оператор, преобразующий вектор Ь в вектор с. [c.236]

Н1э, — гл. компоненты тензора эффективной массы электрона и дырки, е — заряд электрона, Р — вектор поляризации света, е — матричные элементы операторов импульса электронов (дырок). Множитель (Йш—отражает зависимость плотностпи состояний в зоне проводимости (валентной зоне) от энергии кванта. Матричные элементы е слабо зависят от давления (как и постоянная решётки). Незначительно меняются и эфф. массы носителей, т. е, М. Осн, влияние давления связано со сдвигом электронных уровней, определяющих плотность состояний. Давление позволяет не только сдвигать электронные уровни, но и изменять электронный спектр. [c.188]

Таким образом, пространство тензоров второго ранга можно рассматривать как пространство линейных операторов, преобразующих векторы в векторы. Аналогично, пространство Тз есть лространство линейных операторов, переводящих векторы в тензоры второго ранга, и т. д.. [c.10]

Как уже указывалось выше, операторы Ф и Y могут параметрически зависеть от некоторых постоянных тензоров связанных с выбором отсчетиой конфигурации. В качестве такого параметрического тензора всегда присутствует второй фундаментальный тензор Ь поверхности в отсчетной конф ращга. Поэтому [c.117]

Гензора-оператора А ). Заметим, что величины Ацы интерпретируются как компоненты тензора жесткостных характеристик, а — как компоненты тензора ядер релаксации упруго-вязкого материала слоя. Для описания анизотропной ползучести композита на полимерной основе широко используется экспоненциальное представление величин Яг ы - [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...