УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Дифференцирование по времени

К первой задаче динамики точки относятся задачи, в которых по заданному движению точки требуется определить равнодействующую всех сил, приложенных к точке (в том числе и реакций связей, если точка не свободна). Решение этой задачи сводится к определению ускорения и, следовательно, к дифференцированию по времени заданных уравнений движения точки. [c.287]

Замечание. Изложенный способ определения реакций связей относится лишь к случаю движения системы. Если система находится в равновесии, координаты ее точек не зависят от времени. Тогда отпадает возможность составления уравнений вида (I. 23) при помощи дифференцирования по времени уравнений связей. Вопрос об определении реакций связей в случае равновесия системы рассмотрен во второй части этой книги. Элементарные способы решения задач о равновесии системы были рассмотрены ранее в геометрической статике. [c.33]

Значения этих выражений непосредственно определяются дифференцированием по времени уравнений движения (5). [c.191]

Следовательно, значения выражений (20) и (21) непосредственно определяются дифференцированием по времени уравнений движения (1, 59). Поэтому для вычисления нормального ускорения нет необходимости в вычислении радиуса кривизны траектории. [c.260]

Для действительных перемещений dx , dy dz., за время dt имеем после дифференцирования по времени тождественно удовлетворенных в движении уравнений связей (5.8) следующие уравнения [c.142]

Дифференцированием по времени уравнения движения найдем скорость груза [c.92]

В (6.2) и (6.3) точки обозначают дифференцирование по времени t, а индекс после запятой — дифференцирование по соответствующей координате. Здесь и в дальнейшем греческие индексы пробегают значения 1, 2, а латинские — значения 1, 2, 3 (по повторяющемуся греческому индексу производится суммирование). Будем, как обычно, разыскивать решение уравнений движения при отсутствии массовых сил (6.2), удовлетворяющее однородным начальным условиям [c.493]

Дифференцированием по времени уравнений движения плоской фигуры [c.48]

Угловые скорости и ускорения звеньев пространственных механизмов. Дифференцирование по времени уравнений для определения положений звеньев дает систему линейных уравнений, в которые входят производные от углов Эйлера. Чтобы перейти к проекциям угловой скорости звена / в движении относительно звена I, используются известные соотношения [c.50]

После частного дифференцирования кинетической энергии по ол, (Он и последующего дифференцирования по времени получаем уравнения движения механизма [c.79]

Резюме. Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Применение преобразования Лежандра замечательным образом отделяет дифференцирование по времени от аналитических операций над переменными. Новые уравнения образуют систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка. Они называются каноническими уравнениями . [c.197]

В этом приложении рассмотрим квазистатическую формулировку динамической задачи, рассмотренной в 5.5. Под квази-статическим понимается такой процесс, в котором заданные массовые силы, поверхностные силы и перемещения меняются со временем столь медленно, что инерционными членами в уравнениях движения можно пренебречь. Очевидно, что принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы можно сформулировать так же, как и в гл. 3, за исключением того, что время t теперь играет роль параметра. Соответственно в квазистатической задаче нас прежде всего будут интересовать скорости напряжений и перемещений считая заданными распределения напряжений и перемещений в теле в начальный момент времени, найти производные по времени от напряжений и перемещений й , индуцированных в теле (точка означает дифференцирование по времени). [c.497]

Используя формулу дифференцирования по времени интеграла, взятого по подвижному объему, уравнения движения и граничные [c.21]

Если независимые переменные обозначить Х и /, то в принятой декартовой системе координат Х полное ковариантное дифференцирование можно привести к дифференцированию по а материальную производную по времени — к частной производной по времени. Уравнение движения справедливо по обе стороны поверхности разрыва. Следовательно, справедливо тождество [c.114]

Уравнения для скорости сверхтекучего движения получается путем дифференцирования по времени выражения (8.4.23) [c.197]

При решении линейных дифференциальных уравнений движения элементов системы регулирования и, в особенности, при совместном решении нескольких таких уравнений целесообразно пользоваться операторной записью, при которой операция дифференцирования по времени сИсИ обозначается индексом р. В соответствии с этим приемом вторая производная по времени обозначается индексом р и т. д. [c.270]

А вот другой путь решения обратной задачи. Он опирается на запись уравнений движения цилиндра в форме, указанной в классической аналитической механике, с той лишь поправкой, что операция дифференцирования по времени считается обобгценной. Уравнения движения цилиндра с учетом (9.11) таковы [c.124]

Имея в виду, что кинетическая энергия Т представляется как функция от обобщенных координат и обобщенных скоростей (а в случае реономных связей еще и от времени), и замечая, что в левых частях уравнений (1) частные производные от кинетической энергии по обобщенным скоростям подвергаются еще дифференцированию по времени, мы должны заключить, что левые части уравнений (1) содержат не только первые, но также и вторые производные от обобщенных координат по времени. Таким образом в лагранжевых уравнениях движения (1) мы имеем систему дифферент циальных уравнений второго порядка для определения к обобщенных координат 1, 2- . Як- [c.344]

Так как кинематические уравнения движения не заданы, перейдем в последнем выражении от дифференцирования по времени к дифференцированию по полярному углу ф [c.43]

