Нелинейные волны в диссипативной среде

Уравнение (9-49) описывает эволюцию нелинейных волн в диссипативной среде я, в отличие от уравнения (9-42), содержит в качестве решения ударные волны. [c.256]

Нелинейные волны в диссипативной среде [c.196]

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИССИПАТИВНОЙ СРЕДЕ 197 [c.197]

Нелинейные волны в диссипативных средах. [c.148]

В этом разделе будут рассмотрены одномерные сходящиеся и расходящиеся сферические и цилиндрические волны. Амплитуда этих волн, в отличие от плоских, меняется не только под действием диссипативных процессов, но и из-за геометрических условий распространения. Очевидно, что это обстоятельство должно сказаться на масштабах различных явлений, связанных с искажением формы волны в расходящихся волнах амплитуда волны быстро убывает и нелинейные искажения тормозятся не только тем, что в среде есть диссипативные потери, но и расходимостью наоборот, в сходящихся волнах амплитуда волны возрастает и геометрические условия распространения в какой-то мере компенсируют затухание в среде, что способствует развитию нелинейных эффектов. Есть некоторая аналогия между распространением плоской волны в диссипативной среде и распространением неплоских волн. Эта аналогия связана с тем, что нелинейные явления не чувствительны к причинам, вызывающим изменение амплитуды волны. Однако она недостаточно глубока, ибо как для цилиндрических, так и для сферических волн не может быть введен какой-то не зависящий от координат дополнительный коэффициент эффективной вязкости . [c.123]

Уравнение Бюргерса (II.1.10) позволяет детально исследовать различные эффекты, возникающие при распространении волн в диссипативных средах с квадратичной нелинейностью. Теория второго приближения, которой посвящены работы [25—46], с помощью уравнения Бюргерса может быть изложена в рамках единой точки зрения. [c.44]

Точно таким же способом получают и более сложные нелинейные уравнения. Например, в 4 этой главы мы рассмотрим уравнение Бюргерса, описывающее распространение нелинейных звуковых волн в диссипативной среде. [c.189]

В более узком смысле под У. в. понимают локализованную стационарную нелинейную волну, распространяющуюся без изменения формы с постоянной скоростью и описываемую ур-ниями в обыкновенных производных. В фазовом пространстве У. в. отвечает траектория, соединяющая две различные точки равновесия или возвращающаяся в ту же самую точку. К У. в. относят, напр., такие типы нелинейных волн, как ударные волны в диссипативной среде, стационарные импульсные волны возбуждения в активных средах (напр., нервный импульс) и солитон в среде без потерь, ф См. лит. при ст. Солитон. [c.780]

Выше речь шла о проблеме нелинейной акустики, которая может быть охарактеризована как взаимодействие звука со звуком. В линейном приближении, как известно, выполняется принцип суперпозиции и такого взаимодействия нет. Этот круг вопросов ведет свое начало еще с работ Стокса в середине прошлого столетия, однако теоретическое исследование распространения волн конечной амплитуды в диссипативных средах и экспериментальное исследование акустических нелинейных эффектов в жидкостях и твердых телах начали проводиться только в последнее десятилетие. [c.10]

Нелинейная теория ряби Фарадея была впервые построена в работе [17] на основе модели идеальной жидкости. В ней довольно полное исследование нелинейных аспектов параметрически возбуждаемых волн проведено на основе лагранжева подхода. При таком подходе учет диссипативных эффектов затруднителен, поэтому в [17 вязкость либо не учитывалась, либо вводилась модельным образом в предположении, что вязкая сила, действующая на жидкую частицу, пропорциональна ее скорости. В работах [18, 19] подобная методика применялась для волн в стратифицированных средах. В дальнейшем нелинейная теория ряби Фарадея развивалась в [20-25] и других работах. Отличительной особенностью цитированных работ является либо полностью невязкий подход, либо феноменологический учет вязкости. [c.24]

Решение задачи о распространении волны конечной амплитуды с учетом диссипативных процессов представляет собой значительно более сложную задачу, чем решение для идеальной жидкости. Представляют большое значение и нелинейные задачи, когда распространяется волна конечной амплитуды в среде с. дисперсией. При распространении нелинейной волны в виде ограниченного пучка (".чуч") играет роль проявление особенностей в дифракционных явлениях. [c.130]

В предыдущих двух параграфах было рассмотрено когерентное взаимодействие волн в слабо диссипативных средах. Отметим, что хотя речь для определенности шла об электромагнитных волнах в диэлектрике, основные закономерности трехволновых взаимодействий не зависят от природы волн и носят общий характер. С этой точки зрения весьма полезно рассмотреть нелинейные взаимодействия в неравновесных средах. Если в слабо диссипативных средах общая энергия волн уменьшается, переходя в тепло, то в неравновесных средах возможен приток энергии извне. Рост энергии волн может происходить при линейном усилении волн в активной среде (знак коэффициента поглощения а меняется на обратный, поэтому этот случай достаточно тривиален). [c.176]

