Медленного течения*уравнения

Напротив, когда в качестве отсчетной используется текущая конфигурация, прежнее определение нормы даваемое уравнением (4-2.22), учитывает деформационные импульсы в момент наблюдения. Действительно, если прошлое движение остается неизменным, а в момент наблюдения имеет место другой импульс, полная прошлая история окажется эффективно измененной. Из-за влияния импульса в момент наблюдения приближения, полученные для медленных течений (уравнения (4-3.25) — (4-3.27)), справедливы при условии, что предыстория непрерывна в момент наблюдения. [c.159]

Медленного течения уравнения теорема взаимности Лоренца 105, 109, 190, 471 [c.615]

В применении к термодинамической теории, обсуждаемой в следующем разделе, потребуются другие формулировки принципа затухающей памяти. На основе приведенной выше формулировки, которая в дальнейшем будет называться формулировкой принципа затухающей памяти при предыстории покоя, можно строго получить приближения для общего уравнения состояния. Они могут быть получены в предельных случаях очень медленных течений [5] и очень малых деформаций [31. [c.144]

Из предполагаемой непрерывности G при s = О следует, что аО, и любая предыстория G стремится к нулевой предыстории в недавнем прошлом действительно, G (0) = 0. На основании принципа затухающей памяти при предыстории покоя можно получить для случая медленных течений приближения iV-ro порядка к общему уравнению состояния простой жидкости. Приближение iV-ro порядка понимается в том смысле, что норма остатка имеет порядок а + . Алгебраические выкладки при получении этих приближений очень громоздки, и поэтому будут приведены лишь конечные результаты. [c.145]

Приближение нулевого порядка состоит просто в утверждении, что для достаточно медленного течения напряжение гидростатическое, и уравнение состояния сводится к уравнению [c.145]

Этот результат показывает, что классическая ньютоновская теория асимптотически справедлива для медленных течений простых жидкостей с затухающей памятью. Обычные ньютоновские жидкости могут рассматриваться как простые жидкости, у которых естественное время Л столь мало, что любое течение, представляющее практический интерес, может рассматриваться как медленное и, таким образом может анализироваться на основании уравнения (4-3.22). [c.145]

Весьма полезный результат применения формулировки прин ципа при предыстории покоя состоит в другой форме последовательных приближений к уравнению состояния простых жидкостей. Вместо того чтобы рассматривать медленные течения, рассмотрим малые деформации. Такая ситуация возникает, например, при колебательных движениях малой амплитуды. Чтобы норма тензора G для такого движения была мала, необходимо рассматривать лишь то, что имело место в недавнем прошлом. Тогда можно доказать, что в приближении первого порядка уравнение состояния простой жидкости с затухающей памятью имеет вид [c.146]

Теперь можно лучше понять на интуитивной основе смысл приближения га-го порядка к уравнению (4-3.12) для медленных течений, которое было приведено в разд. 4-3. Уравнения (4-3.21) — (4-3.23) дают явные выражения для приближений нулевого, первого и второго порядков соответственно. Можно непосредственно установить, что такие уравнения представляют собой частные случаи уравнения (6-2.1) (вспоминаем, что = 2D см. уравнение (3-2.28)). Понятие медленных течений можно сделать точным при помощи методики замедления см. уравнение (4-3.20). Если задана предыстория, непрерывная в момент наблюдения, то предыстория замедления, полученная из нее введением замедляющего множителя а, становится с уменьшением а непрерывной со всеми своими производными на все более и более широком интервале времени, предшествующем моменту наблюдения. В самом деле, если в определенной предыстории существует некоторая особая точка, то с убыванием а она смещается все дальше и дальше в прошлое. Таким образом, при помощи уравнения (6-2.1) все более увеличивается надежность предсказания правильного поведения. Одновременно уменьшается и значение п, необходимое для разложения предыстории в рамках заданного приближения. [c.213]

Заметим, что если уравнение (6-3.17) предполагается верным, то уравнения (6-3.15) и (6-3.16) получаются независимо от уравнения состояния (6-3.3) в силу теорем о малых деформациях и медленных течениях, справедливых для простой жидкости в общем случае. Конечно, это замечание нельзя распространить на результаты, полученные при помощи уравнений (6-3.5) и (6-3.13) и относящиеся к случаю больших деформаций и произвольных скоростей . [c.220]

Как обычно, за исключением приближения медленных течений, эти материальные функции не могут быть определены в рамках общей теории простой жидкости. Однако они легко определяются при выборе частного уравнения состояния. [c.291]

