Дифракции задача единственность решения

К числу наиболее сложных и актуальных с точки зрения приложений проблем динамики деформируемых тел относится проблема дифракции упругих волн на различного типа неоднородностях. Это объясняется тем обстоятельством, что практически во всех возникающих задачах наличие неоднородности (включения, полости, выреза, локального изменения свойств и т. д.) является почти непременным условием и информация о динамической напряженности возле этих неоднородностей необходима для различных целей. В то же время задачи дифракций упругих волн на неоднородностях входят в состав классических задач динамики деформируемых тел, а их решение требует привлечения сложного математического аппарата. Последнее обстоятельство наряду с другими не позволило на протяжении длительного времени исследовать широкие классы задач с оценкой динамической напряженности вблизи неоднородностей и основные достижения получены в основном в трех традиционных направлениях. Первое направление связано с построением точных аналитических решений отдельных весьма немногочисленных задач в большинстве случаев без анализа динамической напряженности вблизи неоднородностей. Второе направление состоит в сведении весьма широких классов задач дифракции упругих волн к системам многомерных сингулярных и регулярных интегральных уравнений с последующим доказательством существования и единственности решения. Третье направление связано с развитием асимптотических методов решения задач дифракции упругих волн, в большинстве случаев не позволяющих определить динамическую напряженность вблизи границ раздела свойств (вблизи неоднородностей). [c.5]

Единственность решения парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Ханкеля, для родственной задачи теории дифракции была показана в работе Е. А. Иванова [17]. [c.120]

Теорема единственности показывает, что для того, чтобы решение уравнений Максвелла было единственным, необходимо использовать условия 1—5. Однако этого недостаточно. Следует еще показать, что они не противоречивы и всегда существует (одно) решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее им, т. е. доказать теорему существования. Поэтому при построении решения различных задач дифракции обычно доказываются соответствующие теоремы существования решения задачи и дается эффективный алгоритм их отыскания [25, 50, 58, 63, 91, 93, 139, 198]. Детально ознакомиться с вопросами построения и реализации строгих математических моделей задач дифракции на решетках, электродинамические характеристики которых анализируются в данной книге, можно в работах [25, 58]. [c.16]

Строгое электродинамическое решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны на прямолинейном крае идеально проводящего полубесконечного экрана было получено в 1894 г. А. Зоммерфельдом. С тех пор было найдено строгое решение лишь нескольких дифракционных задач (Л. И. Мандельштам, В. А. Фок и др.). Для большинства задач метод Френеля дает единственный путь решения и приводит к практически удовлетворительным результатам. Несмотря на отмеченные выше принципиальные трудности и ограниченную применимость, он оказался чрезвычайно плодотворным. [c.283]

Эти особые сочетания частот и параметров представляют значительный интерес для теории дифракции именно потому, что при них суш,ествуют решения однородного уравнения, так называемые собственные колебания. Совокупность этих собственных колебаний — например, для упомянутых дискретных частот — при фиксированных параметрах системы образуют систему функций, используемых в одном из методов решения задач дифракции (гл. П1). Задача дифракции при этом решается в обычных условиях, при которых решение существует и единственно (например, при другой частоте), но используются решения, соответствующие особым условиям, когда теоремы существования и единственности нарушены. [c.40]

Для другого граничного условия ди/дЫ — О решение аналогично, вид его остается тем же— (6.10), лишь значения коэффициентов становятся другими. Частота к входит только в радиальные функции, поэтому, согласно замечанию в п. 6.8, тот же математический аппарат позволяет решить акустическую задачу и о шаре с конечными значениями рис. При решении этой задачи внешнее поле выражается через те же функции (6.7), а внутреннее поле представляется в виде ряда по функциям Бесселя с полуцелым индексом, которые, единственные из цилиндрических функций, не имеют особенностей при р = О, Полные поля и их производные сшиваются при всех углах, а так как угловые функции образуют полную систему и ортогональны, то в обоих рядах для внешнего и внутреннего полей коэффициенты разложения почленно равны между собой. В результате получаем формулы, аналогичные формулам для коэффициентов разложения полей дифракции на диэлектрическом цилиндре. [c.65]

