Что такое хаотическая динамика

ЧТО ТАКОЕ ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА [c.10]

Сложное поведение, обладающее основными свойствами случайного процесса, обнаруживается у мн. нелинейных динамических систем (т. н. хаос дина.мический). Качественно происхождение X. в таких системах связывают С тем, что нелинейные системы можно рассматривать как совокупность неск. взаимодействующих подсистем, обладающих разл. динамическими свойствами, Хаотическая динамика возникает в результате разл, рода процессов синхронизации колебаний указанных подсистем. [c.397]

Если нелинейная динамическая система находится в хаотическом состоянии, становится невозможным точное предсказание ее временной эволюции, поскольку малые неопределенности в начальных условиях оборачиваются сильным расхождением орбит в фазовом пространстве. Если присутствует затухание, то мы знаем, что хаотическая орбита лежит где-то на странном аттракторе. Когда отсутствует точное знание положения орбиты, повышается интерес к нахождению вероятности пребывания орбиты в определенной части аттрактора. Напрашивается мысль определить в фазовом пространстве плотность вероятности как статистическую меру хаотической динамики. Имеются некоторые математические и экспериментальные указания на то, что такое распределение вероятности существует и что оно не меняется со временем. [c.157]

В данном пособии совершенно не рассматривалась динамика систем при случайных внешних воздействиях. Вьшужденные и параметрические колебания линейных систем при таких воздействиях изложены в части 3 справочника [7]. Методы исследования нелинейных систем при случайных воздействиях изложены в гл. 2 справочника [8] и цитированной в нем литературе. Исследованию автоколебательных систем при случайных воздействиях посвящена монография [14] и часть 2 монографии [13]. Добавим, что нерегулярные, хаотические колебания возможны в детерминированных нелинейных системах (например, в системах, описываемых уравнением Дуффинга) даже в тех случаях, когда внешние силы являются периодическими функциями времени. Об этом кратко говорилось в гл. 14 данного пособия подробнее см. в литературе, которая цитировалась в той главе. [c.326]

На конференциях весело. Много доброго юмора, шуток, розыгрышей. Такая атмосфера интеллектуального здоровья царит и в самой научной школе, и в журнале Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика (ПНД), Этот стиль отражают и Астральные Плоды раздУмий действительного статского советника Козьмы Петровича Пруткова , завершающие каждую главу представленной книги. Рад, что у саратовских коллег настолько хорошо налажена связь с Астралом. Полагаю, что тут все дело в нелинейной динамике и использовании сигналов с хаотической несущей. Александр Сергеевич Дмитриев из Института радиоэлектроники регулярно рассказывает об огромных перспективах этого подхода. Но одно дело идеи, а другое — конкретный результат, который говорит сам за себя. [c.10]

При дальнейшем увеличении возмущения как с периодическими орбитами, так и с инвариантными торами происходят различного рода бифуркации, имеющие некоторые общие закономерности. Они определяют изменение всей структуры фазового потока, сочетающего в себе зоны с регулярным и хаотическим поведением, и задают сценарии перехода к хаосу. В динамике твердого тела эти исследования, кстати говоря, невозможные без высокоточного компьютерного моделирования, почти не были проведены. В этой книге мы приводим лишь несколько примеров хаотического движения и надеемся, что в ближайшем будущем в этой области появится много новых интересных результатов. [c.19]

В заключении отметим, что в общем неинтегрируемом случае тело совершает как сложные хаотические движения, для исследования которых, кроме частотного анализа, видимо, надо использовать более тонкие статистические характеристики (типа корреляционных функций), так и различные периодические и квазипериодические движения, нахождение которых в фазовом пространстве и составляет одну из основных задач современной динамики. [c.95]

Заметим, что для многих систем с хаотическим движением корреляции убывают совсем не так быстро, тогда только как степень п [60]. [В указанной работе исследовались полностью интегрируемые системы и убывание корреляций связано не с динамикой системы, а с методом вычисления корреляций. По поводу медленного убывания корреляций см. предисловие редактора перевода и цитированную там литературу.— Прим. ред.] [c.451]