Формула (37) получена из точного решения уравнения Навье — Стокса для медленного течения несжимаемой жидкости, когда инерционными членами, стоящими в левой части уравнения, можно пренебречь граничным условием является равенство нулю скорости течения на поверхности сферы. [c.146]

Теоретическое решение задачи о медленном течении вязкой жидкости около стенки при наличии полубесконечной плоскости (имитирующей козырек поверхностной трубки) позволяет получить следующее уравнение [c.207]

Имеет смысл рассмотреть два предельных случая режим медленного течения газа и высокоскоростной режим фильтрации. В первом пределе уравнение (7.26) сводится к виду [c.159]

Упрощения уравнений Навье — Стокса, в частности для медленного течения [c.56]

Уравнения Стокса могут быть применены в случаях, когда члены pv-Vv малы по сравнению с членом, jiV v в каждой точке жидкости. Если в данной задаче I и V — соответственно характерный линейный размер и скорость, то эти выражения пропорциональны pFV/ и Отношение инерционных сил к вязким обычно описывается безразмерным параметром ZFp/fi, характерным числом Рейнольдса. Таким образом, чем меньше число Рейнольдса, тем лучше приближенное решение уравнений Навье — Стокса, полученное при учете только вязких членов. Конкретное значение числа Рейнольдса, выше которого пренебрежение инерционными членами дает плохую аппроксимацию, в конечном счете зависит от требуемой точности. Сопротивление для сферы радиуса а, движущейся стационарно со скоростью U в неограниченной жидкости по закону Стокса, полученному из уравнений медленного течения, выражается в виде [c.59]

Если уравнения (2.10.4) записать в обычной размерной форме, то они формально идентичны уравнениям для стационарного медленного течения. Удобно при этих условиях уравнения (2.10.2) называть квазистатическими или квазиустановившимися уравнениями медленного течения, или уравнениями Стокса. Временная переменная входит в эти уравнения неявно. [c.72]

Квазистатические уравнения Стокса и предыдущая форма уравнений медленного течения значительно отличаются тем, что член с локальным ускорением d dt не обязательно должен быть малым. Конечно, если / о)р/ л также мало, предыдущая форма уравнений будет идентичной квазистатическим уравнениям. В любом случае уравнения (2.10.6) линейны и могут быть решены относительно прямыми методами. Методы преобразования Лапласа, устраняющие временную переменную, широко применяются для решения нестационарной формы уравнений Стокса. [c.73]

Далее будут рассматриваться в основном установившиеся течения несжимаемых жидкостей, удовлетворяющие уравнениям движения и неразрывности для медленных течений (2.6.1) и (2.6.2). Как уже отмечалось, исследование некоторых одномерных течений (например, течений в канале с плоскими параллельными стенками) может быть сведено к решению уравнения Лапласа (2.5.12), причем имеются решения для ряда течений такого типа. [c.76]

Необходимо также отметить применение уравнений медленного течения в гидродинамической теории смазки. Исследование относительного движения двух близко расположенных параллельных поверхностей было начато Рейнольдсом [25]. Развитые им методы применялись с тех пор в разнообразных задачах теории смазки [14]. В дополнение к пренебрежению инерцией принимается, что течение жидкости существенно одномерно. Такие же упрощения применялись также, например, к исследованию аксиального движения сферы в круглой трубе, заполненной вязкой жидкостью, в случае, когда диаметр трубы ненамного больше диаметра сферы [8], и для вязкого течения в зазоре между параллельными круговыми цилиндрами в случае, когда зазор между ними мал по сравнению с их диаметром [17]. В первом случае наблюдается хорошее согласие эксперимента с теорией. Имеется также много других аналогичных применений данной теории. [c.76]

Легко показать, что для медленных течений функция г ) удовлетворяет двумерному бигармоническому уравнению [c.77]

Для вполне строгого рассмотрения вопроса необходимо иметь решение уравнений медленного течения для случая одиночной частицы при произвольном распределении скорости, заданном на ее поверхности. Однако если частицы достаточно далеко удалены друг от друга, то хорошее приближение можно получить, используя следующие предположения а) поле, порождаемое некоторой частицей, будет таким же, как и поле, обусловленное точечной силой, приложенной в центре частицы б) силу сопротивления, действующую на заданную частицу со стороны отражен- [c.274]

Если пренебречь инерцией жидкости и производными скорости по времени, то уравнения медленного течения жидкости, выраженные через функцию тока, принимают вид (см. также разд. 4.7) [c.312]