Особенности нелинейных искажений формы профиля волны и взаимодействия волн в существенной мере зависят от вязкости среды, точнее, от отношения инерционных сил к вязким, т. е. от числа Рейнольдса. При больших числах Рейнольдса среда может рассматриваться как невязкая (за исключением таких вопросов, как ширина фронта волны, поглощение волн и некоторые другие). В невязкой среде волна рано или поздно, в зависимости от акустического числа Маха, перейдет к волне пилообразной формы даже в таких неблагоприятных для образования, разрыва условиях, как условия сферической расходимости. При малых числах Рейнольдса, когда вязкость среды играет существенную роль, диссипативные процессы препятствуют искажению формы профиля волны. При очень малых числах Рейнольдса с нелинейными искажениями практически можно не считаться. [c.53]

Распространение волн в среде с вязкостью и Теплопроводностью сопровождается потерей звуковой энергии. Энтропия среды в этом случае, вообще говоря, возрастает, и к нелинейным уравнениям сохранения массы и импульса добавляется еще нелинейное уравнение переноса тепла (1.23). Теория распространения волн конечной амплитуды в этом случае усложняется из-за того, что процесс в волне, строго говоря, нельзя считать адиабатическим. Отклонение от адиабатичности, однако, можно считать малым, так как даже при переходе через фронт ударной волны изменение энтропии — величина третьего порядка малости. Это позволяет линеаризовать уравнение переноса тепла и, следовательно, считать, что диссипативные процессы линейны. Изменение энтропии при этом происходит только за счет теплопроводности. Поглощение монохроматической волны малой амплитуды при аоЯ I определяется коэффициентом поглощения [c.98]

Качественное рассмотрение и оценка роли диссипативных эффектов. При распространении волны конечной амплитуды в реальной среде увеличение градиента колебательной скорости на переднем фронте волны при ее нелинейном искажении должно сопровождаться усилением диссипативных потерь, обусловленных вязкостью и теплопроводностью среды. Вследствие этого амплитуда волны будет прогрессивно убывать и, следовательно, процесс ее искажения будет затормаживаться. На некотором расстоянии от источника влияние диссипативных процессов должно полностью скомпенсировать влияние нелинейных эффектов, — при этом дальнейшее искажение формы волны прекращается, что принято называть стабилизацией формы волны. На самом деле стабилизации в полном смысле слова не происходит, так как при дальнейшем распространении амплитуда волны продолжает затухать, нелинейные эффекты при этом ослабевают н профиль волны на больших расстояниях начинает сглаживаться вплоть до восстановления синусоидальной формы. Поэтому под стабилизацией формы волны следует понимать ее максимальное искажение, а под расстоянием стабилизации (А,,яб) — расстояние, на котором достигается это искажение, от источника. Правда, термин стабильная форма волны в известной мере оправдывается тем, что профиль такой волны изменяется медленнее, чем профиль любой другой волны с теми же амплитудой и частотой. [c.87]

Мы обсудили, как проявляется диссипация в экспериментах по искажению звуковых волн и по нелинейному поглощению. Рассмотрим теперь кратко теорию распространения волны конечной амплитуды в среде с диссипацией. В такой среде процессы зависят уже от двух безразмерных чисел — Маха и Рейнольдса. Нелинейные эффекты для плоской волны обычно проявляются при числе Рейнольдса, не слишком малом, таком, чтобы диссипация не могла помешать развитию нелинейности, определяемой числом Маха. Особенно существенны искажение формы плоских синусоидальных волн и генерация гармоник в маловязких жидкостях на ультразвуковых частотах при Re>l. При распространении плоской волны в жидкости, обладающей диссипативными свойствами, процесс укручения будет происходить иначе, чем в среде, где диссипация отсутствует. При искажении волны, благодаря квадратичной зависимости поглощения от частоты, более высокие гармоники затухают сильнее и процесс искажения тормозится потерями. Ясно, что поглощение в такой волне должно быть значительно больше, чем для волны малой амплитуды. [c.76]

