Анализ амплитудного уравнения

Анализ амплитудного уравнения. Из структуры амплитудного уравнения (1.2.88) следует, что фаза а определена с точностью до произвольной постоянной, что обусловлено трансляционной исходной задачи симметрией по х. Кроме того, фаза не зависит от времени. Поэтому можно считать амплитуду а вещественной и положительной. Уравнение для нейтральной кривой можно получить из (1.2.88), положив д/дт = О и отбросив нелинейные члены [c.38]

Анализ волнового уравнения (4.39а) [6,61] дает следующее выражение для пространственного распределения поля собственных волн резонатора, содержащего указанные амплитудно-неоднородные элементы [c.197]

Приведенные дифференциальные уравнения и амплитудно-частотные и фазовые характеристики (рис. 3) необходимы как для дальнейшего анализа устойчивости АУУ с применением следящих систем, так и рационального выбора упругих и демпферных характеристик опор уравновешиваемой системы. [c.68]

Рассматривая в этом случае малые отклонения регулируемого параметра и линеаризуя уравнения электрогидравлического усилителя и дроссельного привода (6.11) и (6.91), получим структурную динамическую схему следящего электрогидравлического привода в виде рис. 6.95, удобном для анализа устойчивости движения различными методами, в том числе и с помощью амплитудно-фазового критерия устойчивости [83]. [c.478]

Для анализа вынужденных колебаний применимы уравнения (1.87) и (1.88), если возмущающая сила действует во все время испытания. При синусоидальном законе действия возмущающей силы f = fo sin сот (Fo — амплитудное значение возмущающей силы) уравнение движения имеет вид [c.42]

Метод частотных характеристик. Исходными данными для исследования в этом случае служат (вместо дифференциальных уравнений) амплитудно-фазовые характеристики элементов САР. Одним из основных достоинств метода (так же, как и метода переходных функций) является возможность непосредственного использования результатов относительно несложного эксперимента. Одновременно, как это будет показано в дальнейшем, использование частотных методов в настоящее время даст некоторые преимущества и при анализе процессов в САР. [c.515]

Асимптотический анализ свободных и вынужденных колебаний в каналах и трубах с точки зрения взаимодействия вязких пристеночных слоев с невязким ядром потока несжимаемой жидкости проведен в [58-61] для малых амплитуд, позволяющих линеаризовать уравнения движения. Нелинейные аспекты процесса распространения волн и генерация вихрей при возрастании амплитудного параметра в рассматриваемом классе задач о движениях жидкости в каналах с зависящими от времени деформациями стенок обсуждаются в [62-65]. [c.6]

Частоту со в этом методе можно выразить через частоту изменения параметра Q. Она или непосредственно равна последней, или связана с ней рациональным отношением. После подстановки выражения (4.50) в исходное уравнение члены, содержащие одинаковые гармоники, объединяются исходное уравнение удовлетворяется, если коэффициенты при всех гармониках обращаются в нуль. Это условие приводит к системе с бесконечным числом уравнений для определения амплитудных множителей а и Ь . Такую систему уравнений можно решить путем итераций, пользуясь известными методами прикладного анализа. [c.171]

Принципы, лежащие в основе многопараметрового контроля, можно пояснить с помощью системы алгебраических уравнений. Проекции сигналов на оси Сь С2, Сз и С4 (фиг. 11.4) являются выходными сигналами амплитудно-фазовых детекторов вихретокового прибора. Это позволяет записать исходные алгебраические уравнения для сигналов. Так как анализ ведется в линейном приближении (небольшие сигналы), выходной сигнал фазового детектора для каждой оси (или канала) будет равен сумме проекций всех векторов на эту ось. Введем обозначение aij для отношения проекции сигнала на ось с номером 1 к величине [c.366]

При ко < I, как показывает анализ амплитудного уравнения, сдвиг критического числа определяется формулой Сг Сг (1 - Зт ) возмущения локализованы в широкой части слоя. При ко - 2к имеет место уменьшение порогового числа Сг на величину порядка г неустойчивость приводит к развитию течения с периодом 4тт/ко (см. рис. 164, а). При ко = = 2кт11 (I — нечетное число) смещение критического числа Сг во втором порядке 7 описывается формулой (37.11) в высших порядках, однако, [c.276]

В Процессе исследования динамических характеристик металлорежущих станков возникают как задачи, связанные с большим количеством повторяющихся операций, выполнение которых целесообразно поручить ЭВМ, так и задачи, требующие осмысливания полученных результатов, обобщений, оценки путей дальнейшего продвижения, которые в настоящее время могут решаться только человеком [1]. К числу первых задач относятся составление уравнений движения механической системы станка, получение и анализ характеристического уравнения, установление форм свободных колебаний, исследование вынужденных колебаний системы, расчет передаточных функций, построение амплитудно-фазо-частотных характеристик (АФЧХ), анализ устойчивости системы. [c.53]

