Использование известного интеграла

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИЗВЕСТНОГО ИНТЕГРАЛА 435 [c.435]

Использование известного интеграла. В 21.2 мы видели, что известный интеграл можно использовать для понижения порядка системы уравнений, т. е. первоначальную систему уравнений можно заменить другой, с числом зависимых переменных на единицу меньше. Если первоначальная система уравнений имеет гамильтонову форму, то можно не только понизить порядок системы, но также и сохранить гамильтонову форму уравнений. Точнее, 2 (и — 1) уравнений новой системы будут иметь форму Гамильтона, а одно уравнение — не будет. [c.435]

Следовательно, при использовании уравнения (Х.67) задача сводится к нахождению хорошо известного интеграла, численное значение которого имеется в любом курсе теории вероятностей. Для облегчения в табл. X. 1 приводятся значения этого интеграла. [c.247]

Прогноз субкритического развития трещины при вязком разрушении во многих случаях, как известно, проводится на основании концепции /д-кривых. Данная концепция весьма формальна и не отражает физической сущности рассматриваемого явления. Так, увеличение сопротивления росту трещины по мере ее развития, выраженное зависимостью Jr AL), связано с неоднозначностью описания НДС у вершины движущейся трещины с помощью /-интеграла реально сопротивление разрушению материала у вершины растущей трещины (критическая деформация е/) остается постоянным. Кроме того, Уд-кривые не инвариантны к схеме нагружения и типу образца, что ставит под сомнение их использование для анализа предельных состояний элементов конструкций с трещинами. [c.266]

Интегрирование уравнения (30) дает угловую скорость г диска в функции от 0, после чего все сводится к определению б в функции от времени, так как, зная 9(/ ), мы сможем найти аналогичное выражение для г, а на основании первого из уравнений (20) и второго из уравнений (29) найдем и выражения для р Vi q с другой стороны, после вычисления р, q г в функциях от времени, второе и третье из уравнений (20) дадут <р (f) и t) посредством двух квадратур. Для определения 9 ( ) можно было бы обратиться к первому из уравнений (19 ), ДО сих пор еще не использованному. Выгоднее, однако, взять в качестве исходного уравнения хорошо известный первый интеграл наших уравнений движения, а именно интеграл живых сил. [c.208]

Три уравнения (К ) в том случае, когда вспомогательная постоянная исключается посредством формулы (Ь ), строго представляют (согласно нашей теории) три конечных интеграла трех известных уравнений второго порядка (М ) для относительного движения бинарной системы (т,- т ) и дают для такой системы три переменные относительные координаты 1, 0 как функции их начальных значений и начальных скоростей а р,, v , а, / , т и времени /. Подобным же образом три уравнения (I ), по исключении посредством (Ь ), представляют собой три промежуточных интеграла этих же известных дифференциальных уравнений движения той же бинарной системы. Эти интегралы перестают быть строгими, когда мы вводим возмущения относительного движения этой частной или бинарной системы (т,/Пп), возникающие вследствие притяжений или отталкиваний других точек т, всей предполагаемой множественной системы. Однако они могут быть исправлены и сделаны строгими путем использования остающейся части У/2 полной характеристической функции относительного движения V вместе с главной частью приближенного значения Уравнения (Х ), (У ) двенадцатого параграфа дают строго [c.227]

В настоящее время ни одна из этих величин не известна с точностью, достаточной для надежного использования в данном методе и получения действительных значений Г , y g и а). Хотя с целью вычисления интеграла уравнения (25) были сделаны некоторые приближения, мы не располагаем экспериментальными данными, которые можно было бы использовать, чтобы подтвердить сделанные предположения. Поэтому необходимы дальнейшие исследования уравнений состояния для конденсации и испарения. [c.67]

С помощью выделения составляющих X игр из известного точного или приближенного аналитического решения исходной системы уравнений (1) и вычисления интеграла (8). Найденные выражения для W в этом наиболее простом случае могут быть полезны, во-первых, для использования при приближенном решении более сложных задач, чем исходная, и, во-вторых, для лучшей интерпретации полученных результатов. Можно также решать систему уравнений (4)—(5) или непосредственно исходную систему (() на ЭВМ, затем вычислять интеграл (8) и аппроксимировать с учетом теории подобия и размерностей соответствующую функцию U7 (X, X, t) подходящим аналитическим выражением (последнюю операцию часто удобно выполнять также с применением ЭВМ). [c.243]