Когда диссипация в среде отсутствовала ( 1 гл. 3), то, согласно формуле (1.27), вторая гармоника возрастала пропорционально х. В рассматриваемом случае диссипативной среды на расстоянии стабилизации = 1п К 2/а (где нелинейный рост компенсируется диссипацией) имеется максимум для амплитуды второй гармоники некоторое расстояние искаженная волна проходит, не меняя своей формы, после чего ее амплитуда начинает убывать, так как подкачка энергии из основной волны становится меньше, чем диссипативные потери. Заметим, что на расстояниях х, когда ах>1, у ехр (—2ах), тогда как линейная волна частоты 2со убывает быстрее. Это происходит из-за непрерывной подкачки энергии от первой гармоники во вторую. [c.78]

После Создания источников мощного ультразвука началось интенсивное изучение нелинейных эффектов при распространении звуковых волн в среде. Эти эффекты существенны, когда возмущения характерных параметров — давления, плотности и др.— не слишком малы по сравнению с их равновесными значениями. Мощная синусоидальная звуковая волна, например, в слабо диссипативной среде превращается на некотором расстоянии в пилообразную волну. [c.11]

Если нелинейность волны не является малой, то в обычном виде методика исследования линейного случая неприменима. Будем для определенпости говорить о мощном волновом импульсе — солитоне, распространяющемся в случайной среде. Можно выделить два предельных случая 1) размер солитона немного меньше характерного масштаба флуктуаций 2) размер солитона велик по сравнению с масштабом флуктуаций. В первом случае флуктуации являются адиабатическими и анализ распространения нелинейной волны в такой среде можно провести, например, с помощью метода Уитэма [20]. По существу, анализу такого типа посвящены работы [21, 22] о распространении солитона на мелкой воде со случайно меняющейся глубиной. Метод для исследования второго случая при распространении солитона в области мелкомасштабных флуктуаций рассматривается ниже. В основе его лежит учет нелинейных членов в уравнении без предположения их малости. Это приводит к тому, что, например, диссипативный член перестает быть линейным и приобретает довольно сложную структуру. [c.157]

В процессе распространения возмущения нелинейные эффекты приводят к увеличению крутизны нрофнля волны, а различные диссипативные и диффузионные процессы уравновешивают нелинейные эффекты и способствуют установлению стационарной формы ударной волны. В газожидкостной среде возможна диссипация, возникающая при радиальных пульсациях одиночного пузырька и его скольжении относительно жидкости. [c.258]

В этой главе будет рассмотрено нелинейное искажение и взаимодействие волн в идеальной среде. Пренебрежение диссипативными членами в уравнениях гидродинамики значительно упрощает рассмотрение различных задач нелинейной акустики и вместе с тем позволяет выяснить ряд особенностей распространения волн конечной амплитуды. Это упрощение уравнений отнюдь не является формальным в вопросах искажения и взаимодействия. Как будет показано дальше, аналогично тому, как пренебрежение диссипативными потерями в гидродинамике возлюжно [c.53]

Следовательно, синергетика логически связана с теорией нелинейных колебаний и волн, которая ыожет служить общей теорией структур в неравновесных средах. В связи с этим и методы, используемые при изучении нелинейных колебаний и волн, могут применяться и для описания структур в неравновесных средах. Примеры применения теории нелинейных колебаний при математическом моделировании диссипативных систем в окрестностях точки бифуркации даны в [13, 14]. [c.253]

В неравновесных диссипативных средах, по.мимо А., о к-рых речь шла выше, возможны ещё т. н. авто-волны и автоструктуры — пе связанные с граничными условиями пространственно-временные образования, параметры к-рых определяются лишь свойствами нелинейной неравновесной среды, напр, уединённые фронты горения и волны популяций, импульсы в нервных волокнах, цилиндрические и спиральные волны в сердечной ткани и др. Стохастич. А. в нелинейных неравновесных средах — это турбулентность. [c.15]

Наиб, интересные свойства О. с, выявляются при нелинейных процессах, когда в О. с. возможно осуществление термодинамически устойчивых неравновесных (в частном случае стационарных) состояний, далёких от состояния термодинамич, равновесия и характеризующихся определённой пространственной или временной упорядоченностью (структурой), к-рую наз. диссипативной, т. к. её существование требует непрерывного обмена веществом и энергией с окружающей средой. Нелинейные процессы в О. с. и возможность образования диссипативных структур исследуют на основе ур-ний хим. кинетики баланса скоростей хим, реакций в системе со скоростями подачи реагирующих веществ и отвода продуктов реакций. Накопление в О. с, активных продуктов реакций или теплоты может привести к автоколебательному (самоподдерживающемуся) режиму реакций. Для этого необходимо, чтобы в системе реализовалась положительная обратная связь ускорение реакции под воздействием либо ее продукта (хим. автокатализ), либо теплоты, выделяющейся при реакции. Подобно тому как в колебат. контуре с положит, обратной связью возникают устойчивые саморегулирующиеся незатухающие колебания (автоколебания), в хим. О. с. с положит, обратной связью возникают незатухающие саморегулирующиеся хим. реакции, Автока-талитич. реакции могут привести к неустойчивости хим. процессов в однородной среде и к появлению у О. с. ста-ционарны.х состояний с упорядоченным в пространстве неоднородным распределением концентраций. В О. с. возможны также концентрац. волны сложного нелинейного характера (автоволны.). Теория О. с. представляет особый интерес для понимания физ.-хим. процессов, лежащих в основе жизни, т. к. живой организм — это устойчивая саморегулирующаяся О. с., обладающая высокой организацией как на молекулярном, так и на макроскопич. уровне. Подход к живым системам как к О. с., в к-рых протекают нелинейные хим. реакции, создаёт новые возможности для исследования процессов молекулярной самоорганизации на ранних этапах появления жизни. [c.488]

