Случай марковского процесса

СЛУЧАЙ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [c.172]

Математическое моделирование акустической эмиссии на основе теории марковских процессов [46] позволяет описать наблюдающиеся закономерности изменения интенсивности АЭ со временем, в частности их немонотонный характер. Пуассоновский поток АЭ-событий рассматривался как частный случай марковского процесса, порожденного рождением и гибелью структурных эле -ментов материала в объеме или на поверхности твердого тела (дислокации, двойника, пятна контакта поверхностей при их взаимном трении и других). При определенных значениях параметров рассмотренной модели расчетные зависимости изменения скорости счета со временем соответствуют наблюдаемым при пластическом деформировании материалов, в процессе приработки поверхностей трения, при некоторых видах коррозии. В частности объяснено появление максимума на зависимости М(т), наблюдавшегося во многих случаях после начала процесса или скачкообразного изменения его интенсивности. [c.184]

Последний наиболее простой случай практически не имеет места, за исключением весьма редких случаев. Обычно для речного стока приходится представлять сток в виде сложного марковского процесса. Однако часто при построении диспетчерских графиков ГЭС оказывается допустимым рассматривать речной сток в виде простого марковского процесса. [c.90]

Система уравнений (3.39) описывает трехмерный Марковский процесс. Второе уравнение Колмогорова для этого случая имеет вид [c.88]

Стохастические дифференциальные уравнения (3.6) описывают эволюцию компонент двумерного марковского процесса. Совместная плотность вероятности р (Xi, х ) для стационарного случая подчиняется прямому уравнению Колмогорова [c.59]

Основные понятия одномерного марковского процесса можно обобщить для случая многомерных процессов. Многомерный процесс является марковским, если закон распределе- [c.144]

Система уравнений (5.216) описывает трехмерный марковский процесс. Второе уравнение Колмогорова для этого случая, считая, что имеют место стационарные колебания массы т (частный случай уравнения (4.88)), можно записать в виде [c.229]

Если коэффициенты о,- линейно зависят от j,-, а b j — постоянные, то решение уравнений типа (5.217) можно получить в аналитической форме. Метод решения уравнений многомерных марковских процессов для случая, когда [c.230]

Следующий по своей простоте случай имеет фундаментальное значение для статистической физики он называется марковским процессом. Теперь вся информация содержится в двух первых функциях Wi и Чтобы точно охарактеризовать этот процесс, удобно ввести представление о вероятности перехода Щ у21 h I У1 h)i определив ее соотношением [c.18]

Функции Крылова 294—297 --марковских процессов — Методы 516, 517, 540—544 — Уравнение Понтрягина 543, 544 — Уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова 540— 542 — Уравнение Фоккера— Планка — Колмогорова для механических систем 542, 543 Теория оболочек — Применение 495 — Уравнения для динамического случая 418—421, 448, 454 — Уравнения упрощенные 424, 425 [c.566]

Впервые теория марковских процессов в проблеме устойчивости оболочек была применена в [8]. Дальнейшее развитие см. в [9, И]. В этих работах была дана классификация случайных факторов, воздействующих на оболочку, и дан способ их одновременного учета с помощью теоремы о полной вероятности. Автор ограничился предположением о марковости обобщенных координат, что в широком классе задач оказывается достаточным для анализа проблемы устойчивости. Стремясь обосновать критерий уровня потенциальной энергии как основу построения статистической теории устойчивости, автор [8—11] рассмотрел случай б-коррелирован-ной по времени и пространственным координатам нагрузки (формула (38.23)). В. М. Гончаренко перенес рассмотрение на общий случай [12—16], когда марковским процессом считаются и обобщенные скорости и координаты. Кроме того, им изучен общий случай, когда внешняя нагрузка не б-коррелирована по пространственным переменным. В связи с рассматриваемым кругом вопросов В. М. Гончаренко перешел к рассмотрению распределений в пространствах С. Л. Соболева [17, 18]. Ряд задач рассмотрен в [3, 4, 6, 7, 19, 20]. К настоящему времени выполнено большое количество работ, в которых теория марковских процессов используется для изучения накопления усталостных повреждений в обо-23 [c.347]