В 1968 г. Дж. Райс в работах [25,26] применил основной интеграл Эшелби как мощный аппарат исследования. Только с этих работ началось на Западе использование /-интеграла в вычислениях. Однако до сих пор, насколько мне известно, ни Райс, ни кто-либо другой из западных аналитиков в этой области не применяют /-интеграл для вычислений непосредственно в особых точках (типа дислокации, конца трещины, точечного включения и т. п.). Даже формулу Ирвина в теории трещин Райс выводит из /-интеграла, предварительно размазав особенность по Дагдейлу (а точнее, как мы хорошо знаем, по Леонову — Панасюку). [c.354]

При дуговой сварке других видов параметры дугового процесса имеют значительную случайную составляющую и выделение информации о положении поверхности изделия существенно усложняется. В ряде случаев для получения приемлемой точности оказывается необходимо применение интеграла измеряемого сигнала и методов, основанных на анализе случайных процессов. Следящие системы для наведения электрода на линию соединения, в которых в качестве датчика используется сварочная дуга, стали интенсивно развиваться только после появления микроэлектронной техники и необходимости создания средств адаптации для сварочных промышленных роботов, применительно к которым преимущества использования сварочной дуги в качестве датчика имеют решающее значение при выборе методов и Технических средств адаптации. В большинстве известных систем рассматриваемого типа для сварки плавящимся электродом в качестве информационного параметра используется сила сварочного тока. При сварке неплавящимся электродом с применением источника питания с крутопадающей характеристикой более информативным параметром оказывается напряжение на дуге. [c.111]

Полезным в этом случае является использование интеграла Кристоффеля — Шварца. В своей работе эти авторы показали, что любая область, ограниченная замкнутым контуром многоугольника, в плоскости г может быть конформно отображена в положительной полуплоскости если для всех вершин многоугольника известны координаты аь й2. .. (рис. 13.15) на вещественной оси полуплоскости соответственно вершинам указанного многоугольника I, 2, 3, 4, п. [c.274]

Основываясь на теореме Якоби, можно применять следующий метод решения задач о движении механических систем с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями. Этот метод заключается в составлении уравнения Гамильтона — Якоби по известной функции Гамильтона и в отыскании полного интеграла этого уравнения с последующим использованием соотношений (9.75). [c.405]

То, что мы показали на примере облучения препятствия сферической волной, остается справедливым и для более общих лучевых полей. Это легко доказать непосредственным вычислением интеграла Гельмгольца — Кирхгофа [27] с использованием хорошо известных формул [24, 28]. [c.394]

Часто оказывается, что интеграл в формуле обращения не выражается в замкнутом виде через известные функции или точный результат мало пригоден для использования (вычисление значений искомой функции требует слишком большого числа действий). Здесь существенную помощь могут оказать асимптотические методы, широко применяемые для исследования функций, заданных определенными интегралами, и во многих других случаях. [c.108]

Формулы Гюйгенса для трехмерной области. Использование интеграла Кирхгофа (3.7) или (3.18) для практических расчетов поля затрудняется тем обстоятельством, что на излучающей поверхности обычно известна лишь одна из величин Ф [c.26]

Как уже указывалось, на поверхности никогда заранее не известны одновременно и звуковое давление, и колебательная скорость. В этом состоит основная трудность, которая встречается при использовании интеграла Кирхгофа для расчета звуковых полей. Необходимость вычислять величину потенциала на поверхности по заданной колебательной скорости приводит к появлению интегрального уравнения, решение которого связано с определенными вычислительными трудностями. В случае, если излучателем является бесконечная плоскость, интеграл Гюйгенса сразу дает простое решение. Если же колебательная скорость задана лишь на огра- [c.47]

Подбирается функционал, экстремальным значением которого является исследуемая величина. Этот функционал может содержать интегралы от функции (или ее квадрата) и обязательно содержит интеграл от квадратичной формы, определяемой оператором Лапласа, Затем рассматривается функция, на которой реализуется экстремальное значение функционала, и с ней связьюаются геометрические объекты (определяемые функцией область и поверхность либо поверхности уровня), После этого производится симметризация поверхностей, соответствующих данной функции, и по новым поверхностям строится новая функция, определенная уже в симметричной области. Далее рассматривается значение функционала на новой функции. Поскольку интеграл от квадратичной формы, определяемой оператором Лапласа, связан с величинами площадей поверхностей, которые при симметризации убывают, удается доказать убывание и этого интеграла, В то же время интегралы от функции или ее квадрата при симмецшзации не изменяются. Поэтому значение функционала при указанной операции изменяется в одну сторону (убывает или возрастает). Вследствие этого и значение исследуемой величины в симметризованной области меньше (или больше), чем в исходной. Завершает доказательство изопериметрического неравенства использование известного из геометрии результата, заключающегося в том, что с помощью последовательности симметризаций любую область можно перевести в круг (на плоскости) или в шар (в пространстве), [c.131]

