Уравнение Смолуховского

Важную роль в теории брауновского движения играет уравнение Смолуховского, или, как его называют математики, уравнение Чепмена—Колмогорова. [c.66]

Подставляя представление (5.28) в уравнение Смолуховского, т пределе At- 0 находим [c.67]

В предыдущей главе мы вывели уравнение Фоккера—Планка, исходя из физических предположений. Покажем, что это уравнение является следствием уравнения Смолуховского (при выполнении ряда перечисленных ниже условий). [c.68]

Выведем с учетом приведенных выше условий из уравнения Смолуховского (5.27) уравнение Фоккера—Планка. Для этого умножим уравнение (5.27) на 1/А( и достаточно гладкую финитную вспомогательную функцию а х), представив ее в виде ряда Тэйлора, и проинтегрируем уравнение по х [c.68]

Как было показано в предыдущем параграфе, все конечномерные плотности вероятности марковских процессов выражаются соотношениями (5.25) через эти две функции, что и определяет важную роль, которую играют уравнения Смолуховского (Чепмена—Колмогорова) и Фоккера—Планка (Колмогорова). [c.71]

Заметим, что вводя обозначение я (у, t x, и)=Р< у, 1 х, (2) х), уравнение Смолуховского (5.118) можно переписать как [c.84]

Уравнение (4.9) в математической литературе называют уравнением Чепмена—Колмогорова, в литературе по физике — уравнением Смолуховского, который получил его при исследовании броуновского движения частицы. Уравнение (4.9) накладывает весьма жесткие ограничения на вид условной плотности вероятности перехода, а именно, интегрирование по z должно привести к исключению z, причем вид функции / должен остаться неизменным. [c.126]

Для многомерных процессов уравнение Смолуховского имеет вид [c.145]

Это важное интегральное уравнение, которому подчиняется вероятность перехода, часто рассматривается как определение марковского процесса. Оно называется уравнением Чепмена — Колмогорова (или иногда уравнением Смолуховского). Физическая интерпретация этого уравнения очевидна. Можно вычислить вероятность перехода от значения ух в момент к значению у а в момент Ц, если взять произведение вероятности перехода к некоторов у значению у2 любой промежуточный момент на вероятность перехода от этого значения к конечному значению в момент fg, и просуммировать по всем допустимым промежуточным значениям у . [c.19]

Таким образом, все статистические характеристики марковского процесса 2 ( 5) описываются всего двумя функциями — плотностью вероятностей перехода р (2, 2д, о) и одноточечной плотностью вероятностей Р (2). При этом величина р (2, t 2о, <о), как функция своих аргументов, удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению, называемому уравнением Смолуховского (или уравнением Колмогорова — Чепмена). Для его вывода заметим, что если процесс 2 ( ) принимает значение в фиксированные моменты времени о < 1(1 < соответственно я (1 ) = 2о, 2 1- = 21, 2 ( ) = 2, то имеет место условие согласованности [c.31]

Исходя из уравнения Смолуховского (4.9), легко показать, используя (4.13), что вероятность Pi t, to) удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений [c.33]

Уравнение Смолуховского — это нелинейное интефальное уравнение. Теоремы единственности в том виде, к которому мы привыкли, исследуя задачи, сводимые к линейным дифференциальным уравнениям различных типов, для этого уравнения не сушествует. Наоборот, оно имеет массу решений совершенно нефизического характера. [c.92]

Воспользовавшись уравнением Смолуховского и обозначив промежуточное положение частицы в момент времени t как х, получим, вынося функцию р(хо х,1), [c.93]

Уравнение Смолуховского, уравнение кинетического баланса и уравнение Фоккера—Планка [c.106]

Подставим эту формулу в уравнение Смолуховского (см. гл. 2, 2) [c.106]

Это есть не что иное, как уравнение Смолуховского (или Чепмена—Колмогорова— Смолуховского), которое мы рассматривали в 2 предыдушей главы. Восстанавливая временные аргументы, имеем [c.145]

В предыдушей главе мы показали, что физический интерес представляют решения, соответствующие конечным скоростям изменения первого и второго моментов функции Р2 и равным нулю скоростям изменения всех высших моментов этой функции. В этом случае уравнение Смолуховского сводится к линейному дифференциальному уравнению параболического типа, называемому уравнением Фоккера— Планка, которое при соответствующих заданных начальных и граничных условиях имеет единственное решение. [c.145]

Пусть частица движется вдоль оси х таким образом, что в течение каждого интервала времени х она может с равной вероятностью сместиться иа отрезки - -а или —а. При этом вероятность того, что частица, начавшая свое движение из точки ха, через время 1 = пх достигнет точки уа, определяется уравнением Смолуховского [c.403]

Найти Рп х I у) путем решения уравнения Смолуховского. В частности, рассмотреть асимптотическую форму решения при очень больших п. [Указание. Ввести величину [c.403]

