Обобщение теоремы Лагранжа

Приведем теперь теорему, которая является далеко идущим обобщением теоремы Лагранжа для консервативных систем и доказанной выше теоремы для диссипативных систем и вместе с тем является частным случаем общей теоремы об устойчивости движений, доказанной Ляпуновым. [c.233]

К этому классу принадлежат все упругие системы с распределенными параметрами (стержни, пластины, оболочки, комбинированные конструкции и Т.П.), нагруженные потенциальными силами при условии, что все связи стационарны и голономны (последнее условие в механике конструкций обычно выполняется). Обобщение теоремы Лагранжа об устойчивости на распределенные системы было дано Брайаном, С. П. Тимошенко и другими авторами. [c.477]

Лагранж рассматривал теорему только для случая двусторонних идеальных связей. Распространением теоремы на случай односторонних идеальных связей впервые занимался французский математик Ж. Фурье в связи с задачей о равновесии нити. В 1834 г. М. Г. Остроградским (1801—1861) была предложена полная формулировка с доказательством обобщенной теоремы Лагранжа для случая односторонних связей. [c.160]

Третья формулировка задачи Майера. Обобщение теоремы Лагранжа. Характеристические уравнения (обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа) [c.701]

Обобщение теоремы Лагранжа. Компоненты и (>с), и х),. .., и х) оптимального вектора управления и х) [c.702]

Замечание 3. Обобщение теоремы Лагранжа, как и сама теорема Лагранжа ( 1.02), выражает лишь необходимое условие существования оптимального решения и оптимального управления. [c.703]

Кроме отмеченных выше специфических проявлений механистического упрощенного мировоззрения, типичного для 18 века, труд Лагранжа, разумеется, не свободен и от известных недостатков специального научного характера. Некоторые теоремы (например — теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной динамической системы и т. п.) доказаны в нем недостаточно строго, некоторые выводы недостаточна ясны или недостаточно общи (вывод условий равновесия проведен только для удерживающих связей, а вывод уравнений движения дан только для удерживающих и не зависящих от времени связей и т. д.). Дальнейший прогресс аналитической механики в 19 веке устранил эти недостатки и принес существенные обобщения системы аналитической механики Лагранжа, причем в этом прогрессе науки исключительно важную роль сыграли труды представителей передовой русской школы механики, школы Остроградского — Чебышева — Ляпунова Жуковского. [c.6]

Утверждение 7.6 теорема Лагранжа). Если в состоянии равновесия упругого тела системе обобщенных внешних сил Pk соответствуют обобщенные перемещения 5д., то [c.215]

Обобщение теоремы и интеграла живых сил. Рассмотрим прежде всего структуру выражения для живой силы системы материальных точек в самом общем случае. Выражая декартовы координаты точек системы через координаты Лагранжа, для проекций скорости получим выражения [c.353]

Г. е. из близости значений потенциальной энергии к ее минимальному значению вытекает близость значений всех обобщенных координат к их равновесным значениям. При конечном числе степеней свободы это утверждение удается доказать, но в общем, случае это может оказаться неверным например, если на поверхности жидкости образуются сколь угодно тонкие нитеобразные или листообразные выступы, то при подсчете потенциальной энергии поля тяжести роль этих выступов ничтожно мала, хотя их размеры, т. е. отклонения жидких частиц от равновесных состояний, могут быть достаточно большими. А. М. Ляпунов специально оговаривает отсутствие таких выступов — если этого не сделать, то теорема Лагранжа — [c.442]

Уравнения (9.31) выражают теорему Лагранжа, которая формулируется следующим образом обобщенные силы равны частным производным от потенциальной энергии по соответствующим им обобщенным перемещениям. Для определения обобщенных сил по теореме Лагранжа Потенциальная энергия должна быть выражена в виде функции только от обобщенных перемещений. [c.270]

Соответствующими обобщенными внешними силами служат и wij, по теореме Лагранжа (2.6.2) имеем [c.153]

К п. 399. Вывод уравнений Лагранжа. Уравнения Лагранжа в пп. 397—399 а можно вывести несколько иным способом с применением леммы, являющейся обобщением теоремы, приведенной в первом примере п. 399. [c.457]

Теоремы Лагранжа и Кастильяно. Формула (150.2) показывает, что упругая энергия деформации, так же как энергия пластического формоизменения, получающаяся, если определять а формулой (150.4), однозначно определяется заданием деформации. А так как деформированное состояние в свою очередь определяется однозначно заданием внешних сил Р, то W может рассматриваться как функция этих сил или перемещений точек их приложения. Итак, пусть на тело действуют обобщенные силы Р , Р ,. .., Р , соответствующие обобщенные перемещения суть и , и ,. .., и . Тогда можно считать, что [c.334]