Сведение динамических моделей к одномерным отображениям. В гл. 1 мы убедились, что простые одномерные отображения или разностные уравнения вида х = / х ) могут содержать бифуркации удвоения периода и хаос, если функция /(дг) имеет хотя бы один максимум (или минимум), как показано на рис. 1.19. Явления удвоения периода наблюдались во многих разнообразных сложных физических системах (жидкостях, лазерах, электронных р-п- переходах) и часто динамика этих систем хорошо описывается одномерными отображениями. Такая возможность особенно характерна для систем с существенным затуханием. Чтобы проверить эту возможность, следует сделать выборку какой-либо динамической переменной с помощью сечения Пуанкаре, обсуждавшегося выше, скажем дг = х 1 = / ). Затем можно построить зависимость каждого Лд от последующего значения х Чтобы можно было объявить систему хаотической, необходимо выполнение двух критериев. Во-первых, точки на графике с отложенными по осям величинами п + 1 и дг должны группироваться, создавая некую функциональную зависимость во-вторых, эта функция /(х) должна быть немонотонной, т. е. иметь максимум или минимум. Если эти требования выполнены, то следует подобрать полиномиальную аппрокси- [c.63]

Основная тема этой книги — механические и электрические системы низкого порядка, но новые взгляды на динамику сыграли такую существенную роль в динамике жидкостей, что мы не можем не упомянуть по крайней мере некоторые эксперименты с хаотическими движениями в жидкостях. Вспомним гл. 1, где говорилось, что главная нелинейность в задачах о жидкости связана с переносным ускорением (V V) V, которое присутствует в уравнении движения (1.1.3). Впрочем, определенную роль могут играть и другие [c.117]

Посмотрим, как можно рассматривать зависимость флуктуаций от времени в системе, которая была выведена из равновесия. Здесь необходимо заметить, что мы имеем право рассматривать только такие отклонения от равновесия, которые не слишком велики, но, с другой стороны, и не слишком малы 8.2 . Если начальное отклонение от равновесия очень мало, то динамика флуктуаций не будет ничем отличаться от хаотических самопроизвольных флуктуаций. Если же начальное отклонение очень велико, то необходимо учитывать нелинейные эффекты в зависимости скорости изменения исследуемой величины от значения начального отклонения. Мы же ограничимся линейным случаем, т. е. будем предполагать, что в зависимости скорости возвращения отклонившейся от равновесия величины от величины отклонения можно пренебречь всеми членами разложения скорости в ряд Тейлора, кроме первого. [c.98]

Принципиально новая ситуация, касающаяся непрерывной зависимости решений от параметров, возникла в связи с развитием теории странных аттракторов [29]. Хотя теория аттракторов сравнительно далеко продвинута только для достаточно простых динамических систем [176], первоначальные сомнения в том, что она применима в гидродинамике, были рассеяны как прямыми экспери-мептальпыми подтверждениями [93, 198, 201], так и теоретически, когда было обнаружено развитие хаотической динамики сразу после потери равновесия состояния покоя при возникновении смешанной тепловой и концентрационной конвекции [154]. В построенных примерах непрерывная зависимость решений от параметров нарушается уже не при отдельных их значениях, а на множестве значений параметров положительпой меры. [c.13]

Многочисленные приложения хаотической динамики в самых разных областях физики и техники, а также других наук обязаны тому существенно новому и принципиально важному обстоятельству, что статистические законы, а вместе с ними простое статистическое описание более не ограничены (нашим незнанием ) только очень сложныки системами с большим числом степеней свободы. Напротив, при определенных условиях, которые сводятся в основном к сильной (экспоненциальной) локальной неустойчивости движения в некоторой области фазового пространства, динамический хаос возможен, например, всего при двух степенях свободы консервативной гамильтоновой системы. Источник чрезвычайной сложности, характерной для индивидуальной реализации случайного процесса, оказался совсем не там, где его искали со времен Больцмана Дело вовсе не в сложном устройстве конкретной динамической системы (и ж тем более не в числе ее степеней свободы) и даже не во внешнем шуме (что есть только иное выражение сложности другой снстелш — окружающей среды), а в точно заданных начальных условиях движения. В силу непрерывности фазового пространства в классической механике эти начальные условия содержат бесконечное количество информации, которое при наличии сильной неустойчивости и определяет предельно сложную, непредсказуемую и невоспроизводимую картину хаотического движения. Такая система не забывает свои начальные условия, а наоборот, следует им во всех мельчайших деталях и именно это и приводит к хаосу, который с самого начала заложен в этих деталях. Конечно, с точки зрения физики все это — весьма существенная идеализа- [c.5]