Частным важным случаем непрерывных процессов является случай, когда все коэффициенты уравнения (4.27), начиная с третьего, равны нулю. Марковские процессы, обладающие этим свойством, называются диффузионными процессами. В этом случае уравнения (4.27), (4.29) упрощаются и принимают вид [c.36]

Рассмотрим теперь одномерный дискретно-непрерывный марковский процесс. Здесь может быть два случая — чисто разрывного (скачкообразного) процесса и процесса, имеющего помимо скачкообразного также непрерывное изменение. В случае скачкообразных процессов случайный процесс 2 ( ) характеризуется двумя функциями д (г, t) и и (г, г, 1) такими, что за малый промежуток времени ( , t + М) процесс с вероятностью 1 — д (г, 1)М сохранит свое прежнее значение и с вероятностью и (г, 2, Аг переходит из г в г", где г < 2" < г + Аг. При этом, конечно, имеет место условие нормировки [c.36]

Б состоянии а. Все такие реализации, очевидно, проходят в момент т через промежуточные состояния т], и суммирование по всем т] перебирает все реализации. Частным случаем уравнения (2.13) является уравнение Смолуховского, справедливое для класса марковских процессов (см. ниже). [c.21]

Рассмотрим случай, когда случайный процесс a(t) представляет сумму независимых марковских процессов af (t) телеграфного типа [c.56]

Определим динамику средних <х(0>, опираясь на аппарат формул дифференцирования кумулянтных средних. Начнем со случая, когда а (1) — гауссовский марковский процесс с <а> = О и корреляцией < а 1 )а у = а ехр —г] — г ]. При непосредственном усреднении (8.29) получаем [c.125]

Усредняя (9.25) в рамках диффузионного приближения, будем, как и в 2, под a(i) понимать предельный в смысле (9.11) случай Гауссовского марковского процесса. [c.140]

Оптимизация формы колонны при скачкообразной случайной скорости возведения. Рассмотрим случай, когда имеются два режима возведения — возведение с постоянной скоростью Ко Ц отсутствие возведения (возведение с нулевой скоростью). Переход с одного режима возведения на другой происходит в случайные моменты времени. Скорость и I) считается марковским скачкообразным процессом с параметрами и %1, характеризующими экспоненциальное распределение интервалов времени, в течение которых скорость возведения V (t) равна нулю и соответственно. При этом Яо и есть средние значения (математические ожидания) длин этих интервалов. [c.169]

Этот случай исследован достаточно подробно. Для компонент процесса х xi, х вводится совместная плотность вероятности Р (хъ О- Так как система (5.7), (5.8) определяет случайный процесс марковского типа, то плотность вероятности р должна удовлетворять прямому уравнению Колмогорова [39, 40] [c.137]

Марковская форма интеграла столкновений. Поскольку квазиравновесный статистический оператор Qq t ) зависит от средних значений РтУ интеграл столкновений в кинетическом уравнении (4.1.19) включает эффекты памяти. Покажем, что его можно представить в марковской форме, более удобной для конкретных приложений. Здесь мы ограничимся случаем, когда основная часть гамильтониана Я не зависит от времени. Обсуждение общего случая отложим до параграфа 4.4, где будут рассматриваться процессы в переменных внешних полях. [c.252]

Допустим, что мы отмечаем не только сам факт изменения текущего состояния квазислучайного процесса — скажем, было а,-, стало aj, — но что этот переход из Ot в а, может происходить как бы несколькими способами, которые мы различаем. Такая ситуация описывается с помощью матрицы 8= bij), в которой bij равно числу различных способов перехода из а< в а ее (ситуацию и матрицу) можно отобразить также с помощью ориентированного (мульти) графа с вершинами Оь. .,, Оп, в котором из ai в aj ведет Ьц ребер. Состоянию ДС (которая по-прежнему называется топологической марковской цепью) по-прежнему соответствует бесконечный путь в графе, идущий по ориентированным ребрам отличие от предыдущего случая состоит в том, что теперь этот путь не определяется заданием одних только вершин х , проходимых при движении по этому пути, а надо указывать также и проходимые ребра. Чисто символическая формализация сказанного очевидна. [c.161]