Помимо уверенности в том, что используемые нами методы приводят к удовлетворительным приближенным решениям уравнений медленного течения, желательно знать, в какой степени предсказываемые результаты могут быть реализованы физически. Для случая двух взаимодействующих сфер в настоящее время имеются обширные данные, указывающие на хорошее согласие с теорией. Этот вопрос важен для обеспечения более прочной основы при последующих исследованиях более сложных ансамблей. Как уже отмечалось ранее, движение двух сфер распадается на две задачи [c.315]

Предполагается, что движение жидкости описывается уравнениями медленного течения. Таким образом, в системе х , [c.322]

Пределы применимости уравнений медленного течения [c.324]

Для двух сфер, падающих одна рядом с другой вдоль оси ж, силы, действующие на каждую сферу, будут равны, однако уже не будут направлены по линии падения сфер, как было в случае уравнений медленного течения. Для этого случая составляющая по оси X силы, действующей на каждую сферу, имеет вид [c.325]

Как отмечалось в разд. 2.7, не существует решения уравнений медленного течения для задачи обтекания вязкой жидкостью одиночного цилиндра. Однако обтекание цилиндра было успешно [c.326]

Еще одна тема заслуживает рассмотрения. Именно при использовании уравнений медленного течения предполагалось, что сопротивление будет таким же, как при установившемся движении частиц. Этого условия всегда можно добиться в случаях, когда частицы имеют почти одинаковый размер. Когда же сферы неодинаковы, то для получения точных результатов следовало бы учесть ускорение частиц и жидкости. Для одиночных частиц это можно сделать, следуя Ландау и Лифшицу (ссылка [35] в гл. 2). [c.327]

Взаимодействие частицы со стенками будет зависеть как от формы частицы, ее положения и ориентации, так и от геометрии стенок. Как будет установлено ниже, в случаях разбавленных систем эти эффекты можно разделить, так что результаты, определяющие влияние стенок на сферические частицы, можно применить для частиц другой формы при сохранении соответствующей внешней геометрии. В основе исследования снова будут лежать уравнения медленного течения в квазистационарной форме. [c.329]

Использование уравнений медленного течения ограничивает справедливость окончательных результатов случаями, когда число Рейнольдса относительного движения частицы 2а Uq (1 — [c.344]

Решение данной задачи при помощи уравнений медленного течения не обнаруживает наличия каких-либо боковых сил, которые стремились бы переместить сферу перпендикулярно оси трубы. Однако в любой реальной ситуации должны существовать силы Бернулли , стремящиеся сообщить сфере такое движение. Отсутствие боковых сил есть характерный недостаток уравнений медленного течения, вытекающий из пренебрежения инерцией в исходных уравнениях движения. [c.363]

При достаточно медленном течении уравнения (6-3.2) и (6.2.4) дают одинаковые напряжения, или, говоря более точно, одинаковые с точностью до членов порядка а-, где а — коэффициент замедления. Однако они дают различные результаты, если рассматривается движение с произвольной скоростью . Можно напомнить, что тензор Ривлина — Эриксена дает тейлоровское разложение достаточно гладкой предыстории деформирования, выраженной в терминах тензора Коши С, в то время как тензоры Уайта — Метцнера получаются при разложении в ряд предыстории, описываемой тензором [c.216]

Величину вязкости удлинения для ньютоновских жидкостей впервые определил Трутоп [4], и поэтому вязкость удлинения часто называют вязкостью Трутона. Для ньютоновских жидкостей вязкость удлинения постоянна и равна утроенной вязкости. Поскольку ньютоновскому уравнению состояния удовлетворяют все простые жидкости с затухающей памятью в предельном случае медленных течений, вязкость удлинения и вискозиметрическая вязкость связаны следующим общим соотношением [c.193]

Рассмотренные в гл. I одномерные уравнения движения, сплошности и энергии двухфазного потока не замкнуты вследствие отсутствия уравнений межфазного взаимодействия, определяющих функцию распределения фаз ф. Как уже было показано в предыдущих главах при рассмотрении достаточно медленных течений, для замыкания необходимо иметь или иекоторые эмпирические связи или математические схемы-модели, позволяющие производить соответствующие расчеты и затем сопоставлять их с экспериментом. [c.264]

Уравнение (28,3) показывает то отступление реального газд от идеального, которое имеет место при медленном течении через пористые перегородки. Если газ идеальный, то [c.115]

Эффекты, проявляющиеся в случаях, когда число Рейнольдса мало, но не настолько, чтобы его влиянием можно было пренебречь, можно выявить, применяя методы, аппроксимирующие инерционные члены в уравнениях Навье — Стокса. Первая попытка в этом направлении принадлежит Уайтхеду [63], который в 1889 г. пытался распространить решение Стокса для поступательного движения сферы на более высокие числа Рейнольдса, используя схему регулярных возмущений. Уайтхед предположил, что стоксово решение уравнений медленного течения [c.60]