Цель этой книги как раз и состоит в том, чтобы помочь перевести эти математические идеи н методы на язык, который инженеры и экспериментаторы могли бы использовать в своих исследованиях хаотических колебаний. Хотя я и экспериментатор в области динамики, мне пришлось разобраться до определенной степени в этих новых математических идеях, таких, как странный аттрактор, отображение Пуанкаре, фрактальная размерность, для того, чтобы экспериментально изучать хаотические явления. Недавно появился ряд прекрасных математических исследований хаотической динамики. Я попытался прочитать эти труды и вьщелить с помощью моих коллег-теоретиков по Корнеллскому университету суть новых представлений. Книга, лежащая перед Вами, — попытка объяснить важность этого нового языка динамики инженерам, особенно тем, кто намерен изучать колебания в эксперименте. Я полагаю, что но- [c.6]

С недавних пор исследования хаоса — в особенности их математические аспекты — стали предметом внимания прессы. Многие научно-популярные журналы, и даже Нью-Йорк тайме и Ньюс-уик , опубликовали статьи о новых математических результатах в области хаотической динамики. Но инженеры давно знали о хаосе, называя его шумом, помехами или турбулентностью, а фактор неопределенности или фактор надежности использовались для учета в проектах этих внешне случайных неизвестных величин, которые неизменно возникали в каждом техническом устройстве. Так что же нового стало известно о хаосе [c.15]

Если система линейна, в ней невозможны хаотические колеба> тельные явления. Поэтому при проведении опытов по хаотической динамике следует понять природу нелинейностей в изучаемой системе. Чтобы освежить память читателя, напомним, что линейны те системы, в которых выполняется принцип суперпозции. Так, ес-лиА-,(0 ил-2(0 — два допустимых движения некоторой системы, то она линейна, если сумма с, л-,(/) -Ь Сг Х2(0 также является допустимым движением. Другую формулировку принципа суперпозиции легче дать на математическом языке. Предположим, что динамика некоторой физической системы моделируется системой дифференциальных или интегральных уравнений вида [c.128]

В [29, с. 7-44] обсуждены проблемы, связанные с формированием автоструктур (не зависящих от начальных и граничных условий локализованных образований) в неравновесных диссипативных средах, и исследована динамика пространственных ансамблей таких структур. В частности, проведен анализ простой модели — одномерного ансамбля не взаимно связанных структур, представляющих собой цепочку, состоящую из элементов, динамика которых описывается одномерным отображением типа параболы. Напомним, что такое отображение описывает динамику самых различных физических систем, демонстрирующих при изменении параметра цепочку бифуркаций удвоения периода. Пусть параметры цепочки выбраны так, что в первом элементе реализуется режим регулярных колебаний периода Т. При некотором номере ] элемента режим одночастотных колебаний становится неустойчивым и возникает режим удвоенного периода, затем и он теряет устойчивость и т. д. вплоть до установления режима хаотических колебаний. Если каждый из элементов — автогенераторов — находился в режиме стохастических колебаний, то при движении вдоль цепочки наблюдается развитие хаоса — интенсивность колебаний увеличивается, а в спектре уменьшаются выбросы (спектр сглаживается ). В цепочке описанных автогенераторов ван-дер-полевского типа имел место пространственный переход к хаосу через квазипериодичность сначала наблюдался квазимонохроматический режим, сменявшийся затем режимом биений с большим числом гармоник при дальнейшем движении вниз по потоку этот режим переходил в слабо хаотический. Далее хаос развивался, интенсивность колебаний возрастала, но при достаточно больших j она уже не изменялась — устанавливался режим пространственно однородного хаоса. [c.527]

Остановимся на вопросе о способах получения изотропной турбулентности. Теоретически. простейшим способом является создание в первоначально неподвижной жидкости однородной и изотропной системы случайно разбросанных локальных возмущений ( вихрей ). Нетрудно указать математические формулы для начального поля скорости, отвечающие физическому представлению о такой хаотической системе случайных вихрей однако для изучения динамики турбулентности этого мало — нужны еще и решения уравнений движения, отвечающие указанным начальным условиям . Нахождение подобных решений — дело очень сложное поэтому неудивительно, что до сих нор в этом направлении были получены лишь некоторые приближенные результаты, при выводе которых уравнения движения брались в столь упрощенной форме, что полученные решения неизбежно могли дать только очень идеализированную картину реального изотропного турбулентного потока (см. Синг и Линь (1943) Чжоу Пэй-юань и Цай Шу-тан (1957)). [c.104]

