Аналитический метод наименьших квадратов

В качестве примера рассмотрим измерения, проведенные на танталовой проволоке 0 1 мм. Расчет теплопроводности тантала проводился по формуле (18), т. е. для измерений использовались короткий и длинный образцы. В связи с этим в водоохлаждаемые зажимы первоначально была поставлена проволока длиной более 150 мм. В этом случае отводом тепла на концах в сравнении с потерями на радиацию можно было пренебречь, и образец рассматривался как бесконечно длинный . На длинной проволоке был определен температурный ход удельного электросопротивления и построена зависимость температуры проволоки от величины силы тока. Затем расстояние между зажимами уменьшалось до 30 мм и в них была укреплена эта же танталовая проволока, но уже в форме короткого образца. На образец подавался определенной величины ток и проводились измерения распределения температуры вдоль проволоки в средней части образца. Полученные данные наносились на график (рис. 1), и по углу наклона прямой определялась величина коэффициента а. Значение а можно также получить аналитически методом наименьших квадратов. Нами применялась как графическая, так и аналитическая обработка результатов. Таким образом получались все необходимые величины для подсчета коэффициента теплопроводности. [c.98]

Полученные отсюда аналитически методом наименьших квадратов уравнения температурной зависимости скорости осаждения имеют вид [c.86]

Если используются преобразованные переменные, что обычно помогает линеаризовать соотношение между Я к Т [например, уравнения (5.36) и (5.37)], то следует обратить внимание на то, чтобы экспериментальные точки располагались равномерно по отношению к новой переменной иначе в отдельных участках диапазона могут возникнуть неожиданные осцилляции. Другими словами, если германиевый термометр градуируется в диапазоне от 1 до 20 К, то между 1 и 2 К должно быть столько же экспериментальных точек, сколько их между 10 и 20 К, и в качестве аналитического выражения должен использоваться указанный полином. По возможности следует также брать несколько точек за пределами аппроксимируемого интервала, чтобы среднеквадратичное отклонение на краях интервала было не хуже, чем внутри его. Если это невозможно, то у краев интервала следует брать больше точек, чем в середине. Для хорошей подгонки полинома методом наименьших квадратов требуется, чтобы дисперсия новой зависимой переменной была постоянной по всему интервалу. На практике осуществить это удается обычно лишь в том случае, когда интервал аппроксимирования очень узок. Поэтому для обеспечения постоянства дисперсии приходится придавать экспериментальным данным статистические веса. Поскольку в случае германиевого термометра как Я, так и Т имеют дисперсию, которая непостоянна в пределах интервала аппроксимации, весовой множитель зависимой переменной должен быть обратно пропорционален полной дисперсии которая дается выражением [c.241]

Дифференцирование и интегрирование. При численном дифференцировании таблицы экспериментальных данных возможность получения приемлемых результатов часто ограничена, так как последние очень чувствительны к погрешностям эксперимента. Удовлетворительные результаты в этом случае могут быть получены лишь после выполнения каким-либо, способом операции сглаживания результатов эксперимента, например, графическим путем или с помощью их аппроксимации методом наименьших квадратов-функцией с относительно небольшим числом свободных параметров (п< Ы). Последний способ удобен еще и потому, что позволяет проводить дифференцирование полученной функции аналитически. [c.100]

Математическая обработка большого количества экспериментальных данных (более 2000 реализаций) по методу наименьших квадратов позволили получить аналитическую зависимость критерия Д от значения Ra. [c.38]

Часто бывает заранее известен аналитический характер зависимости, и из опыта остаётся только определить константы. Тогда следует выбрать функциональную сетку так, чтобы ожидаемая функция изображалась в ней прямой, Нанося опытные точки и проводя прямую через них, можно найти постоянные аналитической зависимости можно также непосредственно пользоваться этой прямой для интерполяции. Вследствие неточности следования заданному закону или ошибок измерения, вообще говоря, точки не расположатся на одной прямой. Тогда полученную зависимость спрямляют или на-глаз, или пользуясь методом наименьших квадратов. [c.273]

