Случай малой амплитуды

Необходимо отметить, что полученные результаты справедливы в том случае, когда колебание и течение отвечают тем допуш,е-ниям, которые приняты при решении задачи. Решения первого и второго приближений пригодны для случая малых амплитуд колебаний скорости и больших значений частоты колебаний, что ограничивает применение рассмотренных решений. [c.163]

Динамич. магн. восприимчивость ферромагнетика может быть найдена в результате рещения ур-ния (1) при заданных постоянном и переменном А, магн. полях в каждой точке при этом в учёте ур-ний электродинамики и граничных условий нет необходимости. Сделаем следующие допущения 1) намагниченность однородна тогда в правой части ур-ния (2) нужно принимать во внимание только первый член 2) ферромагнетик изотропный и непроводящий, магнитоупругое взаимодействие нё учитывается тогда в F входят только магн. энергия —M Ho + h ) и обменная энергия, к-рую при однородной намагниченности можно записать в виде —(1/2)АЛ/ , где Л — константа обменного взаимодействия ф. поле обменного взаимодействия в ур-ние (1) не войдёт и, i. о., Н = На + к 3) потери энергии не учитываются, т. е. Л = 0 4) рассматривается случай малых амплитуд, т. е. [c.306]

Так как плотность является теперь функцией положения в пространстве, то при выполнении вычислений необходимо различать друг от друга отдельные частицы жидкости, следовательно, уравнений движения в форме Эйлера недостаточно. Однако нет нужды прибегать к уравнениям движения в форме Лагранжа, так как вследствие математических трудностей приходится ограничиваться пока только случаем малых амплитуд. В этом случае можно выразить перемещения г], С, частицы в виде функций от ее координат х, у, z неподвижном пространстве и от времени [c.496]

Для указанного выше случая малых амплитуд при плоском течении получаются следующие перемещения С и [c.497]

Предельный случай малых амплитуд вибрационной скорости. Рассмотрим вначале случай малых амплитуд вибрационной скорости, когда форма свободной поверхности определяется в основном [c.104]

Правило удвоения скоростей можно получить и из общих уравнений для ударной волны и волны разрежения, если перейти в них к предельному случаю малых амплитуд волн. [c.559]

Чтобы оценить влияние этих сил сопротивления движению, построим приближенное решение для случая малых амплитуд колебаний. Предполагая, что Фо< 1, можно приближенно принять [c.160]

Решения, полученные в предыдущем разделе, можно существенно упростить, если ограничиться случаем малых амплитуд фо< 1. Подобные приближения могут быть очень полезны и интересны, хотя они и не позволяют исследовать некоторые особенности движения, например влияние нелинейной характеристики. [c.179]

Если амплитуда возбуждающих вибраций находится в некотором интервале <С 02> то монотонно нарастающая с момента включения источника этих вибраций амплитуда д возбуждаемых волн достигает через некоторое время максимальной предельной величины, после чего волновое движение, возбуждаемое вибрациями, становится периодическим и устойчивым. При этом, в отличие от линейного случая малых амплитуд, гребни стоячих волн теряют свою синусоидальную форму и приобретают в моменты наибольшего поднятия характер относительно узких язычков, напоминающих капли, которые еще не успели оторваться. Связанное с такой формой колебаний усиленное растяжение поверхности жидкости вызывает повышенный декремент затухания, чем и обусловливается восстановление устойчивости параметрических колебаний при приближении к стационарному состоянию [c.372]

Волны Стокса для случая малой амплитуды можно найти, исходя из линейного решения, и кажется разумным предположить, что критическая высота действительно достигается при т] = 217/3. Если К (X) ведет себя как X при X -> О, а т] (X) имеет при X О вид 217/3 — Iто исследование уравнения (13.132) показывает, что [c.460]

Случай малой амплитуды [c.547]

Площади Е, и Ег резервуаров должны быть заданы как функции а. Однако для случая колебаний с малой амплитудой площади Е1 и Еа можно полагать постоянными. [c.341]

Если частота р вынужденных меньше частоты k (свободных) собственных колебаний (случай малой частоты), то амплитуда вынужденных колебаний Аз = к/ — р ), а фаза pt вынужденных колебаний совпадает с фазой pt возмущающей силы. Но если р > k (случай большой частоты), то выражение, написанное для Аз, становится отрицательным, однако амплитуда не может быть отрицательной. Это кажущееся несоответствие объясняется тем, что при p>k фаза вынужденных колебаний противоположна фазе возмущающей силы и уравнение вынужденных колебаний имеет вид [c.279]

