Матрица плохо обусловленная

Заметим, что при решении плохо обусловленных систем задача минимизации функционала (16.4) сведется к решению системы с эрмитовой матрицей. [c.194]

Достоинством указанного метода является то, что он не накапливает вычислительные ошибки от шага к шагу, а это особенно важно для плохо обусловленных задач (матриц), каковой, как показано в работе [5], и является исследуемая задача. [c.152]

Используя это выражение, можно эффективно локализовать собственные значения модели (13.46) по схеме Мюллера [98]. Особенно выгодна структура эквивалентной модели (13.46) для решения проблемы собственных форм, учитывая, что такая проблема для несимметричных матриц обш его вида является сложной задачей, отличающейся часто плохой обусловленностью [05]. Если локализовано s-e собственное значение модели (13.46), то компоненты Ли ее правой s-й собственной формы можно определить следующим образом [c.241]

Обработка на ЭЦВМ информации, получаемой при балансировке однотипных агрегатов, требует решении систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений значительно больше числа неизвестных. Как правило, такие системы иесов.местны и не имеют точного решения. Приближенное решение по методу наименьших квадратов сводится к решению системы линейных уравнений с квадратной матрицей [1], [2]. Однако в процессе решения возникают трудности, связанные с возможностью плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений. Чис.до обусловленности дает оценку того, насколько относительная погрешность результата превосходит погрешность исходной информации. Если число обусловленности велико, то небольшая ошибка в исходных данных приводит к значительным ошибкам в решении. Поэтому оценка обусловленности матрицы дает существенную характеристику качества решения. [c.151]

Таким образом, число обусловленности с (А) показывает, во сколько раз может возрасти относительная погрешность результата по сравнению с относительной погрешностью исходных данных в случае идеального вычислителя. Расчеты на ЦВМ показали, кроме того, что при больших с (А) вычисление обратной матрицы по существующим стандартным программам дает неудовлетворительный результат [проверено при с А) = 10 000 для матриц 12-го порядка]. Поэтому при решении систем линейных уравнений необходимо учитывать возможность плохой обусловленности матрицы системы. [c.153]

Процедуру обращения плохо обусловленной матрицы можно обойти, если в качестве приближающей зависимости использовать разложение но ортогональным многочленам [c.181]

Плохая обусловленность и вырожденность матрицы жесткости [c.516]

Одна из самых распространенных ситуаций, которая приводит к неправильному результату и даже к прерыванию счета, сводится к тому, что матрица жесткости системы оказывается или плохо обусловленной или вырожденной (не положительно определенной). Во втором случае разложение матрицы на треугольные множители не может быть выполнено. [c.516]

Рассмотрим ситуацию плохой обусловленности системы. Для вычисления треугольного разложения матрицы средних размеров (порядка 1000) требуется около 10 действий, и при выполнении каждого из них можно ожидать ошибку округления. Если в арифметике с плавающей точкой складываются два числа, и их экспоненты различаются, например, на два, то последние две цифры в меньшем числе будут потеряны [c.516]

Плохая обусловленность матрицы жесткости конечно-элементной модели может проявляться в некоторых типах конструкций при достижении соотношения свойств элементов и геометрии критических значений. [c.517]

Рассмотрим два примера. Первый - консольной балка, которая характеризуется отношением длины к высоте - L/h. Выполним конечно-элементную модель балки в виде стенки из мембранных элементов. При L/h > 120 ее матрица жесткости становится плохо обусловленной, что приводит к прерыванию расчета. Это не означает, что матрица жесткости системы становится вырожденной, однако возможное решение может быть некачественным, как показывает второй пример. [c.517]

Решение обратных задач механики стержней сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений [194], матрица коэффициентов которой будет плохо обусловленной. Ниже будет показано, что интегральные соотношения типа (1.39) позволяют весьма эффективно решать и прямые задачи. Их решение также сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, но с хорошо обусловленной матрицей коэффициентов. [c.23]

Более сложные случаи решения систем уравнений (5.2) с плохо обусловленной матрицей А освещены в работах [105-108, 195]. [c.260]

