Применение систем со многими степенями свободы

Так, например, на рис. 223, а и (5 изображен физический маятник в состоянии равновесия, но в положении, изображенном на рис. 223, а, потенциальная энергия маятника минимальна и равновесие устойчиво, а на рнс. 223, б потенциальная энергия максимальна и равновесие неустойчиво. Такой маятник является механической системой с одной степенью свободы. Колебания систем со многими степенями свободы складываются из простых колебаний около положения устойчивого равновесия. Указанный Лагранжем метод изучения колебаний (см. 62) имеет громадное применение в различных отраслях науки н техники и, в частности, в теории вибрации машин. [c.401]

Трудности расчета переходных процессов в машинах, представляющих многомассовые разветвленные схемы, заключаются прежде всего в том, что теория колебаний систем с многими степенями свободы, а следовательно, и классические методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений все еще сложны для целей инженерного применения не столько с вычислительной стороны, сколько со стороны анализа упругих сил и синтеза параметров машин в целях получения наиболее благоприятного переходного процесса. При это.м необходимо отметить, что трудности инженерных расчетов переходного процесса растут гораздо в большей степени, чем сложность машины. Поэтому сделать полный и особенно наглядный анализ, например трехмассовой системы, так, чтобы он содержал конкретные ее параметры и в простой связи, в настоящее время трудно. [c.4]

Как было показано в предыдущем параграфе, динамическая работа фундамента турбогенератора описывается системами со многими степенями свободы, требующими вычисления высших частот колебаний. В ряде случаев необходимо выяснить формы колебаний, что можно сделать, зная лишь точные значения частот. Поэтому наиболее целесообразно решать эту задачу при помощи разложения в ряд векового уравнения движения материальных точек, позволяющего найти весь спектр частот собственных колебаний. Ранее практиковавшиеся способы расчета Л. 20, 21 и 29] не давали обобщенного решения, пригодного для определения колебаний в любом направлении. Ниже дан обобщенный способ решения. Следует заметить также, что применение уточненных схем и точной методики расчета позволяет отказаться от так называемых условных значений частот собственных колебаний, благодаря чему отпадает условность расчетной методики. [c.109]

Расчет по обеим указанным методикам может быть применен для фундаментов низкооборотных машин, в которых главная низшая частота собственных колебаний располагается близко к резонансной зоне. Для современных высокооборотных машин эти методики по той же причине дают удовлетворительные результаты для вертикальных колебаний. При расчете горизонтальных колебаний эти методики непригодны. Поэтому в [Л. 24— 29] был предложен более точный способ расчета. Здесь в методику расчета введены системы со многими степенями свободы, что позволило определить спектр частот собственных колебаний, из которого выбиралось значение частоты, наиболее близко расположенной к резонансной зоне. При этом из осторожности и опасения не-130 [c.130]

Как видно из указанного, принятый в [Л. 24 и 29] способ расчета хотя и является более точным, чем способ, изложенный в [Л. 20 и 21], благодаря применению новых, более правильных расчетных схем, однако его применение связано с введением целого ряда корректирующих коэффициентов и ограничений. Как показали дальнейшие исследования, подсчитанные по изложенной выше методике частоты собственных колебаний и принятые расчетные схемы хорошо согласуются с экспериментальными данными. Это дало нам основание пересмотреть и уточнить методику расчета, изложенную в [Л. 29], освободив ее от введения корректирующих коэффициентов. В новой методике фундамент рассматривается как система со многими степенями свободы, подверженная действию возмущающих сил, изменяющихся по гармоническому закону с частотой, равной рабочим числам оборотов турбогенератора. Величина этих возмущающих сил была определена в 3-1. [c.131]