Акустические методы основаны на измерениях амплитудно-частотных характеристик шумов, сопровождающих течение неоднородных сред. Их применяют при исследовании газожидкостных потоков, имеющих пузырьковую структуру. Пузырьки газа или пара, размеры которых близки к резонансному для данной частоты звука, вызывают значительное затухание звуковой энергии. Для случая, когда амплитуда колебаний мала по сравнению с размерами пузырька, резонансная частота связана с радиусом пузырька соотношением [c.242]

Отсюда можно найти 0 при помощи квадратуры, которая для случая очень малых амплитуд может быть выполнена в конечной форме. [c.387]

Замечание, относящееся к случаю, когда амплитуда нутации есть весьма малая величина второго порядка.— В предыдущих вычислениях мы предполагали, что амплитуда Й нутации есть весьма малая величина первого порядка. Если начальное вращение происходит вокруг оси тела, то нутация, как мы знаем, есть малая второго порядка. Посмотрим, каков будет порядок приближения в наших формулах,, если й будет малой величиной второго порядка. [c.148]

Если все значения отрицательны (и различны), то существует п таких нормальных колебаний наиболее общий случай малых колебаний системы получается путем сложения нормальных колебаний с произвольными, амплитудами и фазами таким образом [c.223]

Рассмотрим сначала нерезонансный случай. Решение соответствую-ш его однородного уравнения (23.10.2) определяет свободные колебания. Однако они не представляют для нас интереса, поскольку в механической системе практически всегда имеется трение, и потому свободные колебания затухают. Частное решение, которое стремится к периодической функции с периодом 2п р, выражает вынужденное колебание. Вынужденное колебание малой амплитуды всегда суш ествует если же р п, то существуют два вынужденных колебания конечной амплитуды. [c.481]

Амплитуды второй и всех последующих гармоник для данного случая малы по сравнению с амплитудой первой гармоники, так что вынужденное движение механизма будет совершаться приближенно по гармоническому закону [c.181]

Таким образом, в плоской волне для случая малых колебаний амплитуда колебания давления пропорциональна амплитуде массовой скорости и скорости звука. [c.67]

Действительная часть полученных выражений характеризует амплитуду колебаний, а мнимая — соответствующую фазу колебаний. В качестве примера рассмотрим случай малых значений коэффициента ослабления р. Можно принять [c.75]

Заметим, что в случае трех фаз при больших амплитудах" процесс переходит на случай четырех фаз, и, наоборот, в случае четырех фаз при малых амплитудах" процесс меняется на чередование трех фаз. Но так как возрастание малых амплитуд" и убывание больших амплитуд" нами доказано для обоих случаев, то эта смена чередований фаз для нашей цели значения не имеет. [c.100]

Выведенные до сих пор вариационные принципы касались краевой задачи теории упругости. В последних двух параграфах этой главы рассмотрим вариационные формулировки задачи о свободных колебаниях упругого тела при малых перемещениях. Задача формулируется так, что тело свободно на 5 и закреплено на S . Поскольку мы ограничиваемся случаем малых перемещений, все уравнения задачи линейны, а перемещения и напряжения в теле изменяются гармонически во времени. Обозначив амплитуды напряжений, деформаций и перемещений через. ......., и, [c.66]

Начнем со случая, когда амплитуда сигнального импульса мала, так что для него доминирующим процессом является дисперсионное расплывание. Суперпозиция q x, 0) с солитонным импульсом q x, 0) при С 1 приводит к изменению параметров пробного солитона [c.233]

Выясним теперь поведение амплитуды и сечения рассеяния. Начнём со случая малых а, Рассмотрим сперва область малых углов рассеяния 0, удовлетворяющих условию /(j0< ll. Для малых значений аргумента диффракционный интеграл определяется формулой (22.10). Пользуясь этой формулой и замечая, что при лг<С 1, /q Ь [c.213]

Легко показать, что бегущая волна конечной (в отличие от бесконечно малой) амплитуды не может распространяться, не изменяя своей формы, за исключением только одного случая определенного вида зависимости между давлением и плотностью. Если допустить существование бегущей волны неизменной формы, то, мысленно сообщая всей массе воздуха скорость, равную и противоположную по знаку скорости волны, получим установившееся , как его называют, течение, при котором скорость, давление и плотность в любой точке не меняются с течением времени. Для определенности рассмотрим воздух, находящийся в длинной прямой трубе с единичным поперечным сечением. Поскольку скорость и является теперь функцией только пространственной координаты х, ускорение частиц воздуха будет равно, как в обычной динамике. Рассматривая ускорение массы, заключенной в рассматриваемый [c.224]

В случае ненулевого затухания функция а(т) нелинейна и в общем случае (8.13) не сводится к квадратурам. Здесь мы ограничимся случаем малых потерь, когда (кТ) < 1, т.е. амплитуда собственных колебаний осциллятора за время Т почти не меняется. При этом а = Хт, где Х = к/2 + /(е + 77о).ииз (8.13) следует [c.217]

При Р. в слое стоячие капиллярные волны частоты 0,5 / образуются на поверхности слоя жидкости, покрывающей пластину, колеблющуюся перпендикулярно своей плоскости с частотой /. С увеличением амплитуды колебаний пластинки амплитуда возбуждаемых волн монотонно нарастает, достигая через нек-рое время предельной величины, после чего волновое движение, возбуждаемое колебаниями, становится периодическим и устойчивым. При этом в отличие от линейного случая малых амплитуд гребни стоячих волн теряют свою синусоидальную форму и становятся похожими на сравнительно узкие язычки, напоминающие капли. С дальнейшим увеличением амплитуды происходит отделение капель жидкости от гребней таких волн. Обычно при Р. в слое используются колебания с частотой — десятков кГц, и диаметр капель составляет десятки мкм. Производительность акустич. Р. достигает нескольких литров и даже десятков литров в час, увеличиваясь с ростом амплитуды колебаний поверхностп и уменьшаясь при переходе к более вязким жидкостям. Толщина слоя жидкости должна быть небольшой — — долей мм, но не менее kJ2. Такой вид Р. применяют для приготовления порошков и в УЗ-вых форсунках для Р. жидкого топлива. В качестве распылительных устройств используются резонансные пьезоэлектрические преобразователи из пьезокерамики илп магнитострикционные преобразователи стержневого типа с концентраторами, имеющими канал по оси (рис. 1). Жидкость вводится в канал 5 в узловой плоскости концентратора и растекается слоем по поверхности фланца 4, к-рый играет роль колеблющейся пластины. Амплитуда колебаний составляет от 10 до 30 мкм. [c.297]

Спрашивается, в чем же состоит порочность подобного способа нахождения решений для рассматриваемого случая Ответ на этот вопрос мы находим в уже отмеченном свойстве неизо-хронности колебаний системы. В самом деле, выбранная нами форма решения предусматривает существование движения с постоянным периодом 2я/(Оо, т, е, периодом колебания в нулевом приближении. В действительности же период движения с конечной амплитудой принципиально отличен от периода колебаний системы с бесконечно малой амплитудой. Поэтому и получается указанное нами противоречие, которое может быть ликвидировано только посредством отыскания решения с периодом, отличающимся от периода колебаний в нулевом приближении. [c.27]

Первый случай, когда в среде распространяются колебания давлений малой амплитуды. Это — звуковые колебания. Здесь можно допустить отсутствие подвода тепла извне и считать рассматриваемый процесс адиабатическим. Тогда зависимость плотности газа от давления будет р/р = сопз1. Малые колебания давления приведут к малым изменениям плотности [c.114]

Интегрирование этих уравнений сложное. Можно пытаться это сделать при помощи последовательных приближений, оперируя так же, как и в предыдущей задаче. Опуская общий случай, займемся тем частным случаем, когда колебания имеют очень малую амплитуду. Приближение будет заклю- [c.254]