Четырехполюсные элементы на основе ступенчатых Л П. При построении СВЧ устройств часто используется каскадное соединение отрезков одиночных - однородных ЛП, отличающихся друг от друга геометрическими размерами и погонными параметрами (рис. 2.2,6). Геометрические размеры ЛП таковы, что распространяющейся в иих является только Т-волна. Исследование свойств таких соединений требует решения электродинамической задачи о дифракции электромагнитной волны на сосредоточенных неоднородностях, образованных стыками ЛП. Это решение, как правило, связано со значительными трудностями. В основном они обусловлены трудностями анализа высших типов собственных волн ЛП со сложной формой поперечного сечения. Единственным типом ЛП, для которой задача анализа собственных воли допускает сравнительно простое аналитическое решение, является коаксиальная ЛП [139]. В связи с этим оказывается возможным построение точных математических моделей весьма сложных соединений отрезков коаксиальных ЛП [140, 141]. [c.44]

Известно [25, 57, 197], что для среды с поглощением (Im е > 0) условия 1—5 обеспечивают единственность решения исходной электродинамической задачи. При исследовании задач дифракции на структурах, находящихся в среде без поглощения (Im е = 0), под их решением понимаем предел решений в среде с поглощением, когда Im е ->- 0. Единственность решения задач дифракции обеспечивается введением условия 5. Оно заключается в требовании конечности энергии электромагнитного поля, запасенной в любом конечном объеме. Если искомое поле представлено в виде Фурье, то это условие определяет пространство числовых последовательностей, которому должны принадлежать неизвестные амплитудные коэффициенты. В таком виде это условие удобно использовать при доказательстве разрешимости полученных тем или иным путем бесконечных систем уравнений относительно этих коэффициентов. Если граничные поверхности имеют геометрические сингулярности, например острые ребра, то из условия 5 следует условие на ребре в форме Мейкснера [54, 121]. Последнее обычно применяют при рассмотрении различных математических особенностей полученного решения и анализа рассеянного поля вблизи ребер структуры. Из условия 5 следует, что в окрестности ребра ни [c.15]

Дальнейшее исследование распространения интерференции и дифракции волн в упругих слоистых и неоднородных средах было проведено Г. И. Пет-рашенем Н. В. Зволинским и В. И. Кейлис-Бороком. Теорему существования и единственности решения для динамических задач теории упругости доказал В. Д. Купрадзе. Этот и другие результаты по обобщению метода потенциала изложены в его монографии. Следует выделить также работу [c.260]

Растяжение вдоль оси С должно быть локализовано вблизи линии = О, так что один период линии С в плоскости х, у) должен переходить в отрезок такой же длины линии / — 0. При (20.18а), очевидно, dW/dZ будет стремиться к единице, и, согласно (20.16), волновое уравнение сохранится при t a и в координатах (/, т). Вещественное число Ь само находится из этого преобразования. Оно является единственной характеристикой мелкопериодической гофры на расстояниях, больших по сравнению с периодом. Любая задача дифракции на гофре (при -поляризации) заменой переменных (20.12) сводится к решению волнового уравнения в переменных (/, т) с граничным условием м = О (20.5) на прямой / = 0. [c.206]

Теперь рассмотрим, как связаны между собой решения исходной и обобщенной задач. Непосредственно из соотношений (1.11)-(1.14) следует, что если ииа 1 (П) - решение исходной дифференциальной задачи, то оно будет удовлетворять равенству (1.15). Поэтому ввиду единственности обобщенного решения оно будет совпадать с ним. Обратное утверждение верно только при определенных условиж гладкости исходных данных и самого решения. В самом деле, для того чтобы в операторной формулировке (1.6) все выражения имели смысл, необходима дифференцируемость выражений ац Ъ Ы. Она достигается, например, при дифференцируемости а1 и достаточной гладкости и. В обобщенной же формулировке нет необходимости предполагать дифференцируемость коэффициентов ац и вьфаже-ний Эу и. Это весьма важно в задачах дифракции, в которых коэффициенты могут иметь разрьты первого рода. Они получаются из-за того, что среда состоит из двух или нескольких разнородных по своим физическим характеристикам материалов. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...