В разд. 2.32 мы видели, что при полуклассическом рассмотрении взаимодействия излучения с атомными системами, которые не связаны ни между собой, ни с какой-либо другой системой, возникают специфические трудности. Например, приходилось исключать все случаи, в которых частота некоторой компоненты поля излучения или какая-нибудь суммарная или разностная частота попадает в (острый ) резонанс с одной из частот переходов. [При последовательном квантовом описании удается избежать возникновения таких проблем путем автоматического учета различных механизмов затухания, например радиационного затухания (ср. пп. 3.111 и 3.112).] Указанным способом при применении результатов разд. 2.32 можно трактовать процессы, свободные от потерь (ср. разд. 2.23), такие как генерация высших гармоник и параметрические эффекты вне областей резонанса, но не многофотонное поглощение или излучение или вынужденное комбинационное рассеяние. Поэтому важно расширить модели таким образом, чтобы они позволяли правильно учесть ограниченную память атомной системы и были применимы для исследования резонансных эффектов (ср. разд. 2.31). С точки зрения уменьшения расчетных трудностей весьма целесообразными оказались модели, в которых взаимодействие всех отдельных атомных систем между собой и с другими системами со многими степенями свободы не учитывается в явном виде. Вместо такого учета в уравнения для отдельной атомной системы вводится глобальный механизм потерь в виде связи с тепловым резервуаром . Такой подход мы уже описали в разд. В2.27 и 2.24, и теперь мы можем непосредственно воспользоваться полученными там результатами. При этом мы обсудим наиболее подробно вычисление восприимчивостей первого порядка, а затем обобщим результаты на высшие порядки. [c.238]

Суммируя сказанное, отметим, что для определения динамического поведения системы со многими степенями свободы при внешних воздействиях сначала следует с помощью выражения (4.64) преобразовать функции, описывающие эти воздействия, к нормальным координатам, затем с помощью интегрального представления (4.67) определить динамические перемещения системы по каждой форме колебаний, при этом для каждой формы, соответствующей движению как абсолютно жесткого тела, такие динамические перемещения системы определяются из выражения (4.69). И, наконец, с помощью обратного преобразования (4.58) находятся значения действительных координат перемещений. Если примененные внешние воздействия не соответствуют координатам перемещения, то в качестве предварительного шага можно подсчитать соответствующие эквивалентные нагрузки (см. пример 3 в конце данного параграфа). [c.272]

Выше были обсуждены четыре способа исследования движений частного вида системы со многими степенями свободы (см. рис. 4.1, а) при наличии движения основания. Если использовать уравнения движения в усилиях, с помощью выражения (4.81) можно определить эквивалентные нагрузки для заданных перемещений, а с помощью выражения (4.86) те же нагрузки для заданных ускорений. Последняя процедура легче первой, однако при этом вычисляются динамические перемещения относительно движущегося основания. С другой стороны, когда записываются уравнения движения в перемещениях, зависящие от времени, свободные координаты перемещений, обусловленных перемещениями основания, определяются из выражения (4.88), а когда задаются ускорения перемещений, эти координаты определяются из выражения (4.93). Сравнивая оба выражения, видим, что первое удобнее второго. Более того, выражение (4.88) также проще, чем выражения (4.81) или (4.86), используемые в подходах с применением уравнений движения в усилиях. Следовательно, в том случае, когда заданы перемещения основания и не трудно определить податливости системы, предпочтительнее подход, основанный на использовании уравнений движения в перемещениях. Это, безусловно, справедливо и для показанной на рис. 4.1, а статически определимой системы, в которой возникают перемещения как абсолютно жесткого тела при движениях основания. Однако для статически неопределимых систем, как правило, удобнее методы, в которых используются уравнения движения в усилиях. [c.282]

Прп применении статистики нужно иметь в виду, что д,пя наиболее простых систем условие эргодичности заведомо не имеет места. Например, для модели идеального газа с невзаимодействующими частицами в сосуде с гладкими стенками ( 1) пе только общая энергия газа, но и энергия каждой частицы представляет собой однозначный интеграл движения, от которого зависят средние по времени. Так же обстоит дело для квазиупругой системы со многими степенями свободы (потенциальная энергия которой — квадратичная форма). И здесь энергия каждого [c.192]

В системах малого числа частиц изучают все имеющиеся степени свободы. В системах очень большого числа частиц проводят статистическое усреднение и изучают агрегатное состояние вещества, описывая его небольшим числом макроскопических параметров, таких как давление, температура, плотность и т. д. К сожалению, атомные ядра занимают в этом отношении промежуточное положение. В ядре частиц слишком много, чтобы изучать все без исключения степени свободы, но все же не настолько много, чтобы оправданно трактовать ядро как сплошную среду. Действительно, для применимости понятия сплошной среды необходимо, чтобы очень большое по сравнению с единицей число частиц содержалось не только во всей рассматриваемой физической системе, но и в очень малой ее части, которую можно было бы принять за бесконечно малый элемент объема. В ядре это требование явно не выполняется. Несмотря на это, в применении к ядру часто используются такие заимствованные из физики сплошных сред понятия, как поверхность, температура, свободный пробег и даже агрегатное состояние. Очевидно, что при использовании этих понятий необходимо соблюдать большую осторожность и помнить, что они обычно имеют крайне ограниченный смысл. Так, например, в понятии поверхности жидкости или твердого тела подразумевается, что число частиц, принадлежащих поверхности, ничтожно по сравнению с общим числом частиц. В ядре же, даже в тяжелом, на поверхности находится примерно половина нуклонов. [c.81]