Формально для доказательства теоремы требуется лишь непрерывность функции V (q). В механике, однако, предполагается существование производных dV/dq, так как только тогда имеют смысл понятия обобщенная сила , уравнения Лагранжа и т. д. [c.225]

Доказательство. Когда II есть силовая функция, т.е. она зависит только от координат, то указанное представление функции Лагранжа следует из теоремы 8.1.1. Если Г — обобщенная силовая функция, то необходимо привлечь еще теорему 8.3.2.0 [c.556]

Теоремы о сохранении и физический смысл гамильтониана. Мы видели, что циклическая координата отсутствует не только в L, но и в Я. Поэтому теоремы о сохранении обобщенных импульсов, полученные нами в 2.6, можно было бы вывести не из уравнений Лагранжа, а из уравнений Гамильтона. Это относится и к тем соображениям о симметрии системы, которые были высказаны нами в главе 2. Пусть, например, некоторая система будет симметрична относительно фиксированной оси. Тогда можно будет сказать, что функция Н инвариантна относительно вращения вокруг этой оси и поэтому не может содержать угла поворота. Следовательно, этот угол является циклической координатой, и поэтому соответствующий ему кинетический момент будет оставаться постоянным. [c.245]

В 1 изложена теорема о минимуме кинетического потенциала при самых широких предположениях о природе функции Я и из этой теоремы выведены уравнения движения в форме Лагранжа. Здесь же обсуждены те изменения, с помощью которых эти обобщенные формы могут быть применены к изучению системы подвижных тел. [c.434]

Теорема о минимуме зависит от соблюдения уравнения (63 ), так же как и само это уравнение зависит от выполнения условия минимума, и это имеет место как для обобщенного вида функции Н, так и для первоначального, более узкого, из которого исходили Лагранж и Гамильтон. [c.455]

Однако бывают случаи, когда силы зависят не только от положения, но еще и от скорости и времени или зависят только от скорости или от времени. Например, в электродвигателях (кроме синхронных машин переменного тока) развиваемый ими движущий момент зависит, как правило, от угловой скорости их ротора точно так же в центробежных насосах и вентиляторах потребляемый момент изменяется в квадратичной зависимости от угловой скорости (о механических характеристиках машин см. п. 27). В этих случаях теорема об изменении кинетической энергии не может свести задачу i интегрируемым дифференциальным уравнениям (так как работа сил не может быть определена без знания самого закона движения), поэтому задача определения движения машины должна в таких случаях строиться на решении дифференциального уравнения движения системы в обобщенных координатах, соответствующего обобщенным силам или обобщенным моментам, т. е. так называемого дифференциального уравнения Лагранжа 2-го рода. Для установления этого уравнения воспользуемся зависимостью (48). Из нее для бесконечно малого промежутка времени получим [c.251]

Глубокие обобщения теоремы Лагранжа — Дирихле содержатся в работах А. М. Ляпунова. Некоторые результаты А. М. Ляпунова рассмотрены ниже. [c.217]

Эта теорема является непосредственным обобщением теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия. [c.341]

Обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле. В контексте ЧУ-теории теорема Лагранжа-Дирихле получила дальнейшее развитие. [c.168]

Рассмотрим доказательство теоремы Лагранжа- Дирихле для системы с п степенями свободы и, следовательно, с [c.424]

Итак, существуют такие положительные числа и ti , определяющие область начальных значений ql и q для которых все обобщенные координаты удовлетворяют условию (gd < в, т. е. положение равновесия устойчиво. Теорема Лагранжа—Дирихле полностью доказана. [c.412]

Второй метод является обобщением известного способа доказательства теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия при условии существования минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.332]