В работе проведены исследования изменения эффективного значения выходного сигнала от напряженности постоянного магнитного поля и амплитуды циклических напряжений при симметричном цикле растяжение — сжатие. Результаты, полученные на низкоуглеродистой стали Э12, представлены на рис. 3. Кривая 1 (случай очень малой амплитуды циклических напряжений) представляет собой, согласно (12), как легко можно убедиться из рис. 2, кривую изменения дВ1до от поля при Остах = 0, т. е. тангенс угла наклона касательной к кривым, представленным на рис. 2 в точке о = 0. Сравнение кривой 1 на рис. 3 с кривой магнитострикции также показывает, что они связаны термодинамическим соотношением (1). Имеющиеся два максимума на кривой 1 (рис. 3) расположены там, где производная от магнитострикции по полю имеет максимальное абсолютное значение. При электромагнитоакустическом методе возбуждения и приема ультразвука, как известно, кроме механизма пондермоторного взаимодействия в ферромагнетиках существенный вклад вносят магнитострикция (при возбуждении) и магнитоупругий эффект (при приеме ультразвука). Амплитуда ультразвукового сигнала, обусловленная вкладом только последних двух явлений, должна изменяться с полем, согласно (1) и (12), так же, как и кривые на рис. 3, т. е. иметь два максимума. [c.130]

I, А>0 (предельный случай перехода типа смещения) неустойчивой оказывается небольшая часть длинноволно-вь[х колебаний вблизи высокотемпературного положения равновесия ниже происходит замораживание мягкой фононной моды. В одномерном случае гамильтониан допускает возможность точных решений ур-ний динамики, к-рые обнаруживаю 2 типа элементарных возбуждений в системе фоноиы с малой амплитудой колебаний и со.ш-тоны (доменные стенки)—с большой [6] (см. также Точно решаемые модели в статистич. физике). [c.8]

Формальная процедура вычисления их поляризации, а также эффективности соответствуюш,их дифракционных процессов для общего случая проанализированы в [5.4, 5.19]. Для рассматриваемого здесь случая малых брэгговских углов 0 1 считывающая и про-дифрагировавшая световые волны поляризованы приблизительно в плоскости (110). Поэтому собственные типы дифракции оказываются поляризованными вдоль собственных осей тензора 2-го порядка, ограниченного в (5.28) пунктирным прямоугольником. Теоретические зависимости их поляризации и соответствующих амплитуд дифракции, а также соответствующие экспериментальные данные, полученные для кубического ФРК ВТО в [5.32] приведены на рис. 5.11. Отметим, что в соответствии с (5.30) максимальная величина эффективности дифракционного процесса в кубсическом ФРК достигается при К II [111] для //-поляризованных световых волн [c.95]

Общее решение дифференциальных уравнений (8.9а) и (8.96) представляет полное описание процесса генерации второй гармоники при облучении кристалла когерентным монохроматическим лазерным излучением и учитывает возникающее ослабление основной волны. Рассмотрим случай малых коэффициентов преобразования, когда пространственной зависимостью амплитуды основной волны можно пренебречь и решение задачи сводится к интегрированию (8.96). Если амплитуда второй гармоники на входе в кристалл, т. е. при г = 0, исчезает, то уравнение (8.96) легко проинтегрировать, вводя новые переменные r = t — zlv2 и 2 = 2 [c.278]

Несколько иначе изменяется скорость роста трещинь , если две различные амплитуды напряжения прикладывать в обратной последовательности (рис. 74, б). Рост -фещины будет замедляться, но при этом скорость не сразу достигнет значений, соответствующих случаю нагружения с постоянной малой амплитудой — рост в течение некоторого времени фактически прекращается, а затем возобновляется с новой скоростью. [c.228]

Вынужденные колебания нелинейной системы, описываемой уравнением Дуффинга, исследовать столь просто не удается. И поныне это уравнение исследовано не полностью. Без особого труда удастся исследовать только случай малых затуханий б и а > 0. Резонансные кривые имеют при этом вид, показанный на рис. 1.11, и отличаются от резонансных кривых линейного осциллятора (рис. 1.10) наклоном ника и появлением неодноднознач-ности. Наклон происходит влево или вправо в зависимости от знака величины Ь в уравнении Дуффинга (1.18). Этим наклоном и неоднозначностью вызывается известное явление гистерезиса амплитуды вынужденных колебаний при медленном изменении частоты V внешней силы. Опо состоит в скачках амплитуды и том, что эти скачки происходят [c.16]

Пожалуй, наиболее важными для случая больших амплитуд и малых S являются опыты Кейлегана и Карпентера ) с ци- [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...