Результаты этих испытаний (рис. 93) математически обработаны по методу наименьших квадратов. Аналитические зависимости интенсивности изнашивания / от Раи найдены в виде уравнения квадратичной параболы у =--= ах Ьх- - с, где за х принято изменение аргумента раП, а за у — функции I. [c.94]

Приведенные на рис. 3.4 и 3.5 эмпирические и расчетные зависимости коэффициентов теплообмена от окружной скорости и частоты вращения станочных деталей обработаны по методу наименьших квадратов, что позволило получить аналитические зависимости. [c.86]

Результаты этих испытаний (рис. 4.29) обработаны по методу наименьших квадратов. Аналитические зависимости интенсивности изнашивания J от произведения paV получали в виде [c.153]

В этом обзоре математической литературы мы ставим проблему развития кинематической теории аппроксимации с использованием различных норм. Это принципиальный уход от точной теории аппроксимации , так как здесь аппроксимация рассматривается интегрально для всей проблемы. Хотя метод наименьших квадратов широко применялся при кинематическом синтезе [16], насколько нам известно, аналитическое решение этой проблемы полностью ускользало от внимания исследователей. [c.167]

Аналитический расчет по экспериментальным данным и усреднение по методу наименьших квадратов показали, что [c.294]

В результате аналитических расчетов и усреднений по методу наименьших квадратов установлено [c.295]

В результате аналитических расчетов и усреднений по методу наименьших квадратов установлено, что /гг = 1,45 и Сг = 0,016. [c.298]

Для определения направления касательной f и кривизны кривых, заданных чертежом, известно много способов. Из числа проверенных в практике расчетов наиболее оправдал себя известный способ проведения нормали к кривой с помощью зеркала и аналитический способ, основанный на наивыгоднейшей параболической аппроксимации, находимой по методу наименьших квадратов. [c.309]

Аналитическое определение Л о можно выполнять по методу наименьших квадратов. После нахождения порога чувствительности вычисляют характеристики распределения. В этом случае в формулах следует вместо Х = g N1 подставлять х = = lg (Уг —Яо)- Далее переходят от вспомогательного графика к основному путем обратной замены абсцисс всех точек. Пример такой обработки показан на рис. 6.48 и в табл. 6.28. [c.225]

Теперь приведем некоторые соображения, касающиеся решения описанным методом задач о поверхностных дефектах в телах конечных размеров. Поскольку в решение (1) включено аналитическое решение, описывающее эллиптическую трещину, находящуюся в неограниченном пространстве, возникает необходимость определить напряжения невязки по всей плоскости трещины, включая фиктивную часть, лежащую за пределами конечного тела. Кроме того, хорошо известно, что точность интерполяции функций методом наименьших квадратов может быть увеличена внутри области интерполирования за счет увеличения числа членов полинома, однако интерполяционная кривая может резко изменить свой характер за пределами области интерполирования. [c.224]

Оценку точности вычисления корреляционной функции /С (т) можно также получить, если корреляционные моменты, определяемые по формуле (6.1), сгладить подобранными методами наименьших квадратов аналитическими выражениями. [c.223]

Полученная в эксперименте зависимость = f (п ) обычно соответствует аналитическому соотношению (2.13). В этом случае для данного сочетания напряжений и реализованного в проведенном эксперименте, можно подобрать соответствующий параметр нелинейности а. Это может быть сделано, например, стандартным методом наименьших квадратов. Определить этот параметр по полученным экспериментальным данным можно также вычислением среднего арифметического. Для этого следует воспользоваться формулой (2,20) и каждой паре значений п поставить в соответствие значение щ, вычисленное по этой формуле. Здесь 1=1, 2, k, где k — число проведенных испытаний. За величину а принимается ее среднее значение из полученных k значений а . [c.22]