При решении данного типа задач возможны два подхода. Первый подход состоит в приложении использованных выше рассуждений в каждый момент времени t, т. е. производится дискретизация только по пространственным переменным искомые параметры здесь являются функциями времени и для их определения получаются алгебраические, обыкновенные или интегро-дифферен-циальные уравнения —в зависимости от исходной задачи, которые решаются известными методами с помощью разработанных программ (Рунге — Кутта, Адамса и т, д.). При втором подходе независимая переменная — время / —считается формально равноправной с пространственными переменными х,- и производится разбиение на конечные элементы цилиндра, любое сечение которого плоскостью = onst — область изменения независимых переменных Xi, переменная t отсчитывается вдоль образующей цилиндра. Недостаток данного подхода — резкое увеличение размерности задачи, если только для движения вдоль временной переменной не применять специальные методы. Приведем описание первого подхода (представляющего собой, впрочем, частный случай второго). [c.212]

Наиболее известный для теплофизиков квадратурный метод решения интегро-дифференциального уравнения переноса излучения (3-18), предложенный в (Л. 329, 330], описан в [Л. 6]. Б математическом отношении этот метод заключается в аппроксимации интегро-дифференциального уравнения переноса излучения системой линейных дифференциальных уравнений. При этом подходе из бесконечного множества всевозможных направлений S в пределах сферического телесного угла 4л выбирается определенное число фиксированных направ-ле18ий S (i=l, 2,. .., я). Записывая уравнение переноса излучения для каждого фиксированного направления Si и заменяя в нем интеграл, учитывающий рассеяние, той или иной квадратурной формулой, приходят к системе линейных дифференциальных уравнений относительно интенсивности (s ) вдоль каждого из выбранных направлений Sj. Очевидно, что подобная аппроксимация будет тем точнее, чем большее число фиксированных направлений Si выбирается, но одновременно с этим усложняется н система дифференциальных уравнений, подлежащая математическому решению. Использование описанного квадратурного метода для исследования процессов переноса излучения при наличии рассеяния дало позитивные результаты (Л. 41, 42]. [c.112]

Это интегральное уравнение для неизвестного распределения размеров капель / (D) представляет собой уравнение Вольтерра первого рода. Даже при известном аналитическом выражении для функции скорости счета (вместо таблицы числовых значений) аналитическое решение уравнения (13) отсутствует. Поэтому использовались численные методы. Кунц [22], Скарбороу [23] и другие разработали метод численного определения функции / D). По существу эти методы состоят в замене определенного интеграла формулами для квадратуры и определении значений неизвестной функции в каждой точке путем разбиения определенного интеграла с использованием стандартных методов решения систем уравнений. [c.178]

До сих пор наши рассуждения были сконцентрированы на задаче об определении начала квазистатического страгивания единичной трещины в упругопластическом теле при монотонном нагружении. С другой стороны, известно, что устойчивый процесс увеличения длины трещины в пластичном теле на конечную величину обязательно сопровождается заметным отклонением процесса деформирования от пропорционального, что обесценивает результаты, найденные в рамках деформационной теории пластичности. Следовательно, сомнительным в данной ситуации будет и использование интеграла Jf, определяемого по формуле (24). Однако в случае, когда приращение длины трещины очень мало (ограниченно), Хатчинсон и Парис [77] доказали, что при пропорциональном увеличении нагрузки деформации также будут увеличиваться пропорционально одному параметру, а интеграл Jf будет служить параметром состояния. Пусть Аа — приращение длины трещины, начальное значение которой равно аа (т. е. Аа = а ао). Пусть /f —интеграл, характеризующий дальнее поле, определяемый по формуле [c.74]

В четвертой главе представлен метод решения краевых задач механики микронеоднородных сред, названный методом периодических составляющих и основанный на выделении периодических составляющих из случайных полей упругих свойств, характеризуемых локальной корреляционной функцией с областью отрицательных значений. Исходной краевой задаче для композитов со случайной структурой ствг вится в соответствие вспомогательная кргьевая задача с теми же грвг ничными условиями для периодических композитов, при этом средние значения упругих модулей композитов случайной и периодической структуры совпадают. Случайные функции компонент вектора перемещений стохастической задачи представляются в виде двух слагаемых, одно из которых считается известным из решения задачи для композита периодической структуры. С использованием метода функций Г ина для однородной среды сравнения осуществлен переход к интегро-дифференциальному уравнению для искомой составляющей поля перемещений. Построены различные приближения решения в перемещениях, представленного в виде ряда корреляционное, сингулярное и обобщенное сингулярное. [c.10]