Структура развитых термоконцентрационных вторичных течений должна быть найдена на основе нелинейного анализа. В работе [24] для расчета вторичных режимов в области предельно больших Ка< был использован метод малого параметра. Модельное амплитудное уравнение позволило заключить, что в некотором интервале значений волнового числа возможно жесткое возбуждение неустойчивости. Эволюция течения в надкритической области изучалась в работе [27] с помощью метода Галеркина — Канторовича. Расчеты проводились для водного раствора соли при фиксированном Ra = 1,878 10 (параметры соответствуют работам [17,23]). При заданных к - 11,25 и Gr = 1231 (пятипроцентная надкритичность) изучалось развитие со временем начального возмущения. Расчеты показали, что в течение небольшого промежутка времени возникающие на границе устойчивости ячейки с противоположным направлением вращения смежных вихрей трансформируются в систему слоистых ячеистых течений с одинаковым направлением вращения. Аналогичные результаты были получены ранее [28] с помощью метода конечных разностей они хорошо согласуются с экспериментом [23, 25]. Пример фотографии слоистой структуры приведен на рис. 85. [c.136]

Дпинноволновые вторичные течения. В предыдущем параграфе мы привели ряд примеров амплитудных уравнений, отличающихся от обобщенного уравнения Гинзбурга — Ландау. Анализ устойчивости проведен лишь для некоторых из них. [c.252]

В работах [6, 7] исследовалось поведение поверхности жидкого диэлектрика (магнетика) в нормальном к поверхности постоянном электрическом (магнитном) поле. При напряженности поля, превы-шаюш,ей некоторое критическое значение, плоская поверхность диэлектрика (магнетика) становится неустойчивой — реализуется так называемая неустойчивость Тонкса—Френкеля. Нелинейный анализ, проведенный в [6, 7], для этой задачи привел к амплитудным уравнениям, в точности совпадающим с (4.2.35)-(4.2.37), если в последних провести замену (р2 — рг)/ р2 + Pi) на (г — )/ + 1), где s — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, в магнитном случае вместо е следует взять ц — магнитную проницаемость среды. Как и в рассматриваемой задаче, слагаемые третьего порядка дают вклад в амплитудное уравнение только при наличии случайного малого параметра (( - 1)/(е + 1) < 1). [c.175]

На рис. 5, а приведена резонансная кривая уравнения (3) при значениях р/ш = 4/9, на рис. 5, б резонансная кривая соответствует значениям р/со = 25/9, на рис. 5, <з — р/со = 12/9. На рис. 5, 3 приведена амплитудно-частотная характеристика системы (3) при = 0. Анализ значений частоты возбуждения соответствующих никам резонансных кривых (рис. 5), показывает, что резонансные явления в системе, поведение которой (шисы-вается уравнением (3), имеют место при [c.64]

Наиболее серьезные повреждения и аварии турбомашин, как правило, связаны или с начальными технологическими макродефектами или с трещинами, возникшими на первых стадиях нагружения (в процессе испытаний или при эксплуатации). В соответствии с уравнениями механики разрушения предельные разрушающие нагрузки (для хрупких состояний) связаны степенными функциями с размерами макродефектов (при их возможной вариации в 5—10 раз и более), фактические запасы прочности могут уменьшаться в 1,2—2 раза и более. Поэтому определение фактического состояния дефектов на стадиях изготовления и эксплуатации становится одним из важнейших мероприятий по назначению и уточнению исходного, выработанного и остаточного ресурса. Для выявления дефектов в роторах и корпусах все более широко применяют средства ультразвукового дефектоскопического контроля, позволяющие надежно обнаруживать дефекты с эквивалентным диаметром 3—20 мм при глубине их залегания от 5 до 1200 мм. Перспективны для этих же целей методы контроля параметров акустической эмиссии, использование волоконной оптики, амплитудно-частотного анализа вибраций, аэрозолей, магнитно-порошковой и люминесцентной дефектоскопии, метода электропотенциалов и др. В связи с усовершенствованием средств контроля и использованием механики разрушения в качестве научной основы определения прочности и живучести роторов и корпусов с дефектами меняются последовательность и объем дефектоскопического контроля при изготовлении и эксплуатации роторов, а также повышается роль контроля при испытаниях и перед пуском в эксплуатацию энергоблоков. [c.8]