Зона пересечения разделяется на три части. Метод наименьших квадратов для граничных точек используется для удовлетворения граничных условий на средней части зоны пересечения и условий непрерывности в местах соединения частей для определяющих уравнений теории упругости и всех других граничных условий даются аналитические решения. [c.151]

Результаты испытания парового котла или отдельных его элементов представляются в виде графиков, например, 9г = /1(а) т)к=/2(-0) и т, п. Всегда целесообразно найти математическое выражение, достаточно точно (адекватно) описывающее эти зависимости. Аналитическая форма зависимостей наряду с удобством представления результатов может оказаться необходимой при дальнейшей оптимизации режима, а также при вводе данных в ЭВМ для автоматизации процессов. Иногда характер такого аналитического описания, т. е. вид функции, можно задать заранее. Например, сопротивление тракта и расход среды связаны зависимостью Ар = аО". В этом случае задача сводится к определению коэффициентов а, т из условия минимума суммы квадратов отклонений опытных значений функции от рассчитанных по найденной зависимости, т, е. проводится аппроксимация методом наименьших квадратов [c.37]

Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Уравнения Аппеля. В начале XIX в. получил большое развитие метод обработки наблюдений — метод наименьших квадратов. В аналитической механике этот метод приводит к новому общему принципу. В 1829 г. Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) опубликовал свой знаменитый мемуар, в котором предложил доказательство принципа наименьшего принуждения. Это была единственная работа Гаусса по аналитической механике. Как замечает сам Гаусс, каждый новый принцип вносит новую точку зрения на законы природы. По мнению Гаусса, его принцип имеет то преимущество, что обнимает одинаковым образом как законы движения, так и законы покоя. [c.524]

Качество линеаризации с помощью секущих, выходящих из точки (О, йо), зависит от условий, которым подчиняется выбор коэффициента Ьх- Результаты расчетов по методу средних и по методу наименьших квадратов приведены в табл. 6, здесь х — координата точки пересечения секущей и Р (х ). На рис. 14 изображены графики погрешностей А , и б для рассмотренных случаев. Кроме того, там же нанесены кривые, получаемые из условия равенства абсолютных значений максимального и минимального уровней А . Для этого случая нет общего аналитического выражения погрешностей для [c.63]

Аналитический метод определения наилучшей прямой линии, которая аппроксимирует серию экспериментальных точек, называется линейной регрессией, или аппроксимацией прямой методом наименьших квадратов. [c.101]

В работе [11] значения В вычислены по данным о сжимаемости, полученным в Германском физико-техническом институте. Они дают для азота Кр 137,4 и Кр = 123,5. Значения. приведенные для азота в последнем столбце настоящей таблицы, были вычислены с помощью значений коэффициента В, выведенных автором из результатов измерений сжимаемости, проведенных в Германском физико-техническом институте, при давлении 100 атм в области температур 0-400° С. Для каждой температуры по методу наименьших квадратов вычислялись коэффициенты В и С уравнения pV=A+Bp - p2 , было принято ( °С+273,16) / 273,16. Значения В сглаживались аналитически. В результате для азота было получено Во=—10,445 мл-моль Вюо=6,223 мл-моль . [c.184]

Располагая сеткой опорных р, V, Г-данных, выбирают п, при котором, достигается наилучшее согласование со значениями на изотермах, а затем можно методом наименьших квадратов определить оптимальные значения температурных функций. Однако, если учесть, что зависимость функций от температуры должна быть плавной, то этот метод оказывается недостаточно эффективным, поскольку на каждой изотерме получают фиксированные значения функций. В то же время у жидкости в большей части облает ее существования малым изменениям плотности в пределах погрешности эксперимента соответствуют значительные изменения давления, и поэтому на ряде изотерм допустимы отклонения значений температурных функций от оптимальных. Последнее обстоятельство позволяет получить для температурных функций плавные кривые, которые описываются аналитически без особых затруднений. [c.30]