Следует заметить, что если ограничиться рассмотрением лишь предельного случая кинематического сужения линии, то можно определить общие закономерности, не делая специальных предположений о гауссовом или марковском характере возмущения. Автор считает нужным подчеркнуть это обстоятельство, так как в наших рассуждениях затрагиваются вопросы, которые имеют много общего с другими проблемами теории необратимых процессов, а также с квантовомеханическим рассмотрением рассеяния или проблемы многих тел, хотя обычно к ним не подходят с этой точки зрения. [c.406]

На основе марковских процессов можно решить задачу, связанную с достижением границ. Ограничимся одномерным случаем. Обозначим через М среднее время (тдо ) достижения границы Si или S процессом л (t). Тогда М определяем из уравнения Л. С. Понтрягнна [c.164]

В более общем случае [х (t) ф / (х, является марковским процессом с условно независимой однородной второй компонентой при фиксированных значениях первой компоненты [3, 66]. Обозначим через Т It, т, j ,] множество выборочных функций процесса х (t), для которых л с х,- при с и с т. Будем предполагать, что вероятность этого множества при любом начальном значении л (to) положительна. Это условие выполняется для случая, когда л (t) стохастически непрерывен и все состояния сообщаются. Процесс (fhi х, t) имеет условно независимые при фиксированном уровне Xi приращения, распределения которых зависят от Xi- Обозначим через ао (ф г) условную характеристическую функцию процесса ф при заданной первой компоненте Xi и рассмотрим функционал ао (ф вдоль выборочной траектории х (t) из множества Т [t, т, л , ]. Так как процесс л t) марковский, то переход от состояния Xj i к Xi приводит к следующему описанию процесса ф . [c.282]

Все ранее рассмотренные рекомендации по расчету диспетчерского графика при сложном марковском процессе, по учету стокообразующих факторов и т. п. распространяются и на случай вероятностного задания гидропрогноза. [c.104]

На основе марковских процессов можно решить задачу, связанную с достижением границ. Ограничимся одномерным случаем. Обозначим через М среднее время <Гдсст> достижения границы 1 или 5 процессом х((). Тогда М определяется из уравнения А. С. Понтрягина [1] [c.36]

Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовскими флуктуациями параметров, используемый метод приводит к приближению марковского случайного процесса соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Эйнштейна — Фоккера. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частнь[х производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Эйнштейна — Фоккера в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи, в связи с чем он может быть назван приближением диффузионного случайного процесса. Для динамических систем с не-гаусровскими флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к приближению марковского процесса. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими пуассоновский характер, получаются интегро-диффе-ренциальные уравнения типа уравнения Колмогорова — Феллера. [c.6]

Уравнение (3.13 ) является частным случаем уравнений для дискретных марковских процессов и частным случаем уравнений типа Колмогорова — Феллера (см. 4 данной главы). [c.23]

Интегральные уравнения (4.9) и (4.10) позволяют получать дифференциальные (или интегро-дифференциальные) уравнения для простейших марковских процессов. Мы не будем заниматься их выводом (вывод их содержится в многочисленной учебной литературе по теории случайных процессов и ее применениям к различным физическим задачам — см., например, [35, 38, 391), а приведем лишь классификацию простейших марковских процессов и основные уравнения, следуя книге [39]. Учитывая, что переменная 2 может меняться дискретным или непрерывным образом, а также что и сама случайная функция может меняться как непрерывным, так и дискретным образом, получаем четыре возможных случая 1) дискретные процессы с дискретным временем, 2) непрерывные процессы с дискретным временем, 3) дискретные процессы с непрерывным временелм, 4) непрерывные процессы с непрерывным временем. Кроме того, выделяется еще один тип случайных марковских процессов, так называемых 5) дискретно не-прерывных процессов, у которых при непрерывном изменении i в некоторые моменты времени имеются скачки (дискретные или непрерывные), а в промежутке между скачками процесс ведет себя как непрерывный случайный процесс. [c.32]