Таким положение оставалось вплоть до 1910 г., когда Озеен указал причину появления парадокса Уайтхеда и предложил метод для его разрешения. Детали этого предложения изложены подробно в книге Озеена [43], в которой приведены также различные приложения. Как подчеркнул Озеен, обычное стоксово решение уравнений медленного течения имеет на больших расстояниях от сферы вид Vo = и UaO (г ). Таким образом, на больших расстояниях V Vq == UaO (r ) и Vq-Vvq = U aO (r ). Отношение инерционных членов к вязким вдали от сферы поэтому равно [c.61]

Вариационный подход на основе уравнений медленного течения применялся к теории смазки, где предполагалось, что в идеализированной постановке процессы в подшипнике могут быть рассмотрены при помощи двумерной задачи о движении двух близко расположенных параллельных поверхностей, скользящих одна по другой и разделенных тонкой пленкой смазки. Неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, которое впервые ввел Рейнольдс [25] и он же приближенно его решил, как уже отмечалось ранее, представляет основу для этих методов. Некоторые авторы получили численные и аналоговые решения двумерных уравнений Рейнольдса, а Хейз [14] представил общий метод, используя вариационный подход. [c.112]

Важно отметить [20], что, когда сферы сближаются, уравнения медленного течения в стационарной форме не дают корректных результатов. Для получения более точных результатов можно было бы использовать уравнения в форме, учитывающей члены, связанные с локальным ускорением, однако решения этих уравнений для двух или более сфер отсутствуют. Хокинг указывает, что полученные им результаты по относительному сечению захвата хорошо согласуются с экспериментальными данными, так что ясно, что при определенных условиях приближенный подход оказывается вполне удовлетворительным. [c.311]

Ивсон и др. приводят также данные для сфер, падающих при различных углах между линией центров и горизонтальной плоскостью. Хотя эти данные и не столь обширны, как для случая падения сфер вдоль и перпендикулярно линии центров, они находятся в хорошем согласии с теоретической предпосылкой о том, что такое движение может быть определено как суперпозиция этих двух предельных случаев. Итак, показано, что общие теоретические выражения, выведенные из уравнений медленного течения, [c.318]

Хаберман и Сэйр [27] также рассматривали осесимметричный случай для больших alR , используя представление общих решений уравнений медленного течения через функцию тока, выраженную как в цилиндрической, так и в сферической системах координат. Для удовлетворения граничных условий на стенках цилиндра использовалось решение для функции тока в цилиндрических координатах. Полученное таким образом выражение представляет собой поле течения внутри кругового цилиндра, пока еще не полностью определенное, но удовлетворяющее граничным условиям на поверхности цилиндра. Затем это выражение преобразовывалось к сферическим координатам. Сравнивая почленно константы в предыдущем выражении с постоянными в выражении для разложения функции тока, полученном непосредственно в сферических координатах, получаем связь между этими константами. Граничные условия на сфере дают связь между константами для решения в сферических координатах. После подстановки предыдущих соотношений в соотношения, полученные из граничных условий на сфере, получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов, фигурирующих в разложении функции тока. [c.366]

Фамуларо [14] также рассматривал случай сферической частицы, осаждающейся внутри сферического контейнера, используя метод отражений. Первое отражение было получено для случая, когда частица может занимать любое положение внутри контейнера. Для этого было использовано решение Ламба [39] уравнений медленного течения в сферических гармониках (см. разд. 3.2), а также преобразования координат, подобные тем, которые обсуждались выше в этом разделе. Для облегчения расчетов мгновенное движение частицы в произвольной точке разлагалось на (а) дви> жение по направлению к центру сферического контейнера и (б) движение в перпендикулярном направлении. В частном случае, когда движение осесимметрично, можно получить точное решение в биполярных координатах для любого отношения радиусов внутренней и внешней сфер. [c.369]

Хаппель и Аст [32] исследовали осевое движение жесткой сферы в цилиндре без трения на стенках на основе уравнений медленного течения. Теоретический анализ следует анализу, используемому Хаберманом. Исследовались отношения радиусов сферы к радиусу цилиндра от О до 0,7. Решение задачи строилось в предположении, что скорость сдвига жидкости у стенок цилиндра всюду равна нулю. Эта модель обсуждается далее, в разд. 8.4, как основа для теоретических исследований ансамблей частиц. [c.370]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...