Регуляризация задачи оценивания импульсной переходной функции. Как следует из изложенного, оценивание импульсной переходной функции основывается на решении соответствующей системы линейных уравнений, которая может получиться вырожденной (определитель системы равен нулю) или плохо обусловленной (определитель системы близок к нулю) В таких случаях малым изменениям в векторе р или матрице Л могут соответствовать большие изменения решения с, т. е задача оценивания импульсной переходной функции относится к некорректным задачам [36], Поэтому появляется проблема регуляризации — проблема нахождения обобщенных решений, которые устойчивы к малым изменениям элементов матрицы Л и вектора р. [c.363]

В уравнении (4) матрицы G, G зависят от и типа краевых условий. Элементы матрицы преобразования для составной конструкции Л , связывающей перемещения и усилия на ее краях I и II, являются экспоненциально-тригонометрическими функциями. Амплитуда этих функций экспоненциально возрастает с ростом длины составляющих конструкцию оболочек и достигает величины С ехр где — безразмерная суммарная длина оболочек, С — постоянная, зависящая от геометрии оболочек и не зависящая от их длины. С ростом матрица становится плохо обусловленной и ее точное обращение становится невозможным даже с помощью ЭВМ. Действительно, так как матрица является матрицей перехода от края I к краю II, то обратная ей матрица (Л ) является матрицей перехода о т края II к краю I и по условиям взаимности ее элементы совпадают с элементами матрицы с точностью до некоторых коэффициентов, не зависящих от произведение (Л ) дает единичную матрицу, элементы которой 1 и О являются при больших I малыми разностями больших чисел порядка С ехр 2 . Это наглядно видно, например в случае оболочек, для которых решение дифференциальных уравнений выражается через функции А. Н. Крылова, и матрица содержит в качестве ядра матрицу функций А. Н. Крылова, обладающую свойством ( ) = Y (— I). Однако можно показать, что при решении системы (4) независимо от вида краевых условий достаточно обращения только одного блока второго порядка матрицы Л , которое может быть выполнено точно (при той же длине конструкции). Например, если по краям составной конструкции из [c.78]

Метод начальных параметров обладает определенными преимуществами перед другими численными методами, но имеет и существенный недостаток. При большой длине интервала интегрирования и больших коэффициентах в матрице [А] не всегда удается получить достаточно точное решение задачи. Оказывается, что значения векторов z i, 1)1, Уг) и других в конце интервала интегрирования мало чувствительны к изменению начальных параметров. Приходится иметь дело с так называемой плохо обусловленной задачей, когда обратная матрица, существенно влияющая на составляющие вектора констант (3.26), оказывается очень неточной. Это, в свою очередь, ведет к неточному определению вектора состояния. Существует возможность уточнить решение. Для этого весь интервал интегрирования делится да несколько участков. Интегрирование проводится отдельно для каждого участка и затем участки стыкуют друг с другом. [c.74]

Если чересчур смягчить условие в напряжениях, то ранг матрицы жесткости элемента понижается и элемент допускает побочные кинематически допустимые формы деформирования ). Плохая обусловленность проявляется в тех случаях, когда форма элементов нли модель сетки допускают одну или несколько кинематических мод, не закрепленных в конечно-элементной модели всей конструкции. [c.417]

МОЖНО учитывать при данном числе степеней свободы для перемещений. Однако аномалии поведения всегда можно устранить, проверяя аналитически, что элемент не является плохо обусловленным, или численно находя собственные числа и векторы матрицы жесткости элемента для того, чтобы убедиться в отсутствии каких-либо побочных кинематически допустимых форм деформирования. [c.418]

Контактные задачи принадлежат к классу задач с ограничениями. По своей природе они являются нелинейными, так как при их решении требуется определить заранее неизвестную границу контакта двух (или более) тел и контактные силы взаимодействия этих тел. Наиболее известны такие методы решения контактных задач, как методы множителей Лагранжа и штрафных функций. Применение метода множителей Лагранжа к решению этих задач приведено в [1, 2, 7, 50, 59, 69, 82, 91, 92, 102], а применение метода штрафных функций развито в [1, 2, 55, 57, 58, 69-71, 85-87, 91, 92, 102, 114]. У каждого из этих методов есть достоинства и недостатки. Для метода множителей Лагранжа точно выполняются кинематические условия контакта, но вводятся дополнительные уравнения для множителей Лагранжа и получается усложненная формулировка уравнений. В то же время для метода штрафных функций число уравнений при введении условий контакта не меняется, однако в численном алгоритме точно удовлетворить кинематические условия контакта не удается. Введение большого коэффициента штрафа приводит к плохой обусловленности касательной матрицы жесткости, а для малого коэффициента штрафа ухудшается выполнение кинематического условия контакта тел. Поэтому выбор величины штрафа является непростой задачей. [c.6]