Поскольку уравнения гидродинамики в случае диссипативной среды не могут быть решены точно, в настоящее время существует ряд приближенных решений, область применения которых ограничивается определенными значениями акустических чисел Рейнольдса. Практически для достаточно интенсивных звуков в та1сих средах, как воздух, малопоглощающие жидкости (особенно в области низких частот звукового и ультразвукового диапазонов), акустические числа Рейнольдса достаточно велики и нелинейные эффекты, связанные с искажением формы профиля волны, проявляются весьма сильно. Как и в случае недисспиативной среды, в поглощающей среде может быть введен малый параметр, позволяющий линеаризовать нелинейные гидродинамические уравнения. [c.99]

Из сказанного следует, что, напрнмер, ширина ударных воли большой интенсивности с точки зрения макроскопической гидрогазодинамики должна считаться равной нулю. Таким образом, чисто гидрогазодинамические методы некорректны для исследования структуры фронта ударной волны онн справедливы лншь для слабых ударных волн, либо сред с большой вязкостью или теплопроводностью. В таких средах эффекты нелинейности, с одной стороны, постепенно увеличивают крутизну фронта волны с течением времени. Это могло бы привести к разрывам гидродинамических характеристик, свойственным для ударных волн. Однако возрастание градиентов гидродинамических величин усиливает диссипативные эффекты, пропорциональные этим градиентам. Диссипативные эффекты, напротив, уменьшают крутизну профиля фронта волны. Конкуренция этих эффектов приводит в результате к малой илн большой ширине зоны, где происходит разрыв, что и отражается соответственно в несправедливости или справедливости гидродинамического подхода. [c.216]

Что будет после того, как на профиле простой волны возникнут бесконечные градиенты В разных физических ситуациях ответ различен. Например, если это волна на поверхности жидкости, то она просто обрушится, превратившись в брызги если это поток невзаимодействующих частиц, то в профиле волны возможна неоднозначность — после образования разрыва в основном потоке образуется несколько разных потоков, движущихся с существенно разными скоростями (многопотоковость). Для звукового же или электромагнитного поля, где неоднозначность недопустима, дальнейшее развитие нелинейной волны зависит от того, какие эффекты будут преобладать в области быстрого изменения поля — диссипативные или дисперсионные. Анализом бегущих волн в нелинейных средах с диссипацией и дисперсией мы сейчас и займемся. [c.389]

Амплитуда и форма периодической волны определяются ее периодом (краевыми условиями) и видом нелинейности. Например, в линии передачи с туннельными диодами, рабочая точка которых находится на падающем участке характеристики близко к максимуму, нелинейность квадратична (в уравнении (21.4) вместо 11 будет II) и стационарные волны могут иметь вид последовательности солитонов или кноидаль-ных волн. Примерами солитонов в неравновесной диссипативной среде могут служить волны на тонкой пленке воды, стекающей по наклонной асфальтовой мостовой. Такие волны развиваются из-за неустойчивости и стабилизируются поверхностным натяжением крутизна фронта волны увеличивается благодаря действию нелинейности (см. гл. 24). [c.442]

Имеются также приближенные решения уравнений гидродинамики вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости, представляющие аналог простых волн, бегущих в одном направлении. Такие волны называют квазипростыми. Уравнения для них можно получить, если учесть нелинейные члены второго порядка малости, а коэффициенты вязкости и теплопроводности считать членами первого порядка малости. Линейные диссипативные члены будут тогда второго порядка малости, а нелинейные диссипативные члены — третьего порядка малости, которые можно опустить. В рамках такого приближения эволюция слабозатухающей нелинейной волны описывается уравнением (1.14), правая часть которого уже не нуль, как для простой волны в среде без диссипации, а содержит член, учитывающий потери (Ь/2рд) д а/дх . Выпишем это уравнение полностью (более подробно о его выводе см. в [II) [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...