Во многих случаях полного решения второй задачи не требуется. Достаточным оказывается установление некоторых отдельных свойств движения точки. В таких случаях решение задачи по приведенной выше схеме нецелесообразно. Вместо полного решения здесь может оказаться достаточным знание некоторых первых интегралов движения. В первые интегралы входят еще первые производные по времени от координат, т. е. решение дифференциальных уравнений выполнено не до конца (см. примеры 6.1—6.6). Рассмотрим смысл первых интегралов. Общее решение, выраженное формулами (6.6), и три уравнения (6.9), получающиеся из него в результате дифференцирования по времени, можно рассматривать как систему уравнений относительно шести неизвестных констант Сь Сг,. .., Сб. Предположим, что ее решили. Решения имеют вид [c.86]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Обратим теперь внимание на следующую особенность интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Если в дифференциальных уравнениях движения —все равно в уравнениях Лагранжа или Гамильтона — время t было выделено и входило иначе, чем координаты, так как по времени велось дифференцирование, то в контурный интеграл (85) дифференциал dt входит совершенно так же, как дифференциалы dqj. Если бы мы рассматривали время как дополнительную координату <7 +i, а в качестве импульса, соответствующего зтой координате, взяли гамильтониан с обратным знаком 1), то контурный интеграл (85) можно было бы переписать так [c.296]

В этом параграфе решаются задачи на определение проекций угловой скорости и углового ускорения твердого тела на ось вращения по заданному уравнению движения. Эта задача сводится к дифференцированию угла поворота по времени. Обратная задача — определение закона вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, если известно его угловое ускорение или угловая скорость. Эта задача решается интегрированием и последующим определением произвольных постоянных интегрирования по начальным условиям движения. [c.274]

Из уравнений движения мы выведем все теоремы динамики. Они дают возможность решить и обе основные задачи динамики точки. В прямой задаче, когда кинематические уравнения движения (58) даны, решение сводится к дифференцированию этих уравнений умножив на массу вторую производную от координаты по времени, получим проекцию силы. В обратной задаче, когда заданы проекции силы X, У и Z, а нужно определить координаты точки л-, у и z как [c.262]

В первом случае движение шара подчинено голономной связи, а во втором — неголономной. Вообще, голономными, или конечными, связями называют связи, накладывающие ограничения только на положение материальных точек системы. Они выражаются аналитически конечными соотношениями между координатами точек системы, причем в эти соотношения может явно входить и время. Обратим внимание на тот факт, что, продифференцировав по времени такое уравнение, мы получим уравнение связи, содержащее явно проекции скоростей точек. Но это уравнение явится лишь следствием того уравнения, из которого оно было получено путем дифференцирования. Оно будет автоматически выполняться при удовлетворении голономной связи. [c.427]

Из уравнений движения выведем все теоремы динамики. Они дают возможность решить и обе основные задачи динамики точки. В прямой задаче, когда кинематические уравнения движения (5) даны, решение сводится к дифференцированию этих уравнений умножив на массу вторую производную от координаты по времени, получим проекцию силы. В обратной задаче, когда заданы проекции силы X, У и Z, а нужно определить координаты точки х, у, и z как функции времени, решение сводится к интегрированию трех совместных дифференциальных уравнений, где независимым переменным является время. [c.116]

Решение задач второго типа сводится к использованию соответствующих формул (1—19). Для того чтобы найти уравнение траектории точки в заданной системе координат, достаточно из уравнений движения (1, 2) исключить время . Для определения векторов скорости и ускорения точки необходимо путем дифференцирования функций (1, 2) по времени найти проекции этих векторов на соответствующие оси координат, а затем по формулам (7, 16, 8, 17) и (14, 18, 15, 19) определить модули направления векторов скорости и ускорения точки. [c.240]

Уравнение движения для операторов Aj(t) в картине Гейзенберга получается непосредственно дифференцированием (24.18) по времени [c.155]

Возможен и другой путь составления уравнений для определения скорости и ускорений движения механизмов и кинематических цепей. Соотношения между скоростями, ускорениями, перемещениями звеньев и постоянными их параметрами могут быть получены путем дифференцирования по параметру времени тензорных уравнений (3.20), (3.21), (3.24) и т. д. Такие производные, очевидно, многокомпонентных произведений тензоров, входящих в уравнения, будут содержать в качестве сомножителей в правой и левой частях уравнений как сами тензоры, так и их производные первого порядка в уравнениях для определения скоростей и производные первого и второго порядка в уравнениях для определения ускорений. [c.47]

Это и будут уравнения Маджи [ ]. Они вместе с уравнениями (77) с аналитической точки зрения дают в дифференциальной форме полную постановку задачи о движении для системы 5 с двусторонними идеальными (в том числе и неголономными) связями. Действительно, если представим себе, что в уравнения (82) вместо величин q подставлены их выражения (77) через е и и выполнено дифференцирование по t, то будет очевидно, что после выполнения всех преобразований в уравнениях останутся, помимо q, е, t, только v производных ё от е, которые войдут в них линейно. Замечания, совершенно аналогичные тем, которые были сделаны в п. 36, приводят к выводу, что полученные таким образом из системы (82) v уравнений разрешимы относительно этих v производных е, так что мы заключаем, что уравнения (77) и (82) вместе составляют дифференциальную систему уравнений первого порядка, приводимую к нормальному виду относительно я-f-v неизвестных функций времени q VI е. Если конфигурация и состояние движения материальной системы в начальный момент заданы, т. е. заказаны произвольные численные начальные значения q (позиционных координат)и е (кинетических характеристик), то движение неголономной системы будет однозначно определено. [c.326]

Таким образом, если бы эта функция V была известна, оставалось бы только исключить Я из Зц + 1 уравнений (С) и (Е) для того, чтобы получить все Зп промежуточных интегралов или из (О) и (Е) для того, чтобы получить все Зп конечных интегралов дифференциальных уравнений движения, т. е. получить искомые Зп зависимости между Зп переменными координатами и временем, включающие также массы и упомянутые выше 6 начальных данных. Открытие этих зависимостей (как мы уже говорили) представляло бы собой общее решение общей задачи динамики. