Основная разностная схема

В этой главе описаны методы решения обратной задачи теории сопла для течений совершенного газа с физико-химическими превращениями. Помимо детального описания основной разностной схемы, позволяющей одновременно рассчитывать течения в дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой областях сопла, изложены разностные схемы, используемые для решения разного рода задач профилирования в сверхзвуковой области. [c.97]

ОСНОВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА [c.97]

Основные понятия теории разностных схем [c.268]

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ [c.269]

Можно выделить три основных способа составления разностных схем на заданном шаблоне метод разностной аппроксимации, метод баланса и метод неопределенных коэффициентов. [c.62]

Основная идея применения разностных методов состоит в замене непрерывных переменных дискретными. Функции и аргументы заменяются набором чисел, заданных в точках множества, называемого сеткой. Исходные дифференциальные или интегральные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений высокого порядка. Хотя в принципиальном плане задача упрощается, но из-за высокого порядка алгебраической системы возникают большие вычислительные трудности, как правило, непреодолимые без использования ЭВМ. При решении дифференциальных уравнений производные в уравнениях и граничных условиях заменяются отношением конечных разностей функций и аргументов. Исходной задаче ставится в соответствие разностная задача или разностная схема. В дальнейшем разность аргументов в соседних узлах сетки будем называть шагом сетки. Будем говорить, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное, если при неограниченном измельчении сетки разностное уравнение стремится к точному. [c.224]

Требование сходимости является основным если разностная схема является сходящейся, решение можно вычислить с любой, наперед заданной точностью. Как обеспечить сходимость разностной схемы Как правило, точное решение [ы]д не удовлетворяет разностному уравнению при подстановке его в (7.11), в этом случае получим Lft [ы1д = /( >+где величина называется [c.230]

Теория разностных схем в основном развита для линейных задач и опирается, как отмечалось ранее, на три основных понятия аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений, устойчивость вычислительного процесса, сходимость численного метода к решению. Для нелинейных задач теория, как правило, не развита исследование устойчивости в этих случаях сопряжено с большими трудностями и проводится обычно на линейных аналогах конкретной задачи. Например, при исследовании устойчивости задач газовой динамики часто рассматриваются уравнения в акустическом приближении. [c.232]

Основная идея метода сеток заключается в том, что дифференциальное уравнение, начальные и краевые условия заменяют (аппроксимируют) сеточными уравнениями, связывающими значения искомой функции в узлах сетки. Сеточные уравнения, так же как и сама сетка, зависят от шага h как от параметра. Эту совокупность сеточных задач называют разностной схемой. [c.75]

В настоящей главе изложены основные принципы метода установления, дано математическое и физическое обоснование метода. Рассмотрены разностные схемы метода установления, используемые во внешних и внутренних задачах газовой динамики. [c.129]

Для расчета течений со сложной волновой структурой применяют разностные методы сквозного счета. При этом расчет ведут единообразно во всей области без явного выделения разрывов (такие разностные схемы называют также однородными). Можно выделить три основных направления в развитии методов сквозного счета [c.145]

В этом параграфе изложены основные идеи разностной схемы, которая была разработана С. К. Годуновым для расчета одномерных нестационарных задач газовой динамики, описываемых уравнениями в частных производных гиперболического типа. Обобщение метода на случай двумерных и пространственных стационарных сверхзвуковых течений дано в 6.3. Метод Годунова и его обобщения позволили рассчитать широкий класс внешних, внутренних и струйных задач газовой динамики, как [c.162]

Разностная схема для уравнений акустики. В основе метода Годунова лежат две основные идеи. Первая состоит в исполь- [c.162]

В последние годы предложено несколько методов численного интегрирования релаксационных уравнений. Наиболее эффективными и универсальными являются методы, основанные на использовании неявных разностных схем. Основное достоинство таких методов — возможность расчета по единой схеме с высокой точностью как областей, где все или несколько неравновесных параметров близки к равновесным значениям, так и тех областей, где имеет место заметное отклонение от этих значений. Обоснуем выбор неявных разностных схем для расчета релаксационных уравнений. [c.204]

В данном разделе сначала коротко рассмотрим основные понятия теории численных методов, а затем более подробно остановимся на применении конечно-разностных схем для решения уравнений теплопроводности. Метод конечных элементов будет изложен в следующей главе. [c.69]

Теория численных методов решения уравнений в частных производных представляет собой весьма обширный и достаточно сложный раздел математики, называемый теорией разностных схем, с которым можно познакомиться, например, по книгам [4, 14, 24, 26]. В данном учебном пособии основное внимание уделяется практическим вопросам построения и реализации на ЭВМ различных численных методик, а не их теоретическому исследованию и обоснованию. Как правило, будем ограничиваться лишь объяснением основных понятий, которые понадобятся в дальнейшем, причем некоторые вопросы рассмотрим не вполне строго с позиции математики. [c.70]