Рассмотрим теперь случай непрерывных марковских процессов. В этом случае следствием уравнения Смолуховского (4.9) явл.чется следующее операторное уравнение для плотности вероятностей перехода р (г, t Zo, о) (см. [39]) [c.35]

Полагая в (4.59) ТУ = 1, мы возвращ,аемся к случаю одного телеграфного процесса, и формула (4.59) переходит в (4.33). Полагая теперь <2 > = и переходя к пределу N - оа, получаем вершинную функцию для гауссовского марковского процесса в виде бесконечного ряда [c.152]

Результаты д.ля случая, когда флуктуирующими параметрами являются гауссовские марковские процессы пли функции от них, можно получить, исходя из предельной теоремы о переходе суммы независимых те.чеграфных процессов с увеличением числа членов в гауссовский дгарковский процесс. [c.330]

Не распсшагая каким-либо общим аппаратом, из которого можно было бы как в частном случае получить необходимые функции распределения, нам пришлось, исходя из самых общих соображений, последовательно сужая класс рассматриваемых процессов и накладывая все большее число дополнительных условий на систему, прийти к замкнутому формализму, описываюшему гауссовый марковский случайный процесс. Это, конечно, весьма частный случай случайного процесса, но физические основания принять эти офаничения были — мы их заимствовали из гл. 2. Может быть, экономнее было бы просто декларировать необходимые конструкции для функции распределения или уравнения для них, но такой метод построения теории (который можно оправдать только с практической точки зрения, но никак не с методической и научной) не выявил бы физических условий применимости аппарата. [c.159]

Это выражение состоит из трех членов, причем два первых не зависят от начальных значений Для простоты мы рассмотрим относительные порядки величин различных частей лишь для случая одной переменной а. Предположим снова, что первоначально 72 есть величина порядка lO ft—10 , как было принято раньше. Тогда логарифмический член, который первоначально был бесконечным, будет иметь величину порядка 10 — 10 /fe по истечении интервала времени порядка Ю —10 Ж , что значительно меньше времени макроскопической релаксации Для столь малых интервалов времени вся теория гауссовых марковских процессов теряет свой смысл. Таким образом, по истечении указанного времени логарифмическим членом можно пренебречь по сравнению с величиной Вторым членом в (178) можно пренебречь для любого момента времени. Так же обстоит дело и в случае нескольких переменных. Следовательно, для макроско- [c.210]

Сравнение со стохастической теорией легче всего провести, рассматривая броуновское движение осциллятора, как это сделал Мазур [5] для слабого взаимодействия. Уравнения движения для приведенной функции распределения в случае броуновского движения осциллятора в системе со слабым взаимодействием суть уравнения Фоккера — Планка, описывающие в пространстве переменных X и V гауссов марковский процесс. Эти уравнения находятся в полном согласии с результатами стохастической теории для сильно затухающего осциллятора, что не удивительно, так как и те и другие соответствуют одному и тому же предельному случаю, когда характеристические молекулярные времена значительно меньще времени релаксации, т. е. когда [c.297]

Задача, которую нам предстоит решить с помощью схемы марковской цепи, в практическом плане выглядит следующим образом. Для вычисления вероятности брака и ожидаемых затрат на настройку необходимо знать, каким будет распределение а (u J входного отклонения после многочисленных повторений межпроверочных промежутков при условии, что настройки производятся только при нарушении границ регулирования, а исходная наладка выполнена в отдаленном прошлом. Ответ на этот вопрос легко получить, не прибегая к итерационному процессу (аналогично вычислениям в пп. 5.1, 5.3) или к статистическому моделированию (метод Монте-Карло), а воспользовавшись описанными ниже способами. В зависимости от особенностей матрицы перехода эти способы рассмотрены применительно к четырем случаям. Случай 1 описан ниже. Случаи 2 и 3 — в п. 5.5, а 4 — в п.5.6. [c.110]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера—Планка в случае переменных структурных чисел Оно справедливо, если время корреляции т ор много меньше постоянных времени системы и если не учитывать интервалы времени порядка времени корреляции, другими словами, если можно считать случайную функцию х (i) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова. Оценка членов уравнения (3.51) для s > 3 произведена Р. Л. Стратоно-вичем в работе [81 ], где показано, что если время корреляции процесса внешних возмущений мало по сравнению с временем переходного процесса в системе, то можно использовать обычное уравнение ФПК, параметры которого зависят от интегральных характеристик корреляционных функций внешних возмущений, так как при t > т ор важными являются не корреляционные функции, а их интегральные характеристики. [c.164]