Применением того или иного способа, ориентированного на знание плана скоростей, можно определить уравновешивающую силу. Из предыдущей главы мы знаем, что построить план скоростей принципиально возможно для всех механизмов первых трех классов и для многих механизмов четвертого класса. А так как различие между механизмом и фермой зависит лишь от степени подвижности той или иной стержневой системы, то, следовательно, с равным правом можно применить метод жесткого рычага и к определению напряжений в стержнях ферм. Сделать это можно, сочетая его с кинематическим методом Мора. Суть последнего заключается в том, что из жесткой стерн невой системы выбрасывается одно звено, напряжение в котором является искомым. При этом кинематическая цепь приобретает одну степень свободы и, следовательно, для двух точек, ограничивающих изъятый стержень, можно задаться произвольно их скоростями. Это и приводит к применению метода жесткого рычага. [c.158]

Показано непрестанное расширение области применения теории машин и механизмов. Так в биомеханике теории машин и механизмов пришлось поставить и решать многие новые вопросы теория механизмов с очень большим числом степеней свободы, изучение незамкнутых кинематических цепей, исследование новых видов связей в механических системах машина и человек , развитие методов измерения сил, измерение перемещений и их первых, вторых и третьих производных по времени. По требованиям биомеханики в геометрии масс созданы новые приборы для быстрого и точного определения моментов инерции частей живого человеческого тела, принимаемых за звенья механизма. [c.271]

Этот результат в части, касающейся среднего значения энергии молекулы, является частным случаем весьма общей теоремы статистической механики, называемой обычно теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы . Важность этой теоремы обусловливается, главным образом, тем, что во многих случаях она позволяет находить средние значения энергии тех или других компонент системы почти без всяких вычислений. Мы теперь формулируем и докажем эту теорему в общем виде (возможны, правда, некоторые расширения ее, которых мы, однако, касаться не будем) в дальнейшем мы приведем пример ее применения. [c.71]

Булгаков Б. В., О применении метода Ван-дер-Поля к псевдо-лииейным системам со многими степенями свободы, ПММ 6, вып. 6 (1942). [c.379]

Рассмотрим применение метода статистических испытаний при исследовании случайных колебаний многомассовой системы (рис. 3.9) при движении по дороге со случайными неровностями (проведено А. И. Котовым и Ю. Ю. Олешко). Одним из возможных путей снижения ускорений и ударов, действующих на транспортируемые грузы, является вторичная амортизация, т. е. введение в систему груз — транспортное средство дополнительных упругих элементов и демпферов (амортизационных узлов). Основным внешним воздействием для наземных транспортных средств является кинематическое возмущение со стороны дороги, имеющее случайный характер (высота Н и длина волны дорожных неровностей X — случайные функции). В случае неустановившегося движения для решения задачи о выборе параметров вторичной амортизации нельзя использовать спектральную теорию под-рессоривания, так как требуется определить вероятность пробоя системы амортизации, что можно сделать только, зная законы распределения перемещений. Получить законы распределения выходных величин можно решением соответствующего данной многомерной задаче уравнения Колмогорова, что сделать для системы со многими степенями свободы очень сложно. Кроме того, при решении уравнения Колмогорова получается многомерный закон распределения вектора состояния системы, который менее удобен при решении ряда задач (определение вероятности достижения заданной границы и т. д.), чем одномерные законы распределения компонент вектора состояния, получаемые методом статистических испытаний. [c.101]