Преимущество итерационных методов — возможность использования свойств разреженности матриц (алгоритм этих методов не порождает новых ненулевых элементов, и структура матриц сохраняется). Кроме того, в отдельных случаях применения итерационных методов можно опустить операцию формирования глобальной матрицы жесткости системы. Недостатки итерационных методов медленная сходимость решения для плохо обусловленных матриц (например, при существенно разных характери- [c.26]

Успех метода Галеркина и его вариантов связан с удачным выбором полной систе мы функций ifk и применением достаточно точного (при больших N) способа решения уравнений (11). Широкое применение метода Бубнова — Галеркина еще в начале нашего века без использования каких-либо счетных машин при небольших N 2 3 для решения задач в относительно простых областях, в частности на основе уравнения Пуассона, было обусловлено как раз хорошим выбором базисных функций (fi и явным аналитическим способом решения (11). Дальнейшее развитие этих методов сдерживалось как трудностя ми построения полных систем базисных функций для сложных областей, так и большими трудностями решения систем (11) уже при N Б из-за очень плохой обусловленности матриц этих систем, которые усугубляются при приближенном расчете интегралов в (11), являющихся элементами этих матриц. Если первую трудность можно снять, используя, например, аппарат 1 функций [17], с помощью которого достаточно легко можно строить полные системы базисных функций (хотя и достаточно сложных) для многомерных обла стей с кусочно-гладкими аналитическими границами, то преодолеть вторую трудность значительно сложнее. Ряд рекомендаций по этому поводу дан в [18]. [c.21]

Влияние нескольких вырезов на матрицу уравнений. Для того чтобы на краях каждого выреза удовлетворить условию равенства нулю нормальных изгибающих моментов и перерезывающих усилий, необходимо для каждого выреза записать отдельное решение Wi уравнения (3). Так как в настоящей работе не рассмотрены случаи пластинки, содержащей более одного выреза, то матрица уравнений не выводилась и численные расчеты не проводились. В заключение можно отметить, что если размеры вырезов относительно большие и они расположены близко друг от друга, то, очевидно, матрица уравнений будет плохо обусловленной. [c.202]

Погрешности вычисления усилий из-за плохой обусловленности системы линейных уравнений. Наибольшие погрешности вычисления внутренних силовых факторов могут быть связаны с плохой обусловленностью системы линейных уравнений (38). Это приводит к тому, что при определенных соотношениях значений элементов матрицы и вектора Я даже при малых погрешностях исходных данных д б и б [2 ] погрешности 6 Р определения вектора (> могут оказаться существенными. [c.207]

Признаком плохой обусловленности системы являются близкие к нулю значения определителя матрицы [Д]. [c.207]

Часто меру обусловленности характеризуют числом, выраженным через нормы или через собственные значения X матрицы [О] у=тах )1о /т1П Я, . Чем больше V, тем хуже обусловлена система. Обычно V 10 -7-10 уже обозначает плохую обусловленность. [c.207]

В практических расчетах этой мерой плохой обусловленности трудно пользоваться, так как для проверки надо находить собственные значения, что при плохо обусловленной матрице нелегко сделать. Более удобным является критерий [c.207]

Вероятность ошибок при определении усилий из-за плохой обусловленности матрицы [ )] можно уменьшить правильным подбором> коэффициентов уравнений, т. е. расположением датчиков при проведении тензометрических исследований. В различных случаях нагружения конструкций и при различных формах поперечных сечений расположение датчиков, а также допустимые значения критериев V и и могут различаться и определение их требует проведения дополнительных исследований в каждом конкретном случае. [c.207]

В некоторых случаях идентификация параметров связана с решением плохо обусловленных систем уравнений. В этих условиях один из способов повышения точности оценок состоит в переходе к методу взвешенных наименьших квадратов, в котором роль весовой матрицы играет ковариационная матрица вектора ошибок /. Запишем функцию потерь с этой матрицей, представленной в виде произведения квадратных корней [c.371]