В этом случае по известному значению находят параметры т формула (48)] и (м/оо) [формула (49)]. Далее для заданной формы сечения вычисляют интеграл в выражении (38) и по полученной формуле строят функцию распределения пределов выносливости детали (методика изложена на с. 156—161). Для вычисления интеграла необходимо функцию изменения напряжений в сечении а = = = Одах / ( > у) аппроксимировать линейной функцией с использованием градиента напряжений (см. примеры на с, 156—161). После этого определяют часть площади поперечного сечения Fji, в которой о и, и по этой части производят интегрирование. После интегрирования получают функции типа (57)—(61), представляющие собой по существу функции рспределе-ния пределов выносливости. деталей, выраженных через [формула (46), с, 153]. Связь I с вероятностью разрушения Р определяется зависимостью I — —2,3 Ig (1 — Р), входящей в (38). [c.216]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Системы с несколькими степенями свободы, как правило, неитегриру-емы. Исключение составляют системы, обладающие определенными симметриями, с каждой из которых связан первый интеграл. Это обстоятельство позволило, например, найти решение задачи Кеплера (см. лекцию 6). Однако в настоящее время нет общих методов, позволяюпщх найти первые интегралы не существует и общего метода интегрирования нелинейных систем. Любопытно отметить, что известны случаи, когда удалось догадаться о существовании скрытого интеграла при помощи численного эксперимента. Более того, использование ЭВМ в значительной мере способствовало пониманию характерных особенностей поведения существенно нелинейных систем [93]. [c.161]

Равенство вероятностей прямых и обратных процессов при квантово-механическом описании внутренних степеней свободы симметризует интеграл столкновений и поэтому квантовомеханический подход удобен для обш их исследований. Однако для получения численных результатов необходимо знать все вероятности переходов (дифференциальные сечения столкновений), определение которых представляет самостоятельную сложную и далеко не решенную проблему. Поэтому фактическое вычисление коэффициентов переноса пока удается провести лишь для весьма схематизированных молекул. В тех случаях, когда время возбуждения внутренних степеней свободы много больше времени возбуждения поступательных степеней, удается выразить коэффициенты переноса для равновесного и релаксируюш,его газа с внутренними степенями свободы с приемлемой точностью через известные коэффициенты одноатомного газа (В. С. Галкин и М. Н. Коган, 1968). С другой стороны, известно, что процесс столкновений молекул при не слишком низкой температуре удовлетворительно описывается классической механикой. Но при классическом описании симметрия прямых и обратных процессов нарушается, интеграл столкновений, а с ним и все исследование суш ественно усложняются. Однако для определения коэффициентов переноса можно пойти другим путем, минуя непосредственное использование уравнения Больцмана (В. И. Власов, С. Л. Горелов и М. Н. Коган, 1968). Макроскопические связи тензора напряжений и вектора потока тепла с гидродинамическими -величинами можно получить, например, с помош,ью теории необратимых процессов или с помош ью вариационных принципов, предложенных Л. И. Седовым [c.427]

При изучении идеализированного статистически однородного или локально однородного случайного поля и х) в безграничном пространстве его спектральное описание доставляется случайной функцией Z(Дй) множеств Дй пространства волновых векторов к, определяемых по и (х) с помощью формулы обращения Фурье — Стилтьеса (см., например, формулу (11.45), относящуюся к случаю скалярного однородного поля). При использовании характеристического функционала Ф[0(л ), 1] поля скорости в безграничном пространстве переход к спектральному представлению оказывается более простым поскольку аргумент 0(дс) этого функционала является неслучайной функцией, выбираемой, в известных пределах, по нашему произволу, он, вообще говоря, может быть представлен уже не в виде интеграла Фурье — Стилтьеса, а просто в виде интеграла Фурье [c.621]

Учет смещения при отражении играет важную роль в лучевом расчете звукового поля в волноводе [52, гл. 6), [526). О различных подходах к численному моделированию отражения волновых пучков см. [333, 455, 502). Наряду с использованным нами методом представления звукового поля в виде суперпозиции плоских волн, для теоретического описания отражения пучка применяется представление отраженного поля через интеграл по границе раздела от поля падающего пучка [118). Гауссов иучок при определенных условиях можно рассматривать как поле точечного источника, помещенного в точку с комплексными координатами [479, 482). Несмотря на формальный характер такой аналогии, она оказывается весьма полезной, поскольку позволяет найти величину смещения гауссова пучка при отражении, сдвиг угла отражения и т.д. путем проаого анализа хорошо известных асимптотик отраженного поля при падении сферической волны. [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...