Механизмы воздействия акустических волн на нелинейное развитие трехмерных возмущений в затопленных струях исследованы в [2.24]. Авторами обнаружена жесткая неустойчивость струйных течений и слоев смешения по отношению к трехмерным конечно-амплитудным возмущениям типа раностного резонанса. Объяснен ряд явлений, связанных с аэроакустическим стабилизирующим и дестабилизирующим воздействием акустических волн на устойчивость и дальнобойность струй. Теоретический анализ проведен на базе трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса без каких-либо дополнительных предположений при расчете как ламинарного, так и турбулентного течений. [c.82]

Анализ уравнений и эксперименты показывают [25], что сила N увеличивает или уменьшает частоту свободных колебаний в зависимости от значений Hq/D и т. Следовательно, одна и та же пружина может иметь амплитудно-частотные характеристики, соответствующие жесткой и мягкой нелинейным системам соударение витков в процессе продольных колебаний предшествует развитию больших перемещений (5 0,2 Н), поэтому нелинейные срывы амплитуд не успевают развиться при достаточном отдалении от ш,,. Одно из колебаний под действием другого делается параметрическим и описывается уравнением Хилла. [c.53]

Известно [25, 57, 197], что для среды с поглощением (Im е > 0) условия 1—5 обеспечивают единственность решения исходной электродинамической задачи. При исследовании задач дифракции на структурах, находящихся в среде без поглощения (Im е = 0), под их решением понимаем предел решений в среде с поглощением, когда Im е ->- 0. Единственность решения задач дифракции обеспечивается введением условия 5. Оно заключается в требовании конечности энергии электромагнитного поля, запасенной в любом конечном объеме. Если искомое поле представлено в виде Фурье, то это условие определяет пространство числовых последовательностей, которому должны принадлежать неизвестные амплитудные коэффициенты. В таком виде это условие удобно использовать при доказательстве разрешимости полученных тем или иным путем бесконечных систем уравнений относительно этих коэффициентов. Если граничные поверхности имеют геометрические сингулярности, например острые ребра, то из условия 5 следует условие на ребре в форме Мейкснера [54, 121]. Последнее обычно применяют при рассмотрении различных математических особенностей полученного решения и анализа рассеянного поля вблизи ребер структуры. Из условия 5 следует, что в окрестности ребра ни [c.15]

Плоские рэлеевские моды, однако, ни при каких Рг не становятся наиболее опасными. В широкой области чисел Прандтля (Рг > 0,24) наиболее опасными среди всех рассмотренных типов возмущений являются монотонные спиральные возмущения. Спиральные моды, как и плоские волновые, имеют рэлеевскую природу. Критические числа Грасгофа четной и нечетной мод близки. При Рг < 2,7 более опасны возмущения четного типа, при Рг > 2,7 - нечетного. При больших Рг справедлива характерная для рэлеевского механизма асимптотика Gr = а/Рг для четной и нечетной мод соответственно а = 886 и 879. Заметим, что при Рг -> оо амплитудная задача (30.8) может быть упрощена. На границе устойчивости ( X = 0) из двух первых уравнений системы (30.8) следует 0, Uz Gr Тогда из третьего уравнения видно, что Gr 1/Рг, и последнее слагаемое в левой части этого уравнения мало. Система, таким образом, содержит в качестве параметра устойчивости число Рэлея Ra = Gr Рг, а стабилизирующее влияние основного течения на спиральную моду исчезает. Плоские волновые моды, как уже говорилось, также имеют рэлеевскую природу, однако, в отличие от спиральных мод, основной поток оказьюает на них стабилизирующее действие при всех Рг. С этой точки зрения понятно, почему спиральные возмущения оказьшаются более опасными. Анализу спектров декрементов посвящена работа [6]. [c.206]

Анализ устойчивости плоскопараллельного термокапиллярного течения ( 30, п. 2) продолжен в работе Смита [10]. в которой приводятся дополнительные результаты расчета границы устойчивости и параметров критических возмущений во всей области изменения числа Прандтля Рг при числе Био В1 = 1. Кроме того, проведен слабонелинейный анализ на основе системы амплитудыных уравнений типя обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау (см. гл. VII). Как показано, эволюция линейных возмущений, представляющих собой две волны, распространяющиеся под углами о против основного потока, при всех Рг и малых В1 приводит к формированию какой-либо одной из конечно-амплитудных волн при малых Рг и больших В1 развивается симметричная суперпозиция обеих волн. [c.290]

