Система уравнений в форме Гамильтона

Л. Система уравнений в форме Гамильтона [c.295]

При выводе системы уравнений в форме Гамильтона мы использовали фактически преобразование Лежандра при следующем соответствии обозначений [c.300]

Теорема. Гамильтониан автономной задачи является первым интегралом соответствующей системы уравнений в форме Гамильтона. [c.301]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

Использование известного интеграла. В 21.2 мы видели, что известный интеграл можно использовать для понижения порядка системы уравнений, т. е. первоначальную систему уравнений можно заменить другой, с числом зависимых переменных на единицу меньше. Если первоначальная система уравнений имеет гамильтонову форму, то можно не только понизить порядок системы, но также и сохранить гамильтонову форму уравнений. Точнее, 2 (и — 1) уравнений новой системы будут иметь форму Гамильтона, а одно уравнение — не будет. [c.435]

Примечание 1. Уравнения (а) и (Ь) п. 379 обычно называют уравнениями движения свободной системы в форме Гамильтона. [c.536]

Это — уравнения движения в форме Гамильтона их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона — чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут иметь место уравнения Гамильтона в [c.129]

Этот поразительный результат легко доказать ), исходя из уравнений движения в форме Гамильтона ( 47) для системы с N степенями свободы, имеющей гамильтонову функцию вида [c.160]

Но мы могли потребовать большего. Мы можем стремиться не только к пониманию математической структуры некоторой отдельной динамической проблемы, но к пониманию математической структуры класса проблем столь широкого, что в конце концов мы можем считать всю динамику находящейся в поле нашего зрения. Мы будем рассматривать те системы, для которых имеют место уравнения движения в форме Лагранжа или в форме Гамильтона этот класс и в самом деле включает очень широкий круг проблем. [c.197]

Метод усреднения, или метод Ван-дер-Поля, рассмотрим в форме, предложенной Б. В. Булгаковым. Он исследует вынужденные колебания нелинейной системы, уравнения движения которой в форме Гамильтона имеют вид [c.205]

Рассмотрим движение системы материальных точек с голономными, нестационарными связями в консервативном поле сил. Уравнение движения такой системы можно записать в форме Гамильтона [c.60]

Постановка задачи. Получить уравнения движения в форме Гамильтона для консервативной механической системы с одной степенью свободы. [c.326]

Пример 1. Получить уравнения движения в форме Гамильтона для консервативной механической системы с одной степенью свободы. Система состоит из невесомого стержня АВ длиной 2а и однородного цилиндра массой т радиусом К. Под действием вертикальной силы Р стержень скользит по гладкой горизонтальной плоскости, вращая цилиндр. Между стержнем и цилиндром проскальзывание отсутствует. Сила Р приложена к центру стержня, весом стержня пренебречь (рис. 169). [c.327]

Пример 2. Вывести уравнения движения консервативной механической системы с одной степенью свободы в форме Гамильтона. Система представляет собой планетарный механизм, расположенный в вертикальной плоскости (рис. 171). К сателлитам 1 и 2, закрепленным на водиле О А длиной 6rj , приложены моменты и [c.329]

Условия ЗАДАЧ. Получить уравнения движения в форме Гамильтона для консервативной механической системы с одной степенью свободы. В качестве обобщенной координаты взять угол ip задачи [c.332]

Пример. Уравнения равновесия нити в форме Гамильтона в декартовой системе координат. Для прямоугольной декартовой системы координат имеем [c.38]

Можно было бы возразить, что классическая статистическая механика, следствием которой является теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, неприменима к системам с бесконечным числом степеней свободы. Но такое возражение неубедительно. В основе классической статистической механики лежат уравнения классической механики в форме Гамильтона (1805—1865). Хотя они и были установлены для механических систем с конечным числом степеней свободы, но можно показать, что излучение в полости можно описывать бесконечным, но счетным числом обобщенных координат, также подчиняющихся уравнениям Гамильтона. Следовательно, и вся система, состоящая из-вещества и излучения, будет описываться уравнениями Гамильтона. [c.697]

Легко видеть, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям движения в форме Гамильтона (если бы мы написали их в виде производных не по Ж , а по I, то сразу бы получили систему гамильтоновых уравнений в стандартной форме). Решение системы первых вЫ - 1 уравнений (речь идет сейчас не о практическом [c.26]

Как известно из механики, дифференциальные уравнения движения любой механической консервативной системы могут быть записаны в форме Гамильтона [c.166]

В силу того, что функция S как полный интеграл уравнения (132) зависит только от < , а и t, равенства (134) определяют конечные соотношения между q, р и t, зависящие от 2п констант сб и Ру. Таким образом, равенства (134) задают в неявной форме движение в старых координатах. Они являются, следовательно, интегралами исходной системы уравнений Гамильтона ) [c.324]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