Плохая обусловленность матрицы С [точнее, матрицы Г Г] влечет за собой плохую обусловленность матрицы и У). Улучшение результатов при использовании метода объясняется, по-видимому, снижением диапазонов изменения переменных (этим же, вероятно, объясняется несколько большая устойчивость метода к импульсным помехам). Поэтому безопаснее вообще не строить матрицу С, а работать с матрицей Г непосредственно, используя ее ортогональные разложения [20, 21, 36]. [c.48]

Если поверхность Si расположена далеко от то при нспользовании приближенных методов решения уравнения (2.334), основанных на переходе к линейной алгебраической системе, матрица последней будет плохо обусловленной. [c.99]

Метод численного определения фундаментальной матрицы решений К " изложен в 2.1. Если свойства системы уравнений таковы, что среди элементов фундаментальноой матрицы есть быстрорастущие элементы (точнее, элементы — частные решения, содержащие быстрорастущие части), то компоненты вектора из краевых условий при е=1 будут определены с большой ошибкой [из-за плохой обусловленности определителя системы алгебраических уравнений, зависящего от элементов матрицы К "Ч1)]- [c.87]

Другой особенностью рассматриваемого класса гиросистем является их высокая разноразмерность . Под этим понимается большая разница в численных значениях параметров структурных элементов системы, достигающих одного или нескольких порядков. В таких случаях матрицы основных параметров в отдельных точках системы, используемые для исследования ее колебаний, включают сильно разнящиеся между собой элементы. Если к тому же параметры варьируются, то это обычно приводит к вычислительным трудностям, связанным с плохой обусловленностью матриц. [c.33]

Более того, матрица [Л] является почти вырожденной если мы заменим последний элемент в матрице [Л] единицей или сделаем еще где-нибудь соответствующее небольшое изменение элементов, то она станет вырожденной. Близость к вы-рожденности - это то же, что и плохая обусловленность. [c.517]

Если ond (А) 1, то система А х = 6 и матрица А называются плохо обусловленными. [c.126]

Из первого выражения (7.73) следует, что нормальный перехлест уменьшается с возрастанием параметра штрафа Шп- В теоретических исследованиях [87] сходимости решения при использовании алгоритма штрафных функций к решению исходной контактной задачи параметр штрафа стремится к бесконечности. Тем не менее в численном решении большое значение Шп может привести к плохой обусловленности касательной матрицы жесткости. При уменьшении параметра увеличивается (паразитный) нормальный перехлест в численном решении. То же [c.244]

М.Н.К. в обычной форме приводит к известным вычислительным трудаостям, связанным с операцией обращения матрицы, которая выполняется плохо из-за плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений и ошибок округления ЭВМ. С целью выбора оптимального метода обращения матрицы высокого порядка в работе 12 1 были предприняты специальные исследования устойчивости классических методов решения алгебраических систем, включая метод Гаусса, квадратного корня, ортогонализации и др. Выполненные в [21 исследования показали непригодность этих методов, реализуемых в М.Н.К. для получения устойчивой аппроксимации. [c.35]

ABKRIT, OTKRIT — переменные, служащие критериями контроля абсолютной н относительной погрешностей преобразования исходной матрицы по схеме Гаусса. Останов по этнм критериям свидетельствует о сбое машины нли плохой обусловленности матрицы. [c.182]

При плохой обусловленности матрицы С более устойчивые результаты можно получить, используя метод Марквардта [35, 41]. При этом Хр вычисляется по выражению [c.49]

В начале, когда приближение далеко от минимизирующего вектора, Лр выбирается большим, а при приближении к минимизирующему вектору 1р уменьшают. На практике р уменьшают на каждом шаге и вычисляют Др, если Ар > Ар 1 , то р увеличивают в V раз, (например, У = 10) и повторяют эту операцию до тех пор, пока Др не станет меньше Др < Др 1 . За поправку принимается вектор Хр, соответствующий тому значению [Хр, при котором впервые удовлетворяется это неравенство. На следующей итерации полученное Лр опять уменьшают в V раз и процесс повторяется. Большое значение 1р свидетельствует о плохой обусловленности матрицы С. В [41] в этом [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...