Устойчивость волн малой амплитуды

Устойчивость волн малой амплитуды [c.138]

При рассмотрении проблемы устойчивости волн малой амплитуды (см. 5) ограничимся случаем и = 2 и одномерного пространства, т.е. т= . Тогда плоская волна будет иметь вид = = у(аг - аде), гае у 2я-периодическая функция. Если амплитуда у мала, так что параметры задачи лежат в малой окрестности точки [c.138]

Таким образом, в отсутствие электрического поля режим равномерного всплывания пузырей неустойчив, при этом наиболее быстро будут возрастать амплитуды коротковолновых колебаний. Электрическое поле, направленное вдоль движения газовых пузырей, способствует стабилизации барботажных процессов. С ростом электрического поля а )> 0) скорость возрастания амплитуд малых возмущений становится ограниченной для любых длин волн. При дальнейшем увеличении напряженности электрического поля Е > р), если режим равномерного всплывания пузырей реализуется, то он будет устойчивым относительно малых возмущений. Если электрическое поле направлено под углом к вертикали, режим равномерного всплывания пузырьков неустойчив. [c.236]

Уточнение понятия устойчивости зависит от цели исследования. Например, при оценке прочности тела при динамической нагрузке решение задачи может считаться устойчивым, если малое изменение исходных условий не ведет к существенному изменению амплитуды и периода волны напряжений. Неустойчивость фазы волны при этом, очевидно, не имеет значения. [c.159]

Если амплитуда возбуждающих вибраций находится в некотором интервале <С 02> то монотонно нарастающая с момента включения источника этих вибраций амплитуда д возбуждаемых волн достигает через некоторое время максимальной предельной величины, после чего волновое движение, возбуждаемое вибрациями, становится периодическим и устойчивым. При этом, в отличие от линейного случая малых амплитуд, гребни стоячих волн теряют свою синусоидальную форму и приобретают в моменты наибольшего поднятия характер относительно узких язычков, напоминающих капли, которые еще не успели оторваться. Связанное с такой формой колебаний усиленное растяжение поверхности жидкости вызывает повышенный декремент затухания, чем и обусловливается восстановление устойчивости параметрических колебаний при приближении к стационарному состоянию [c.372]

Имеется очень важное различие между этими волнами и поверхностными волнами, рассматривавшимися ранее. В случае поверхностных волн волновые амплитуды ограничены требованиями гравитационной устойчивости свободной поверхности их максимальные наклоны должны быть малыми, так что результаты вынужденных (нерезонансных) взаимодействий должны быть также малыми и должны иметь более высокий порядок. [c.157]

Длина волны рельефа Х зависит не только от частоты, но и от амплитуды вибраций (фиг. 5). Вблизи границы устойчивости, пока высота рельефа остается сравнительно небольшой, с увеличением частоты происходит незначительное уменьшение X. При повышении надкритичности наблюдается быстрое нарастание высоты рельефа (фиг. 2) и резкое увеличение длины волны (фиг. 1, в-е). Это особенно заметно в случае малых амплитуд вибраций (высокие частоты), когда при незначительной надкритичности период скачком увеличивается практически вдвое (фиг. 5, знаки /). Вблизи границы устойчивости независимо от амплитуды вибраций результаты удовлетворительно согласуются между собой (кривая Г). С повышением частоты кривая / плавно понижается и выходит на некоторое асимптотическое значение в области частот /> 50 Гц. [c.31]

При малых скоростях Uq < относительного движения этому дестабилизирующему фактору препятствуют силы тяжести и поверхностного натяжения, так что система устойчива, и волны имеют нейтральный характер (амплитуда не изменяется во времени). При [c.153]