Вопросы, связанные с соотношением энтропии и динамики, в последнее время привлекли к себе внимание. Здесь далеко не все так просто. Не все динамические процессы требуют использования понятия энтропии. Движение Земли вокруг Солнца может служить примером, когда необратимостью (например, трением из-за приливов) можно пренебречь и движение допустимо описывать с помощью симметричных во времени уравнений. Но результаты, недавно полученные в нелинейной динамике, показали, что такие системы являются исключениями. Большинство систем де.монстрирует хаотическое и необратимое поведение. И мы постепенно осваиваем искусство описывать динамические системы, отличительной особенностью которых, приводящей к увеличению энтропии, является необратимость. [c.10]

В частности, в осесимметричных струях такие структуры идентифицируются с неустойчивостью вихревого слоя и его сворачиванием в концентрации завихренности — вихри. Снос этих вихрей вниз по потоку сопровожцается процессом их последовательного слияния попарно, что и определяет расширение слоя смешения. Каскад попарных слияний вихрей заканчивается образованием последовательности клубков. В конце начального участка крупномасштабные клубки разрушаются и генерируют мелкомасштабную турбулентность. Взаимодействие упорядоченных, когерентных структур с хаотическим турбулентным фоном определяет динамику развития структурного турбулентного движения. [c.127]

Ошибки округления. При исследовании гамильтоновых отображений с их сложной структурой хаотического и регулярного движения широко используется численное моделирование, причем число итераций отображения достигает многих миллионов. Возникает вопрос в какой степени численное моделирование с конечной точностью арифметических операций, ошибками округления и прочим шумом соответствует реальной динамике системы Существенное влияние этих ошибок на такие характеристики движения, как распределение в фазовом пространстве, мера стохастической компоненты и другие, легко определить, изменяя точность счета. Фактически такие проверки составляют неотъемлемую часть любого численного эксперимента. Так, например, Грин [165] исследовал влияние ошибок округления на определение границы стохастичности и нашел, что оно пренебрежимо мало (см. п. 4.4а). Бенеттин и др. [17] показали, что для систем Аносова численные ошибки несущественны при вычислении временных средних, например, показателей Ляпунова. Однако системы Аносова структурно устойчивы, и вопрос о влиянии численных ошибок на другие системы остается пока открытым ). [c.308]

Если бы кто-то сказал, что через триста лет после публикации Prin ipia Ньютона в динамике будут сделаны новые открытия, его бы посчитали наивным или неумным. Тем не менее в последние десять лет во всех областях нелинейной динамики были обнаружены новые явления, главное из которых — хаотические колебания. Хаотические колебания — это возникновение неупорядоченных движений в совершенно детерминированных системах. Такие движения и раньше обнаруживались в механике жидкостей, ио недавно их заметили в несложных механических и электрических системах и даже в простых задачах с одной степенью свободы. Вместе с этими открытиями пришло понимание того, что нелинейные разностные и дифференциальные уравнения могут иметь офаниченные непериодические решения, которые ведут себя случайным образом, хотя в этих уравнениях нет случайных параметров. Это способствовало развитию новых математических идей, новых подходов к динамическим решениям, проникающих сейчас в лаборатории. [c.6]

Читатель может спросить, стоило ли писать эту книгу сейчас, когда исследования нелинейных колебаний испытывают такие быстрые изменения. Во-первых, это время оказалось подходящим потому, что я получил приглашение подготовить и прочитать восемь лекщ1й о хаотических колебаниях в Институте фундаментальных проблем техники в Варшаве (Польша) в августе 1984 г. Из этих лекщ1й выросла книга. Во-вторых, в 1984 и 1985 годах меня приглашали прочитать лекщ1и о хаотических колебаниях почти в тридцати университетах и исследовательских лабораториях. Многие мои коллеги высказывали желание получить книгу о хаосе, написанную для экспериментаторов. Я также чувствовал, что многие экспериментаторы и инженеры, занимающиеся колебаниями, не были осведомлены об интереснейших новых результатах динамики. Не сомневаюсь, что, вооруженные новыми подходами к динамическим системам, экспериментаторы придут к дальнейшим достижениям в этой новой области на пути изучения новых приложений и разработки более удобных методов регистрации и описания этих новых явлений. [c.8]