Это уравнение представляет собой точное соотношение между стационарной и нестационарной плотностями вероятности. Плотность условной вероятности Р(а i я i-f-T ) связана с распределением р(г , р t) в фазовом пространстве, которое непостоянно в области (я, я - -йя ) и которое возникло из первоначального распределения р(г , р 0). Предположим теперь, что нестационарную плотность условной вероятности Р(я i я i + x) в соотношении (136) можно заменить стационарной плотностью условной вероятности Р(я я т) тогда это уравнение переходит в так называемое уравнение Смолуховского [c.203]

Принимая во внимание уравнение Смолуховского (137) и соотношения (138) — (140), можно показать теперь, что плотность условной вероятности Р(Яо я t) должна удовлетворять следующему уравнению в частных производных ) [c.204]

Б состоянии а. Все такие реализации, очевидно, проходят в момент т через промежуточные состояния т], и суммирование по всем т] перебирает все реализации. Частным случаем уравнения (2.13) является уравнение Смолуховского, справедливое для класса марковских процессов (см. ниже). [c.21]

В соответствии с этим уравнение Смолуховского принимает вид Р х , /, хз, tз) = P2iXv ( )Р2(х , /Дхз, iз)dV (5.118) с условием нормировки [c.84]

Рассмотрим винеровский случайный процесс (см. 18), описывающий, пока для простоты, одномерное брауновское движение свободной частицы (многомерное обобщение этого подхода очевидно). Мы уже знаем, что условия и безусловная плотности вероятности удовлетворяют уравнениям Смолуховского (5.27) и Фоккера—Планка (5.39) (в данном случае — уравнению диффузии (5.47)), и нашли их решение (5.48). Обсудим, каким образом можно определить вероятность тех или иных траекторий х 1) бра-уновской частицы, начинающихся при =0 в точке хо. Для этого прежде всего разделим временной интервал (0, ) на п частей (например, равных At=t n) t =jAt и введем для каждого момента пространственные интервалы (aj, 6 ,). Теперь разобьем множество возможных траекторий частицы в зависимости от того, проходят ли они через эти ворота (или окна ) а <Х]<Ь , где, как и раньше, Xj = x(tj) (рис. 9). Вероятность реализации такого множества траекторий можно найти, интегрируя условную плотность вероятности [c.90]

При выводе этой формулы не рассматривался подробно вопрос о выполнении глобального условия сохранения объема суспензии. Напротив, уравнение типа уравнения Смолуховского использовалось в основном таким же образом, как и в предыдущей главе, без рассмотрения вопросов, связанных с возвратным течением . Симха [48] установил, что если принять во внимание объем, занимаемый частицами, то значение последнего члена в формуле (9.3.11) уменьшится и станет равным 12,6 ф . Дальнейшие попытки строго определить коэффициент при в формуле (9.3.11) привели Саито [43] к заключению, что из-за наличия неопределенного интеграла в методе Эйнштейна уравнения медленного течения вообще неприменимы к данной задаче. Он высказал мысль, что затруднение проистекает из-за пренебрежения инерционными членами в уравнениях медленного течения, и выдвинул трактовку, в основе которой лежат уравнения Озеена последние, к сожалению, применительно к данной ситуации до сих пор не решены. При дальнейшем обсуждении проблемы Муни [36] сделал вывод, что инерционные члены не играют роли, а затруднение вызвано неясной постановкой соответствующей краевой задачи. Этот вывод разделяется и в данной книге. [c.515]

Пусть значение стохастич. неременной х (() может измеряться через сколь угодно малые промежутки времени (( — непрерывный параметр). Тогда о процессе х ( ) говорят 1 ак о марковском (плп как о цепи Маркова), если монаю ввести веронт-ность перехода у (/о, ж /, ж) йх из состояния Хо = х ((о) в состояние х, расположенное между ж и ж + йх к моменту (, к-рая полностью определяется заданием нач. состояния х в любой момент (о и пе. зависит от предыстории процесса. Плотность вероятности перехода w (( , ж /, ж) для непрерывной цепп Маркова удовлетворяет рштегральпому уравнению Смолуховского [c.436]

Рассмотрим теперь случай непрерывных марковских процессов. В этом случае следствием уравнения Смолуховского (4.9) явл.чется следующее операторное уравнение для плотности вероятностей перехода р (г, t Zo, о) (см. [39]) [c.35]

Для такого процесса следствием уравнения Смолуховского (4.9) является интегро-дифференциальное уравнение, называемое уравнением Колмогорова — Феллера [c.36]

Это уравнение в физической литературе обычно называют уравнением Смолуховского (М. von Smolan-Smolu howski, 1906) (более точно уравнение Чепмена—Колмогорова—Смолуховского, работы Чепмена (S. hapman) и А. Н. Колмогорова — 1928-1931). [c.92]

Задача 8. Предполагая, что условную вероятноаь р(х х, At) при At О можно предаавить в виде двух слагаемых А6(х - х ) + AtW(x х), характеризующих вероятноаь чааице остаться через At в точке х и вероятность перейти за At в точку х (величина W(x х) является скоростью этого перехода), вывести из уравнения Смолуховского уравнение кинетического баланса и сформулировать принцип детального равновесия при t оо. [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...