Далее обсуждаются разные критерии устойчивости и введен кинематический критерий. Показано, что в частном случае самосопряженной краевой задачи кинематический критерий равнозначен бифуркационному. Ограничимся задачами нелинейной теории упругости и не будем обсуждать многочисленные решения, относящиеся к теории перемещений или малых деформаций. Здесь также выведены условие распространения волны слабого разрыва, управляющие амплитудой уравнения и уравнения акустического луча. Рассуждения иллюстрируются примером, в котором описывается распространение акустической волны в толстостенном цилиндре, подверженном действию внешнего или внутреннего гидростатического давления, а также дополняются обсуждением разных скоростей волны, т. е. фазовой скорости, групповой скорости и скорости сигнала. [c.9]

Исследование устойчивости осесимметричных волн показало, что критические пределы для величины поперечных перемещений определяются точками бифуркации на диаграмме амплитуда—фазовая скорость. В этих точках малые возмущения системы приводят к параметрическому возбуждению неосесимметричных форм свободных колебаний. Для конкретных длин волн в продольном направлении следует проверять возможность возбуждения колебаний по нескольким формам. [c.77]

Решив его, мы можем найти амплитуду В как функцию инверсии Можно показать, что при достаточно малых, но отличных от нуля значениях существует устойчивое стационарное состояние. Исследованные случаи относятся к лазеру бегущей волны. В некоторых интервалах параметров можно получить сразу три решения с постоянными амплитудами, и при этом будет возможен гистерезис. [c.201]

В силу результатов о распространении волн, приведенных в XI. 8, теорема Адамара означает, что в конфигурации, устойчивой по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям для любой смешанной граничной задачи, все акустические числа неотрицательны. Отсюда следует, что в случае, когда акустический тензор симметричен, так что имеется по крайней мере одна тройка ортогональных акустических осей, в каждой точке конфигурации, устойчивой по Адамару, существуют для любой данной волновой нормали по крайней мере три взаимно ортогональные амплитуды с тремя действительными скоростями распространения. Одна или более из этих скоростей могут обращаться в нуль. [c.359]

Основные результаты линейной теории в применении к волновым процессам хорошо известны. Малые возмущения в виде бегущих волн, наложенные на основное ламинарное течение с параболическим профилем скорости, могут либо усиливаться, либо затухать. Для каждого расхода жидкости существует критическая длина волны X, которая разделяет усиливающиеся (X > и затухающие (X < Х р) возмущения. В плоскости Не, X критические значения образуют линию нейтральной устойчивости. Основные недостатки линейной теории состоят в том, что она не позволяет определить амплитуду волны и ее зависимость от числа Ке. Эта теория [c.7]

Факторы, приводящие к неустойчивости, описаны в общих чертах в 2. Возмущение, способное извлекать энергию из основного волнового движения, состоит из пары синусоидальных волн, частоты и волновые числа которых отличаются от основной частоты и волнового числа на некоторую малую их долю. Нелинейные эффекты препятствуют ослаблению этих волн вследствие дисперсии, н они приходят в резонанс со второй гармоникой основного движения, вследствие чего их амплитуды совместно увеличиваются, причем увеличение происходит экспоненциально по времени и пройденному расстоянию. В 3 приведено подробное исследование устойчивости цугов волн на воде произвольной глубины Л и показано, что они неустойчивы, если основное волновое число к удовлетворяет условию кк > 1,363, и устойчивы в противном случае. Наконец, в 4 обсуждаются некоторые экспериментальные результаты относительно неустойчивости волн на глубокой воде н дается обзор некоторых возможных приложений этих идей к другим частным системам. [c.83]

Скважины в рыхлых водонасыщенных породах обладают малой устойчивостью и не могут сохраняться без обсадки. Попытки проведения ВСП в скважинах, обсаженных стальными трубами, в частотном диапазоне до 2000 Гц малопродуктивны, поскольку а) амплитуды полезных сигналов резко ослабляются при прохождении через колонну б) в трубе образуются интенсивные волны-помехи. Одна из помех-волна, распространяющаяся по стали со скоростью около 5 км/с. На фоне этой помехи, регистрируемой на записи ВСП в первых вступлениях, невозможно надежно изучать скоростные характеристики разреза. Другой Помехой являются волны, возникающие внутри скважины. Эти волны Идут по столбу жидкости со скоростью 1500 м/с, многократно отражаясь от устья и забоя. Эта помеха наиболее опасна, ибо скорости в морских Грунтах близки к 1500 м/с. [c.141]