Некоторое представление о содержании указанной монографии дают Главы 10.1-10.4. ФРПВ - одна из наиболее емких и полезных характеристик амплитудных свойств турбулентных пульсаций. В. Р. Кузнецову удалось получить уравнения, описывающие ФРПВ для пульсаций скорости в двух точках потока (Глава 10.1, близкая к работе [2]), и ФРПВ для пульсаций концентрации (Глава 10.2, близкая к работе [3]). Первая работа послужила исходным пунктом для анализа очень важной проблемы универсальности структуры мелкомасштабной части спектра турбулентных пульсаций. В соответствии с известными гипотезами А.Н. Колмогорова [4], считается, что мелкомасштабная часть спектра универсальна, турбулентность в ней однородна и изотропна. Структура этой части спектра не зависит от конкретного типа течения и определяется всего двумя параметрами молекулярной вязкостью среды ь и специфическим параметром - скоростью диссипации е = и Величина последней косвенно зависит от характеристик крупномасштабной части спектра. Значе- [c.349]

В этом случае предпочтителен непосредственный анализ методами теории устойчивости или решение этой системы методами теории дифференциальных уравнений. Решение системы определяется видом передаточной функции W (О), которая в общем случае является передаточной функцией замкнутой системы упругая система станка — процесс резания. По общему виду амплитудно-фазовых частотных характеристик упругой сиетемы, процесса резания и даже по характеристике разомкнутой системы нельзя ответить на вопрос какая форма колебаний и на какой частоте будет возбуждаться в первую очередь [c.59]

УстЬйчивость динамической системы станка оценивается по величине так называемой области устойчивости в пространстве параметров системы. Расчетному анализу подвергаются дифференциальные уравнения динамической системы станка (167). Если решения уравнения будут возрастающими во времени, то система неустойчива. Однако практически, в большинстве случаев, уравнения (167) не решают, а для оценки устойчивости пользуются амплитудно-фазовым критерием Найквиста—JVlиxaйлoвa. Он позволяет судить об [c.358]

Решение уравнения (VII.4.5), анализ которого удобнее всего провести графически, уже указывает на несимметричный характер искажения профиля волны. Отложим, как показано на рис. VII.5, а, по оси абсцисс значение p7po, а по оси ординат — значение шт. Как видим, волновой профиль в соответствии с формулой (VII.4.5) представляет собой сумму трех функций арксинуса, прямой и параболы. При этом тангенс угла наклона прямой увеличивается по мере распространения волны от источника, и это возрастание пропорционально х и амплитудному значению плотности волны на входе системы. [c.191]

Хотя функция Фо отнормирована, уравнение (9.6) не определяет никакой нормировки для функций 1 ) и Р. Следовательно, амплитудный фактор Р (/) может быть нормирован независимо любым подходящим для этого способом. В частности, можно отождествить Р ( о) с мощностью реактора в некоторый момент времени о- Это, в свою очередь, определит нормировку форм-функции ч ) в момент = 0. и из уравнения (9.6) будет определена нормировка во все другие времена. Тем не менее Р (/) остается почти равной мощности реактора, пока форм-функция не сильно отличается от начальной. Это видно из следующего анализа. [c.373]

Г4 = <ц (ж, р1)м х, рг)м (х, рз)м х, р4)>, с помощью которого затем найти величину (х, р)>, полагая в решении Р1 = Рг == Рз = Р4 = Р- Однако решить аналитически это уравнение не представляется возможным, и оно содержит много лишних (для нахождения параметров, в то время как запись величины Р (х, р)> в континуальном виде этих параметров не содерншт. Поэтому такая запись может быть полезна для изучения асимптотических характеристик любых моментов и, следовательно, распределения вероятностей для интенсивности волнового поля (см. следующий параграф). Кроме того, в ряде случаев представление поля в операторном виде позволяет найти соответствующие средние характеристики технически проще по сравнению с изучением соответствующих уравнений. Так, в 4 предыдущей главы при изучении амплитудно-фазовых флуктуаций требовалось вычислить величину <е (у, рх)/ (х, р,) (х > /). Если исходить при этом из уравнения (1.1), то следует составить дифференциальное уравнение для величины е (г/, рх)м (х, ра) и (х, рз) при у <С X, усреднить его, установить граничное условие для величины (гии У при X = у, решить полученное уравнение с соответствующим граничным условием, а уже затем положить рз = р2. В то же время вычисление этой величины с помощью представления I х, Ра) в операторном виде мало чем отличается от вычисления величины рассмотренного выше. Запись решения в виде континуального интеграла удобна и при анализе структуры волнового поля, отраженного от зеркальной поверхности 41]. Используя формулу (8.1.15) и явное выражение для функции Грина (1.19), для поля отраженной волны в точке (О, р) получаем выражение (предполагаем для простоты, что зеркало пространственно однородно, т. е. У (рг, Рх) = У (Рг — Р1)) [c.290]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...