Для многих изучение динамики началось и закончилось вторым законом Ньютона F = тА. Нам говорили, что если заданы силы, действующие между частицами, а также начальные положения и скорости частиц, то с помощью достаточно большого компьютера можно предсказать движение или развитие системы для любого сколь угодно позднего момента времени. Однако появление больших и быстрых компьютеров не привело к обещанной бесконечной предсказуемости в динамике. Напротив, совсем недавно было обнаружено, что движение некоторых очень простых динамических систем не всегда можно предсказать на большой интервал времени. Такие движения были названы хаотическими, и их исследование привлекло в динамику некоторые новые математические идеи. Приближается трехсотлетний юбилей Prin ipia Ньютона (1687), где в динамику введено дифференциальное исчисление. Кажется неслучайным, что по прошествии трех веков в динамике открыты новые явления, и в эту почтенную науку из топологии и геометрии проникают новые математические идеи. [c.10]

Хотя в последнее время активность в области нелинейной динамики связана преимущественно с хаосом в диссипативных системах, уже немалое время известна возможность хаотического поведения в бездиссипативных, или так называемых консервативных системах. По сути дела, именно поиск решений уравнений небесной механики привел в конце XIX в. некоторых математиков, например Пуанкаре, к предположению, что решения многих задач динамики чувствительны к начальным условиям и поэтому детали движения тел по орбитам оказываются непредсказуемыми. [c.70]

Как уже говорилось в предыдущих главах, динамика частшш может быть описана в трехмерном фазовом пространстве (х, у, Z = wt). Но ранее мы сосредоточивали свое внимание на хаотиче. ских движениях такой системы. Теперь же нас интересуют только движения, периодические относительно либо левого, либо правого положения равновесия (дг = 1). Таким образом, в качестве аттракторов в этой задаче можно рассматривать предельные циклы. [Взяв отображение Пуанкаре асимптотического движения, мы получим конечное множество точек вблизи одного из положений равновесия ( 1,0).] Здесь мы не отличаем субгармоники с периодом 1 от субгармоники с периодом 3. Мы предполагаем, что вынуждающая сила /о достаточно мала и не вызывает хаотических колебаний и длиннопериодических субгармоник. [c.252]

Стохастическое поведение консервативных гамильтоновых систем известно из работы [136), где показано, что неинтегрируемость некоторой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы приводит к возникновению хаоса. Обзор проблемы хаоса в гамильтоновых системах дан в [200]. в которой проведено интенсивное сопоставление старых и новых взглядов на вопросы интегрируемости. Учитывая некоторую аналогию между задачами небесной механики и движением точечных вихрей, можно предположить, что и в последнем случае будет иметь место хаотическое поведение. Поэтому усилия многих современных исследователей направлены на выяснение вопросов как, где и почему хаотическое поведение входит в динамику точечных вихрей В исследованиях [ 55, 93 ) рассмотрены типичные задачи этого класса. Важной особенностью хаотического движения в задачах вихревой динамики на плоскости является то, что хаос здесь возникает из полных уравнений движения Эйлера, сведенных к гамильтоновой форме, а не в результате модовых (галеркинских) аппроксимаций. Использование таких аппроксимаций является ахиллесовой пятой многих работ по изучению перехода к турбулентности. В частности, если в задаче Лоренца использовать большее число базисных функций, т.е. учесть следующие гармоники полей скорости и температуры, то полученная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений уже не обладает <саттракторными свойствами. [c.158]

Оптимальная эксплуатация стабилизирует динамику популяции, и даже если неэксплуатируемая популяция вела себя хаотически, то процесс оптимального сбора урожая стабилизирует ее численность и сам становится стационарным. Таким образом, можно говорить о том, что оптимальная эксплуатация дестохастизирует динамику популяции. [c.291]

В предыдущих главах мы попытались показать, что даже относительно простые детерминистские модели экологических систем могут демонстрировать сложное поведение. В некоторых случаях это поведение, несмотря на полное отсутствие случайности, неотличимо от стохастического (хаос). Однако стохастика, случайность, является одной из неотъемлемых черт окружающей нас природы. Это и случайные флуктуации параметров среды (как абиотической, так и биотической), и случайные вариации экологофизиологических характеристик отдельных особей, и даже случайный характер взаимодействия между особями. Достаточно открыть любую книгу по экологии или динамике популяций, как вы сразу увидите колебания, колебания и колебания. Колебания численностей, колебания температуры, влажности, колебания плодовитости и т.д. Редкие иэ них носят регулярный характер, и многие из них не могут быть описаны детерминистскими моделями, даже с хаотическим поведением. Однако они могут быть описаны стохастически. И среди них есть весьма интересные. К наиболее интересным явлениям, поддающимся описанию в рамках стохастического подхода, следует отнести [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...