Итак, волны высших мод, вообще говоря, распадаются на волны более низких мод, передавая им свою энергию. В свою очередь эти более низкие моды передают свою энергию еще более низким модам. Только волны, соответствующие нулевой и первой нечетной модам, практически не меняют амплитуду при взаимодействии с малыми возмущениями в виде остальных волн. В этом смысле волны высших мод могут быть названы распадно неустойчивыми, а волны, соответствующие нулевой четной и первой нечетной модам, - устойчивыми. [c.143]

Фотографии рельефа в вертикальном продольном сечении слоя приведены на фиг. 1. Высота рельефа а вблизи порога устойчивости мала (фиг. 1, й и б) с увеличением надкритичности нарастает (фиг. 1, в-е), длина волны изменяется. Изменение высоты рельефа с частотой для различных значений амплитуды вибраций показано на фиг. 2. [c.30]

Из фиг. 5 и 6 следует, что вблизи границы устойчивости, пока амплитуда возмущений мала, определяющую роль в формировании рельефа играет безразмерная частота пороговые точки, полученные при различных амплитудах, согласуются друг с другом. Однако в надкритической области, где наблюдается резкое возрастание длины волны, частота перестает играть такую роль. Здесь, как видно из фиг. 5,1-5, отсутствует согласие между полученными при различных амплитудах результатами. Последнее свидетельствует о качественном изменении "поведения" поверхности границы раздела жидкостей и связано, очевидно, с проявлением надкритической динамики волн. [c.34]

В случаях испытания образцов как с плоскими, так и с криволинейными поверхностями малейшее изменение расположения преобразователей, закрепленных на поверхности образцов, приводило к значительным изменениям уровня сигнала, отмечаемого индикатором. Несмотря на то, что характеристика приемника не была строго линейной и давала искажения при больших амплитудах, имелся достаточно широкий диапазон, на котором линейность сохранялась. Из приведенных опытов выяснилось, что интерференционные явления, связанные с образованием стоячих волн, настолько сильны, что делают невозможным применение метода незатухающих волн для испытания материалов за исключением тех случаев, когда дефекты настолько велики, что почти полностью прекращают распространение звука в образце. При этом наблюдается большое количество ложных сигналов, которые можно отличить от правильных, проводя многократное повторение испытаний. На основании повторяемости того или иного сигнала можно выяснить, соответствует ли он дефекту в материале или нет. В тех случаях, когда поперечное сечение трещины в материале настолько велико, что полностью прерывает распространение ультразвука, результаты испытаний оказываются вполне удовлетворительными получаются четкие и устойчивые сигналы. [c.152]

Обоснование всех описанных выше методов и доказательство итерационного процесса можно найти в работах Коппель и Ховарда. В заключении заметим, что все эти методы могут быть реализованы численно. Это дает возможность для достаточно малых значений волнового числа а строить волновые решения и тем самым получать периодические по пространству волны для достаточно сложных моделей конкретных многовидовых сообществ. К сожалению, здесь трудно что-либо сказать об устойчивости этих волн, но некоторые конкретные примеры подтверждают, что они устойчивы. Проблема устойчивости пока разрешается в достаточно общем виде только лишь для волн малой амплитуды. Обсуждению этой проблемы и будет посвящен следующий параграф. [c.138]