В интегральной технике решается широкий круг задач обработки сигнала, подразделяемых на группы, для каждой из к-рых может быть синтезирована типовая оптимальная структура тракта. Структурный синтез оптимального Р. у. разработан в оси. для случая воздействия аддитивных широкополосных шумовых помех гауссового или марковского типа, что характерно, в частности, для диапазонов метровых, дециметровых и сантиметровых волн в отсутствие искусств, помех. Первая группа задач — оценка (фильтрация) непрерывного сообщения, существенно изменяющегося на интервале наблюдения. При приёме модулиров. колебаний процесс фильтрации сообщения эквивалентен процессу демодуляции. Этот круг задач решается с использованием оптимальных линейных фильтров, а сложных частотных и фазовых демодуляторов. Вторая 233 [c.233]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение ...Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера — Планка в случае переменных структурных чисел [Кв — структурные числа). Оно справедливо, если время корреляции Хкор много меньше постоянных времени системы и если не интересоваться интервалами времени порядка времени корреляции другими словами, если можно считать случайную функцию х 1) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова... . Оценка [c.35]

О < р < ОО соответствуют случаю частичного поглощения и частичного отражения примеси на границе. В последние годы в исследованиях В. Феллера, А. Д. Вентцеля и других авторов по общей теории марковских случайных процессов были изучены также и более общие (в определенном смысле—наиболее общие) граничные условия, допускающие возможность временной остановки примеси в момент достижения границы и ее диффузии вдоль границы (см., например, Дынкин (1963)). Поскольку, однако, эффекты такого рода вряд ли могут иметь реальное значение при распространении примесей то на соответствующих граничных условиях (которые также линейны) мы не будем задерживаться. В случае неограниченного по ка-ким-то направлениям потока краевые условия на бесконечности обычно берутся в виде требования О- О, т. е. опять же имеют вид (10.2) (с /(i)=0 и р = оо). Мгновенные источники примеси, очевидно, описываются заданием определенных начальных условий для поля непрерывно, же действующим источникам соответствуют неоднороднее краевые условия вида (10.2) с f t) Ф О (подробйёе эти условия для различных типов источников будут рассмотрены ниже). [c.508]

Как мы видели в предыдущем параграфе, марковский случайный процесс может быть описан с помощью функций распределения ( ) и Рг, причем для условной вероятности Рг мы сформулировали процедуру ее расчета, например, с помощью уравнения Фоккера—Планка. Для функции щ)1( ) такой процедуры нет, поэтому вопрос о виде распределения >[(0 остается одним из основных в теории случайных процессов. В отличие от статистической механики равновесных систем у нас нет какого-то общего (или исходного) выражения для VI (в равновесной статистической механике таким распределением является распределение Шббса). Наиболее распространенный выбор функции То ( ) — это гауссово распределение. Для такого выбора, как мы убедились на материале гл. 1 и 2, имеются достаточно убедительные физические основания, но есть и чисто формальные обстоятельства, связанные с реализацией этого распределения. Рассмотрим этот вопрос на примере простейшего случая. [c.145]

Рассматриваемые процессы принадлежат к числу марковских скачкообразных процессов. Кинетическое уравнение для них является частным случаем уравнения Колмогорова — Феллера (2.18) и имеет вид [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...