Разностная схема и разностное решение. Основные понятия теории разностных схем разберем на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности для пластины с внутренним источником теплоты [c.70]

Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Основным требованием к разностной схеме является стремление сеточной функции разностного решения к сеточной функции точного решения Т/ при стремлении к нулю шагов по пространственной и временной координатам. Погрешность различна в разных узлах пространственно-временной сетки. Для того чтобы охарактеризовать погрешность во всей области вводят одно число, которое называют нормой по- [c.74]

Основная проблема ири использовании этого метода состоит в обеспечении устойчивости и допустимой погрешности разностной схемы. Для дифференциальных уравнений задача Коши, когда заданы начальные значения всех искомых функций, сводится к рекуррентным формулам для последовательности значений в узлах, начинающейся от начальных значений. Такая схема называется явной. Краевые задачи приводят к решению системы алгебраических уравнений — неявная схема. Обычно решение нетрудно реализовать в виде программы для ЭВМ, однако требования к объему располагаемой памяти и скорости выполнения операций оказываются весьма жесткими. [c.83]

При 0 = 1 получаем традиционную явную схему счета. Поле температур, рассчитанное по (1.4), рассматривается как основное, а по (1.5) — как вспомогательное. На каждом временном слое при известных полях температур 4 и находим сначала t + = = / (4 , 4), а затем tl+i =/(/, t k+i)- Форма уравнения П.З) позволила реализовать рассматриваемую разностную схему в раз- [c.23]

Чисто неявная разностная схема устойчива при любом соотношении шагов сетки (в этом ее основное преимущество перед явной схемой) и сходится при т О, Л - О с оценкой погрешности (5.71). [c.149]

Выбор метода дискретизации тесно связан с выбором функционала. В частности, вариационно-разностные схемы могут быть построены на основе общей идеи расчленения сложной системы на элементы. При этом возникает понятие метода конечных элемен-70в (МКЭ). С математической точки зрения расчленение означает выбор определенного частного функционала и дополнительных условий к нему, т. е. расчленение всей разрешающей системы уравнений на две части, одна из которых (дополнительные условия) должна выполняться предварительно, до использования другой. Расчленение обычно сопровождается механической трактовкой, которая выражается в выборе так называемой основной системы (длд которой дополнительные условия выполнены) и неизвестных (отыскиваются с помощью частного функционала). [c.171]

Основной метод решения уравнений, описывающих процессы в лазерах, — метод разностных схем [89, 901, называемый также методом конечных разностей или методом сеток. В соответствии с методом конечных разностей вместо точного решения исходной задачи ищется ее приближенное решение в отдельных точках (узлах сеточной области), называемое сеточными функциями. Система дифференциальных уравнений при этом заменяется системой алгебраических уравнений для сеточных функций. [c.38]

В табл. 1 приведены экспериментальные и теоретические частоты колебаний для пластинки с центральным вырезом. Черными точками на рисунках табл. 1 обозначены узлы конечно-разностной сетки, в которых при теоретическом исследовании были получены максимальные амплитуды и соответствующие им формы свободных колебаний. Как видно, в случае использования улучшенной конечно-разностной схемы результаты получаются значительно более точные. Сравнение теоретических и экспериментальных данных показывает хорошее совпадение, и различия между ними не превышают 1,5% для основной формы колебаний и 3 % для более высоких. Очевидно, что для высших форм колебаний точность результатов, полученных методом конечных разностей, снижается. Общей закономерностью, как видно из схем табл. 1, является то, что максимальные амплитуды колебаний имеют место около краев выреза. [c.124]

Численно решались безразмерные уравнения плоского конвективного течения в наклонном слое в переменных функция тока - температура решение задачи находилось методом конечных разностей. Как и в случае вертикального слоя ( 5), отыскивалось решение, описывающее периодическую в направлении оси слоя конвекцию. Численное решение строилось в прямоугольной области —0<2<2/с условиями периодичности по 2. Обсудим некоторые результаты, относящиеся к фиксированным значениям параметров Рг = 1, 1-2,2 (это значение пространственного периода соответствует волновому числу к 2тг/(2/) = 1,43, близкому к минимуму нейтральной кривой). Использовалась неявная конечно-разностная схема основные расчеты проводились на сетке 15 X 29. [c.53]

В 3.4.2 изложен метод расчета слоистых течений с использованием основной разностной схемы (3.1.2). В координатах г з, х удобно проводить расчеты многослойных течений с различными физическими свойствами. Такой расчет можно провести в рамках идеальной жидкости без учета смешения слоев, при этом полные температуры, полные давления и показатели адиабаты в слоях могут быть различны. Будем обозначать параметры ядра потока нижним индексо1М 1, а параметры пристеночного слоя — индексом 2 (рис. 5.22). Пусть до некоторой линии тока газ имеет пока- [c.221]