Вопрос был окончательно разрещен в знаменитой работе Леви-Чивита [9]. Он доказал, что стоксово разложение для волн на воде бесконечной глубины сходится при достаточно малых значениях отнощения амплитуды волны к ее длине тем самым было показано, что нелинейные граничные условия в задаче о волнах на воде могут точно удовлетворяться для волн неизменной формы. Это доказательство было обобщено Стройкой [13] на волны малой амплитуды на воде произвольной глубины, а в недавних работах Красовского [6, 7] было установлено, наконец, существование установивщихся периодических волн для всех амплитуд, меньщих предельной, при когорой гребень волны становится острым. Однако несмотря на больщое число работ по доказательству существования волн на воде, имеющих неиз-меняющуюся форму, вопрос об их устойчивости до сих пор, невидимому, не рассматривался, если не считать некоторых попыток Кортевега и де Фриза в 1895 г., относящихся к длинным волнам на мелкой воде. Удивительный факт, обнаруженный к настоящему времени, состоит в том, что волны Стокса на достаточно глубокой воде определенно неустойчивы. [c.84]

СЕЙСМОСТОЙКИЕ КОНСТРУКЦИИ, особенные конструкции сооружений, рассчитанных на прочное сопротивление разрушительному воздействию на них землетрясений. Колебания почвы во время землетрясения происходят преимущественно в горизонтальном направлении, и эта именно особенность колебаний есть главная причина разрушительного их действия на сооружения колебания в вертикальном нанравлении мало влияют на устойчивость сооружений из рассмотрения исключаются конечно значительные изменения земной поверхности, против чего все мероприятия по приданию сооружению сейсмостойкости могут оказаться безрезультатными. Измерение сотрясений нри помощи сейсмографов (см.) выявило, что продольные по отношению к земной поверхности волны, при периодах колебания 1—1,5 ск. и более, имеют длину в 1 км я более и амплитуды колебаний, доходящие при сильных землетрясениях до 10 СМИ при чрезвычайных землетрясениях до 15 сж, а иногда местами до 50 см (Япония, 1923 г.), а поперечные волны имеют период колебания 4—5 ск. при длине волны в несколько км и малой амплитуде колебаний. Ускорения и замедления движения почвы в горизонтальном (или, вернее, несколько наклонном к горизонту) направлении доходили при больших землетрясениях до 5 м/ск , или до 50% от ускорения силы тяжести ( =9,81 м/ск ), вертикальные же ускорения и замедления движения почвы значительно меньше но величине и сказываются лишь на увеличении силы тяжести (в крайнем случае до 15 %), что обыкновенно парализуется увеличением коэф-та запаса прочности при расчете сооружения. Т. о. при расчетах С. к. приходится считаться лишь с горизон-тальньши компонентами ускорений, с т. н. уско- [c.235]

При Р. в слое стоячие капиллярные волны частоты 0,5 / образуются на поверхности слоя жидкости, покрывающей пластину, колеблющуюся перпендикулярно своей плоскости с частотой /. С увеличением амплитуды колебаний пластинки амплитуда возбуждаемых волн монотонно нарастает, достигая через нек-рое время предельной величины, после чего волновое движение, возбуждаемое колебаниями, становится периодическим и устойчивым. При этом в отличие от линейного случая малых амплитуд гребни стоячих волн теряют свою синусоидальную форму и становятся похожими на сравнительно узкие язычки, напоминающие капли. С дальнейшим увеличением амплитуды происходит отделение капель жидкости от гребней таких волн. Обычно при Р. в слое используются колебания с частотой — десятков кГц, и диаметр капель составляет десятки мкм. Производительность акустич. Р. достигает нескольких литров и даже десятков литров в час, увеличиваясь с ростом амплитуды колебаний поверхностп и уменьшаясь при переходе к более вязким жидкостям. Толщина слоя жидкости должна быть небольшой — — долей мм, но не менее kJ2. Такой вид Р. применяют для приготовления порошков и в УЗ-вых форсунках для Р. жидкого топлива. В качестве распылительных устройств используются резонансные пьезоэлектрические преобразователи из пьезокерамики илп магнитострикционные преобразователи стержневого типа с концентраторами, имеющими канал по оси (рис. 1). Жидкость вводится в канал 5 в узловой плоскости концентратора и растекается слоем по поверхности фланца 4, к-рый играет роль колеблющейся пластины. Амплитуда колебаний составляет от 10 до 30 мкм. [c.297]