По экспериментальным данным для среднего коэффициента линейного расширения методом наименьших квадратов получены следующие аналитические зависимости, применимые в интервале температур от 0° С до температуры плавления (рис. 2) [c.26]

В тех случаях, когда аналитически функции связи определить не представляется возможным, их находят экспериментальным путем методом наименьших квадратов, методом регрессионного анализа, методом планирования эксперимента и др. [c.380]

На основании линейной логарифмической аппроксимации показатель равен тангенсу угла яр наклона прямой к оси абсцисс, проведенной через опытные точки, нанесенные в двойной логарифмической сетке (см. рис. 203). Постоянная Сг — где VI н Т1 — значения скорости резания и периода стойкости точки, расположенной на экспериментальной прямой. Как правило, вследствие неоднородности инструментального материала (особенно твердых сплавов), погрешностей заточки инструмента и т. п. экспериментальные точки при стойкостных опытах имеют большой рассев и плохо укладываются на заменяющую прямую. Поэтому гщ и Сх целесообразно находить аналитически, используя метод наименьших квадратов (см. гл. VI) и производя статистическую проверку математической модели на адекватность. [c.252]

Возможности программного обеспечения аналитические команды позволяют выполнить следующие операции вычисление собственных векторов и собственных значений, арифметические действия над матрицами, обращение матриц, решение линейных уравнений, идентификацию по методу наименьших квадратов, декомпозицию по вырожденным значениям, быстрое Фурье-преобразование, расчет цифровых фильтров, статистические расчеты и др. Команды анализа и проектирования линейных систем управления определены как опции. Графические команды позволяют получать графики разных типов логарифмические, полулогарифмические, в полярных координатах, трехмерные. [c.333]

Для описания пространственного положения оси трубопровода в тех случаях, когда необходимо учесть особенности деформации объекта на участках, подверженных заметным деформациям и требующих детального рассмотрения распределения напряжений, используется аппарат интерполяции с помощью полиномиальных сплайнов. Для оценки пространственного положения оси трубопровода в тех случаях, когда перемещения измеряются недостаточно точно, используется аппарат аппроксимации кривыми определенной аналитической структуры по методу наименьших квадратов. Рассмотренные кривые путем несложных преобразований приводятся к виду, позволяющему использовать аппарат линейной регрессии для определения параметров, характеризующих пространственное положение кривых. Приведенные способы определения пространственного положения оси трубопровода позволяют построить закон его движения, который служит основой для решения задачи определения трехмерного НДС исследуемого участка. [c.239]

Прогнозирование детерминированных процессов осуществляется путем интерполирования или экстраполирования. В этом случае сначала выявляется аналитическое выражение исследуемой функции, а затем осуществляется прогнозирование. При прогнозировании детерминированных процессов при условии не--большого времени упреждения используется интерполяционный полином Лагранжа. Когда имеется мало информации о контролируемой функции, используется метод наименьших квадратов. В виде эмпирических формул применяются также дроб- [c.105]

Аналитическое выравнивание методом наименьших квадратов временных рядов переменных параметров управления и критерия зк-епдуатационной эффективности для машины К-(5 Архангельского ЦГН дало следуьщие функции [c.18]

При решении задачи оценивания параметров состояния линейной МС по данным процессов на входе и выходе (случай а) u t) 0, R [q (i)]=0 предлагается использовать трехэтапный метод наименьших квадратов. Основная идея этого метода состоит в применении аналитических зависимостей между вектором параметров состояния X и вектором параметров ФДМ а. [c.133]

Осреднённая линия проводится или по методу наименьших квадратов или просто графически, после чего по очевидным соотношениям аналитической геометрии находятся параметры уравнения прямой линии. [c.91]