Итерационный процесс понижения числа степеней свободы системы, описанный выше, теоретически можно применять многократно до тех пор, пока не будут определены все частоты и формы колебаний системы со многими степенями свободы. Однако каждое собственное значение и собственный вектор, определяемые таким образом, являются только приближенными. Поэтому проводимая на каждом шаге ортогонализация будет неполной. Более того, каждое понижение числа степеней свободы сопровождается ошибками округления, которые накапливаются с каждым шагом. С вопросом о точности связано и то обстоятельство, что для получения большого числа частот и форм колебаний требуется выполнять необычно большое число арифметических операций, Следовательно, как об этом уже говорилось в начале данного параграфа, итерационный метод лучше всего использовать в том случае, когда требуется определить только несколько низших форм колебаний. Кроме того, необходимость выполнения большого числа арифметических операций в случае систем с очень большим числом степеней свободы требует применения ЭВМ, особенно тогда, когда трудно предугадать формы колебаний. Поэтому в приложении к книге дан текст программы на языке БЕЙСИК, под названием ЕШ1ТЗ, которая позволяет вычислять три первые собственные значения и собственные векторы матрицы с помощью итерационного метода. [c.298]

Булгаков Б. В. О применении метода Ван-дер-Поля к исевдолиней-ным колебаниям системы с многими степенями свободы. ПММ в, 395 [c.906]

Уравнения Лагранжа широко используют при изучении свободных колебаний мгханическнх систем во многих областях техники. Применение уравнений Лагранжа второго рода к определению частоты и периода свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы показано в примерах ( 128). [c.344]

Применительно к устойчивости равновесия консервативных систем с конечным числом сте,-пеней свободы при случайных возмущениях, не зависящих от времени, перечисленные задачи могут быть решены в рамках теории вероятностей. Это утверждение остается верным и для распределенных систем, если они аппроксимируются системами с конечным числом степеней свободы [5].В общем случае, когда исследуемое движение шш возмущения зависят явно от времени, требуется применение методов теории случайных функций [8]. Многие задачи о нахождении вероятности прибывания системы в заданной области родственны задачам теории надежности [11]. [c.525]

Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения материальной системы, подчиненной голономным связям, является применение уравнений Лагранжа. При наличии идеальных связей в эти уравнения не входят реакции связей. Если на материальную систему наложены голономные связи, то число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Применение этих уравнений особенно целесообразно при рассмотрении систем с несколькими степенями свободы. Так, в случае системы с двумя степенями свободы надо составить два дифференциальных уравнения движения. Если решать задачу, минуя уравнения Лагранжа, то необходимо из многих общих теорем и иных уравнений динамики найти два уравнения, применение которых наиболее целесообразно. Удачно выбрать уравнения и общие теоремы можно лишь на основе значительных навыков в решении задач или путем ряда неудачных проб и ошибок. Вместе с тем применение уравнений Лагранжа дает возможность быстро и безошибочно получить необходимые дифференциальные уравнения движения. Вообще говоря, при отсутствии ясного плана решения зад7чи лучше всего использовать уравнения Лагранжа. При этом существенную роль играет удачный выбор обобщенных координат. [c.549]

Метод иерархий кинетических уравнений, развитый H.H. Боголюбовым и H.H. Боголюбовым (мл.) [112-114], является весьма общим при описании динамических процессов в малой подсистеме, приводимой в контакт с термостатом, и нашёл широкое применение в теории сверхизлучения [120-123]. Он может быть также использован для описания широкого круга явлений в конденсированных средах. Подчеркнём, что понятие малой системы следует понимать в том смысле, что число степеней свободы этой системы много меньше, чем у термостата. [c.69]

Большинство конструкций роторов ТНА вполне достаточно схематизировать в виде системы с шестью степенями свободы. Во многих случаях удается упростить схему, уменьшив число степеней свободы до четырехпяти и даже до трех, без заметного влияния на точность расчета. Многообразие расчетных схем требует выбора в каждом конкретном случае наиболее эффективного метода расчета, учитывающего как степень сложности схемы по числу степеней свободы, так и применяемый метод вычислений (с применением или без применения ЭВМ), В настоящее время основными методами расчета критических скоростей роторов ТНА являются методы частотного определителя, динамических жесткостей и начальных параметров. [c.312]

Теорема, изложенная в предыдущих двух параграфах, имеет многочисленные применения к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы — в особенности к вопросу об устойчивости периодических решений. Как мы видели, задача об изоэпергетической устойчивости такой периодической орбиты может быть сведена к вопросу об устойчивости неподвижной точки некоторого двумерного отображения, сохраняющего площадь. В качестве применения мы еще раз вернемся к много раз обсуждавшейся ограниченной задаче трех тел. [c.319]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...