Постоянные aik и ik называются соответственно инерцион-ными и квазиупругими коэффициентами. Напомним, что функция, обращающаяся в нуль только и том случае, когда все независимые переменные равны нулю, и сохраняющая знак при любых вещественных значениях переменных, заключенных в некоторой области, называется знакоопределенной. Кинетическая энергия представляет пример знакоопределенной положительной однородной квадратичной формы обобщенных скоростей. Точно так же в области минимума, которому, согласно теореме Лагранжа ( 147), соответствует положение устойчивого равновесия, потенциальная энергия представляет знакоопределенную положительную функцию обобщенных координат в случае малых движений она аппроксимируется квадратичной формой (4). [c.548]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Формулируется и доказывается теорема Эмми Нетер в приложении к задачам аналитической механики с конечным числом степеней свободы. Приведено обобщение теоремы, связанное с учетом калибровочной ршвариантности функции Лагранжа (результат Э. Нетер — Е. Бес-сель-Хагена). Показана связь теоремы Э. Нетер с методом С. Ли отыскания первого интеграла, соответствующего контактному преобразованию фазовых перемшных. Обсуждаются теоремы Пуассона и Лиувилля с позиций результата Э. Нетер. [c.109]

Теперь виден порядок применения теоремы Лагранжа —Дирихле- нужно разложить потенциальную энергию в ряд по степеням Яъ . Яз, ограничиваясь членами второго порядка малости, определить обобщенные коэффициенты жесткости с,, и составить определители (20.15). Если все А > О, то положение равновесия устойчиво. [c.459]

При доказательстве теоремы Лагранжа — Дирихле будем считать для упрощения, что в положении 5 все обобщенные координаты равны нулю = 0 (/=1, к) если бы это [c.429]

Этот простой пример очень поучителен он показывает, что достаточно пропустить одно слово в условии теоремы, — и она может стать неверной. В данном случае потенциальная энергия имеет минимум во всех точках наинизилей образующей, т. е. минимум в этом случае нестрогий" ), поэтому из условия малости значений потенциальной энергии не вытекает малость значений всех обобщенных координат, т. е. неверен вывод (15.17), играющий основную роль в доказательстве теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.434]

Г. В том частном случае, когда все заданные силы являются силами тяжести, мы имеем V = MgZ . В частности, если система имеет одну степень свободы и является плоской фигурой, движущейся в своей плоскости Оху, то надо исследовать траекторию Г ее центра тяжести 1) найти прежде всего те ее точки, в которых касательная к Г горизонтальна 2) если в такой точке кривая Г направлена вогнутостью вверх, то имеем минимум ординаты центра тяжести, т. е. минимум потенциальной энергии, и по теореме Лагранжа —Дирихле равновесие устойчиво 3) если в точке М вогнутость направлена вниз (случай максимума), или если имеем точку перегиба, то по теоремам Ляпунова можно утверждать, что равновесие неустойчиво, если разложение ординаты у точки С в окрестности точки М в ряд Маклорена по степеням обобщенной координаты qi начинается с члена, содержащего q, — в противном случае необходимо рассмотрение [c.499]

Следовательно, но теореме существования 14 корням Аз = г, Ае = —i соответствует однонараметрическое семейство периодических решений уравнений (27), лежащих вблизи равновесного решения и имеющих период, приблизительно равный 2тг. Но эти решения уже известны они бьши найдены как обобщенные решения Лагранжа в конце 12, когда искались частные решения с эллиптической орбитой, близкие к круговым решениям Лагранжа. Используя известные формулы для решения задачи двух тел, легко установить, что при фиксированном значении постоянной интеграла площадей г>4 существует еще одно семейство эллиптических решений, параметром которых можно выбрать период т. Если положить с = os t — И4), 3 = 81п(4 — М4), то из уравнений (12 3), (12 4), (9) и (24) получается [c.162]

Шесть уравнений движения тела мы получим, постулируя обобщение основных теорем динамики систем материальных точек теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента (см. гл. IV). В некоторых случаях удобно применять обобщение теоремы об изменении кинетической энергии. В случаях, когца рассматривается движение свободного тела или тела с голономными связями, удобны уравнения Лагранжа [c.372]

Обратимся теперь к теореме Лагранжа, в которой содержится достаточное условие устойчивости положения равновесия. Сами сюложения равновесия (их может быть несколько) мы найдем, применяя статический принцип виртуальных перемещений (см. гл. IV). Из найденных положений выберем то, которое нао интересует, и перенесем в это положение начало координат положении равновесия все обобщенные координаты будут равны нулю. В качестве невозмущенного состояния примем состояние равновесия (состояние покоя), в котором все обобщенные скорости также равны нулю. Таким образом, мы, исследуя устойчивость евозмущенного состояния равновесия, должны будем выяснить, устойчиво ли нулевое решение системы [c.437]

Теорема и формула Лагранжа для дискретных систем (первая формула Коттерилла — Кастильяно). Выразим II через обобщенные перемещения и подставим это выражение в (15.61) [c.488]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...