Таким образом, схема (1.52) обладает следующими благоприятными свойствами третьим порядком аппроксимации трехточечносхью шаблона в направлении л и двухслойностью по t , абсолютной устойчивостью малыми амплитудами и фазовыми ошибками для не слишком коротких волн и подавлением высокочастотных схемных осцилляций. [c.33]

Заключение. Исследована устойчивость течения в пограничном слое с периодической по размаху неоднородностью профиля скорости, моделирующей полосчатую структуру. При появлении неоднородности сколь угодно малой амплитуды дисперсионное соотношение для волн Толмина - Шлихтинга расщепляется на две периодические по р ветви, соответствующие симметричным и антисимметричным модам. Наиболее быстрорастущими являются симметричные моды, однако антисимметричные возмущения имеют более широкий диапазон неустойчивых частот, а при заданной частоте нарастают на более протяженном участке вдоль потока. [c.25]

Кроме взаимодействия волны с дефектами кристалла структура Н. с. в большой мере определяется взаимодействием волны с осн. структурой. В трёхмерных системах благодаря этому взаи.модействию Н. с. в строгом смысле слова не существуют даже в идеальном кристалле. Можно показать, что при иррациональном отношении Я периода замороженной волны к периоду осн. структуры система обладает большим термодина-мич. потенциалом, чем при любом рациональном значении Я, бесконечно близком к данному иррациональному. Поэтому при данной Т существует бесконечное кол-во устойчивых фаз с разл. (рациональными) значениями Я. При изменении Т равновесная система должна испытать бесконечное число фазовых переходов между этими соразмерными (С) структурами. В большинстве случаев, однако, скачки разл. величин, напр. теплоёмкости, при таких переходах оказываются столь малыми, что свойства системы неотличимы от свойств Н. с. В двумерных системах влияние осн. структуры ослаблено из-за тепловых флуктуаций (роль к-рых возрастает при переходе к системам меньшей размерности). При конечной Т устойчивыми оказываются только соразмерные фазы с не очень большим отношением периодов. На фазовой диаграмме с ними граничат особые Н. с. с ква-зиидальным порядком , когда соответствующие корре-ляц. функции обнаруживают не простое осцилляц. поведение (как для периодич. структуры), а с амплитудой осцилляций, убывающей с расстоянием по степенному закону. [c.335]

Несмотря на это, различия между модовыми структурами резонаторов с малыми и с большими дифракционными потерями оказываются огромными и носят принвдпиальный характер. Причины достаточно очевидны. Ведь в том же плоском резонаторе коэффициент отражения от края близок к единице, и две следующие навстречу друг другу волноводные волны на всем сечении резонатора имеют почти равные амплитуды. В результате интерференции двух волн одинаковой интенсивности и образуется характерное знакопеременное распределение амплитуды по сечению. То же самое имеет место и в устойчивых резонаторах, только там бегущая от оси волноводная волна отражается не от края зеркала, а от каустики (благодаря постепенному изменению направления распространения входящих в нее световых пучков при попеременном отражении от вогнутых зеркал). [c.127]

Таким образом, нет надобности в телескопе с большим объективом. (Интерферометр Майкельсона был смонтирован на большом рефлекторе с диаметром зеркала 2,5 м обсерватории Маунт Вильсон, выбранном только из-за"прочности своей механической конструкции. При расстоянии между зеркалами Мз и УИ4 114 см расстояние между интерференционными полосами в фокальной плоскости составляло около 0,02 мм.) Необходимо только иметь возможность достаточно далеко раздвигать отверстия О1 и 0 с зеркалами Мх и М2. Это предъявляет весьма жесткие требования к механическим качествам установки. Случайные колебания зеркал с амплитудами, составляющими незначительные доли длины волны, сделали бы измерения тто этому методу невозможными. Допустим ради простоты, что центр зеркала все время остается неподвижным, а его концы испытывают беспорядочные смещения порядка Л. Если бы зеркало было абсолютно твердым, то такие смещения вызвали бы беспорядочные вращения плоскости зеркала на углы порядка 2h/d, где й — диаметр зеркала. Благодаря этому отраженные от зеркала лучи беспорядочно меняли бы свое направление на углы порядка ih/d. Это повело бы к дрожанию дифракционных колец. Для устойчивости интерференционных полос необходимо, чтобы угол ih/d был мал по сравнению с угловым расстоянием между звездами к/(2В), т.е. должно быть h< dk/ ЪB). Хотя действительные беспорядочные колебания зеркал сложнее рассмотренных беспорядочных вращений, приведенный пример дает правильное представление о трудностях, которые должны быть преодолены при конструировании прибора. Майкельсон успешно справился с этой задачей. [c.383]