Методом наихменьших квадратов (способом совместных измерений) можно воспользоваться и при исследовании некоторой зависимости Я= (Т) между величинами Я и Т, если ряд значений независимой переменной Т воспроизводится искусственно и изме-)яются соответствующие им значения зависимой переменной К. Результаты измерений состоят при этом из пар значений 1=1, 2, п), причем погрешности измерения величины Т настолько меньше погрешностей измерения величины что ими можно пренебречь. Метод наименьших квадратов позволяет в этом случае аппроксимировать зависимость, заданную парами значений (Тг, Я ), аналитическим выражением вида / = ао/о(7 )+ 1/1 (7 ) + +. ..+ат т Т), где /о(Т ) МГ) ... / (Г) — заданные функции. Коэффициенты йд ш ..являются теми неизвестными величинами, оценки значений которых определяют методом совместных измерений. Действительно, полагая аг = /,(7 г) Qj = ai = /= = 1, 2,...,п /=1, 2,...,т, приходим к системе условных уравнений (8.59). [c.172]

Буквенные формулы, по которым вычислялись таблицы, помещаемые в ежегоднике, имели еще и другое практическое применецие и использовались также для решения обратных задач небесной механики, т. е. для определения постоянных параметров системы, а отчасти и для начальных условий. Для этого брались полученные из наблюдений ряды числовых значений координат, соответствующие ряду отдельных моментов времени (моментов наблюдений ), и эти числовые значения подставлялись в буквенные формулы той или иной аналитической теории. Таким образом оставлялись уравнения, в которых неизвестными величинами оказывались нужные параметры (например, массы планет или элементы их орбит). Приближенное решение таких конечных уравнений, обычно по методу наименьших квадратов, доставляло искомые числовые значения определяемых параметров, что позволяло пополнять, или исправлять, наши ведения об устройстве Солнечной системы и о ее числовых характеристиках. [c.324]

Лаплас (Lapla e) Пьер Симон (1749-1827) — видный французский математик, астроном, физик. Автор классических работ по математической физике, по теории вероятностей и небесной механике. Основные труды Аналитическая теория вероятностей (1812 г.), Трактат о небесной механике (182.5 г.). Один из создателей математической теории вероятностей, доказал первые предельные теоремы, развил теорию ошибок и метод наименьших квадратов. Завершил создание небесной механики на основе закона Ньютона. Доказал устойчивость Солнечной системы. [c.117]

Математика охватывает общие и специальные дисциплины математического анализа арифметику и алгебру, геометрию, тригонометрию, диференциальное и интегральное исчисления, ряды, диференциальные уравнения в полных и частных производных, вариационное исчисление, аналитическую и диференциальную геометрию, векторное исчисление, теорию функций комплексного переменного и элементы прикладного анализа теорию вероятностей и метод наименьших квадратов, приближённые вычисления, построения эмпирических формул и номографию. [c.9]

Описанная методика интерпретации данных многоуглового зондирования, реализующая, по существу, метод наименьших квадратов, далеко не единственна. Не вдаваясь в детали, мы приведем еще одно аналитическое выражение, которое также может служить основой эффективной схемы интерпретации локационных данных. В частности, если считать неизвестной функцию Т (г) = = ехр —2т(г) , то из (2.49) следует простое выражение [c.119]

Графическая обработка опытных данных дает хорошие по точности результаты только в том случае, когда экспериментальные точки лежат на одной прямой или достаточно плотно группируются вдоль нее. При большом рассеивании точек вследствие погрешностей экспе-римеР1тй положение прямой между точками становится неопределенным. В этом случае для определения к и С прибегают к аналитической обрабагке опытных данных, используя метод наименьших квадратов. В основе метода лежит следующее положение наилучшее приближение аппроксимирующей функции у = f(x) к экспериментальным данным будет в том случае, когда сумма квадратов отклонений расчетных значений /(xi),/(x2), [(хз),..., Дхл) от экспериментальных г/ , i/2. Уз> . yiv является минимальной, т. е. [c.199]

Подставляя найденные значения Zij в (V.7), получаем аналитическое выражение для приближенного решения задачи Uq (х, у). Тогда координатная последовательность для того или иного вариационного метода (Ритца, Галеркина, наименьших квадратов и т. д.) может быть представлена в виде [c.62]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...