Таким образом, с помощью замены динамического вектора управления Y(/) дискретным аналогом в виде конечного набора векторов Yo, Yn,... и разностных схем типа (3.56) динамические задачи оптимизации всегда можно приближенно эквивалентировать статическими задачами. Поэтому их форма является основной для задач оптимизации, решаемых при машинном проектировании ЭМП. [c.78]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативньши. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Численный метод. Анализ различных разностных схем для решения системы уравнений пограничного слоя показывает, что наиболее удобными здесь являются неявные шеститочечные схемы. Для составления такой схемы на координатной плоскости X, у выбирается основная и две вспомогательные сетки. [c.68]

Разностные схемы должны отражать основные законы сохранения сплошной среды, и, по существу, должны быть разностными аналогами основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие указанными свойствами, называются консервативными. Интегроинтерполяционный метод построения консервативных разностных схем был предложен А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским. Было показано, что для широкого круга задач консервативность схемы является необходимым условием ее сходимости. [c.249]

При реализации численной схемы на начальном этапе процесса ограничение на шаг Ат не является обременительным, поскольку для расчета быстрого процесса, определяемого членом ехр (jimaxt), из условия получения требуемой погрешности расчета значение шага Ат, как правило, все равно должно быть меньше, чем Атщах- Неудобства возникают после выхода на основную стадию. Быстрый экспоненциальный множитель в точном решении затухает и возникает потребность увеличения шага по времени для отслеживания медленно меняюш,егося процесса. Однако из-за свойств разностной схемы шаг увеличивать нельзя, поскольку сразу же начинает развиваться неустойчивость. В результате вся длительная основная стадия процесса рассчитывается с малым шагом по времени. Это приводит к недопустимому увеличению затрат машинного времени и накоплению погрешностей округления, которое может суш,ественно исказить окончательные результаты. [c.40]

Общее дифференциальное уравнение теплопроводности (1.1), учитывающее зависимость теплофизических свойств тела от пространственных и временной координат [251, аппроксимируется разностной схемой, позволяющей реализовать в основном традиционный счет. При этом трехмерное тело произвольной формы схематизируется и заменяется его сеточной моделью с переменным шагом пространственной сетки (рис. 1.2). В узлах сетки сосредотачиваются массы элементов, ограниченных теплопередающими поверхностями, проходящими между узлами сетки на равном расстоянии от них. При такой модели тепловые сопротивления соответствующих масс элементов располагаются между узлами сетки. В методе и программе предусматривают возможность задания в каждом из узлов свойств как твердого, так и газообразного тела. [c.22]

Лннроксимация, устойчивость и сходимость. Рассмотрим основные понятия теории разностных схем на примере разностной схемы (5.53), (5.54) для краевой задачи (5.50), (5.51), считая, что дифференциальный оператор L и разностный опе- [c.146]

Для понимания нелинейных явлений в волоконных световодах необходимо рассмотреть теорию распространения электромагнитных волн в нелинейной среде с дисперсией. Цель этой главы-получить основное уравнение распространения оптических импульсов в одномодовых световодах, В разд. 2,1 вводятся уравнения Максвелла и основные понятия, такие, как линейная и нелинейная индуцированная поляризация и диэлектрическая проницаемость, зависящая от частоты. Понятие мод волоконного световода вводится в разд, 2,2, в котором обсуждается также, при каком условии световод будет одномодовым, В разд. 2,3 рассматривается теория распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией в приближении медленно меняющихся амплитуд в предположении, что ширина спектра импульса много меньше частоты электромагнитного поля, В разд. 2,4 обсуждаются численные методы, используемые для решения уравнения распространения. Особое внимание уделено методу расщепления по физическим факторам с использованием быстрого преобразования Фурье на дисперсионном шаге (SSFM) он отличается большей скоростью счета по сравнению с большинством разностных схем. [c.33]

Опубликованные результаты, касающиеся допустимых значений приращения (безразмерного времени) Ат, связаны главным образом с методами конечных разностей (очень хороший обзор основных проблем сделан Кренделлом [14]) и методами конечных элементов, для которых Смит [15] получил очень интересные результаты об использовании аппроксимаций более высокого порядка при экспоненциальном изменении р со временем, позволяющих проводить расчеты с более крупными шагами. При использовании схем с дискретизацией всей области в сочетании с обычной явной разностной схемой по времени сходимость гарантируется,если отношение Ат/(Ал ) не превышает 1/2, где Ал — пространственный шаг сетки или размер элементов [281. Так, в типичном случае, скажем. Ал = L/10, и, следовательно, Ат < 0.005. Хотя, как упоминалось выше, применительно к МГЭ эти вопросы не являются столь же. детально изученными, Томлин [2], например, успешно применял [c.253]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...