Современная теория аномальных переносов в плазме [6.18] предсказывает, что основной вклад в электронную теплопроводность дают надтепловые флюктуации размером порядка скиновой длины. Это связано с исчезновение вмороженности электронов в магнитное поле на таких масштабах. Однако в линейном приближении возмущения магнитного поля такого размера устойчивы. В [6.19] показано, что из-за нелинейных эффектов возможно возникновение и усиление уединенных структур в виде вихревых трубок, которые отличаются от рассмотренных выше уединенных альфвеновских вихрей малым диаметром (много меньшей гщ). Оказывается, что такие вихри бегут со скоростью, меньшей дрейфовой. Поэтому их амплитуда может расти под влиянем затухания Ландау или столкновительной диссипации на электронах. Это явление аналогично линейной дрейфово-диссипативной неустойчивости потенциальных дрейфовых волн (см. гл. 1). Эти волны усиливаются из-за того, что в линейном случае скорость их распространения меньше дрейфовой скорости. [c.149]

Это приближение справедливо при a- l или, если К мало, при ka K . Последнее требование налагает дополнительное ограничение на основную амплитуду а, когда длина волны намного превосходит глубину воды в этом случае более полезным оказывается приближение кноидальной волны, данное Кортеве-гом и де Фризом (см. [5, 8, 253]). Однако устойчивость кноидальных волн уже, по существу, доказана Кортевегом и де Фризом и Уиземом [14] поэтому она не представляет здесь интереса, так что случай очень длинных волн здесь не рассматривается. [c.92]

Для волн на глубокой воде экспериментальные результаты Бенджамена и Фейра достаточно хорошо согласуются с предсказаниями теории, не оставляя сомнения в правильности, по существу, описания процесса нарушения устойчивости. Как уже отмечалось, в большинстве опытов дискретные боковые гармоники, имеющие заданное отклонение по частоте б, создавались одновременно с основным цугом волн путем простого наложения слабой модуляции на возвратно-поступательное движение волнопродуктора. Их начальные амплитуды были примерно одинаковы и очень малы, хотя и достаточно велики для ясного различения возмущений над уровнем помех в системе. [c.100]

Гладкая поверхность раздела обычно реализуется при очень малых скоростях течения смеси. С увеличением скорости потока и уменьшением расходного газосодержания устойчивость поверхности раздела нарушается и на ней образуются волны. Причем типы волн, формирующихся на поверхности раздела, весьма различны. При сравнительно малых скоростях потока образуются плоские волны с гребнями, распространяющимися на всю ширину границы раздела. Устойчивые плоские волны наблюдаются при больших глубинах заполнения жидкости и соответствуют диапазону изменения истинного газосодержания 0,3 < ф < 0,8. В своем большинстве профили плоских волн близки к синусоидальным, их амплитуда и частота достаточно стабильны. При уменьшении газосодержания (ф < 0,3) плоские волны становятся неустойчивыми и поток быстро переходит в пробковый. И наоборот, при малых содержаниях жидкости (ф > 0,8) и больших скоростях течения газовой фазы, когда на поверхности раздела появляются шквальные волны, разделенный режим более устойчив. Амплитуда и частота шквальных волн изменяются беспорядочно, обра- [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...