При доказательствах интегральных принципов вводятся частные предположения о свойствах сил, действующих на точки системы, и свойствах связей. Но и здесь были получены из принципов М. В. Остроградского уравнения движения систем с голо-номными связями в форме уравнений Лагранжа второго рода, а из принципа Гамильтона — Остроградского — система канонических уравнений движения. [c.210]

В такой форме записывается уравнение Шредингера не только для частицы во внешнем поле, но и для любой квантовой системы. Только вид оператора Гамильтона и число переменных волновой функции различны в разных случаях. [c.25]

Обобщение принципа Гамильтона на неконсервативные и неголономные системы. Принцип Гамильтона можно обобщить, по крайней мере формально, и на неконсервативные системы при этом мы придем к уравнениям Лагранжа в форме (1.50). Обобщенный таким путем принцип записывается следующим образом [c.51]

Ковариантность уравнений Гамильтона при канонических преобразованиях. Если преобразование (4) является каноническим, то в новых переменных система уравнений (1) снова будет иметь гамильтонову форму. Более точно, имеет место следующее утверждение. [c.343]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Таким образом, функцию ср можно взять в качестве новой функции Гамильтона с 2 п — 1) зависимыми переменными дг, > Чп , Рп и независимой переменной р (роль которой обычно выполняет время t). Новая система уравнений не является автономной, поскольку функция ф содержит новую независимую переменную. Остающимся уравнением является уравнение энергии в форме (22.4.4) или (22.4.5). [c.436]

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если ft есть собственное значение матрицы монодромии, то 1/pi и [х также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель % не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны — к, к и —А,. Если же характеристический показатель % является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен —X. [c.469]

Проинтегрировать эту систему уравнений значит выделить из нее бп отношений между временем t и бп переменными <й, и бп их начальными значениями, которые могут быть обозначены как р,-. Мистер Гамильтон решает проблему в этой более общей форме при помощи той же самой главной функции 5, что и выше, рассматривая ее, однако, как зависящую теперь от новых отметок р и е конечных и начальных положений различных точек системы. Полагая в этом новом обозначении [c.287]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Эта разнородность появляется и в принципе Гамильтона ), когда уравнения связей даны как дифференциальные уравнения в форме (1), причем время в них не входит. Это сделается ясным из примера следующего параграфа. Здесь следует только отметить, что разнородность движений опять-таки исчезает, когда имеются герцевы голономные материальные системы. В этом случае условия могут быть взяты в форме (2) [c.550]

Под динамическими системами в то время понимались в первую очередь консервативные системы, уравнения движения которых записываются в форме Гамильтона. Основным конкретным объектом теории были задачи небесной механики. Изучение земных неконсервативных систем или, как их назвали В. Томсон и П. Г. Тет, искусственных систем , началось позже и пошло в значительной мере по пути изучения аналогий между явлениями разной физической природы и формирования более широкого взгляда на них. Возникновение привычного для нас колебательного подхода в первую очередь следует отнести к заменитому трактату лорда Рейли по теории звука. [c.137]

С молекулярной точки зрения энергия нашей системы равна С5. (ме кинетической н потенциальной анергий всех частиц, иэ ] оторых состоит система. Будем применять к вашей системе законы механики. Воспользуемся при этом уравнениями механики в форме Гамильтона. [c.25]

ЛИТР (франц. litre) (л, 1), единица объёма и ёмкости (вместимости) в метрич. системе мер 1 л=1 дм = =0,001 м =1000 см , т. е. 1000 мл. ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА, теорема механики, утверждающая, что фазовый объём системы, подчиняющейся ур-ниям механики в форме Гамильтона (см. Канонические уравнения механики), остаётся постоянным при движении системы. Теорема установлена франц. учёным Ж. Лиувиллем (J. Liouville) в 1838. [c.349]

Пример. Составить уравнения Гамильтона и проинтегрировать их для системы с одной степенью свободы, для которой кинетическая и потенциальная ЗЕ1сргия выражаются в форме [c.417]

Метод Делоне для разделения переменных в периодических системах. Метод разделения переменных, если он применим, приводит к получению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, необходимого в теории интегрирования Якоби. Полный интеграл уравнения в частных производных первого порядка может принимать множество различных форм. Предположим, что мы имеем какой-то полный интеграл [c.279]

Может случиться, что в новых переменных система уравнений (1) будет иметь более простую структуру и ее интегрирование будет проще интегрирования исходной системы. В новых переменных уравнения движения могут уже не быть гамильтоновыми. Мы, однако, будем далее рассматривать только такие преобразования (4), которые не нарушают гамильтововой формы уравнений движения. Это будут канонические преобразования. Ниже мы дадим определение канонических преобразований, получим критерии каноничности и укажем способ нахождения функции Гамильтона, отвечающей преобразованным уравнениям. [c.338]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...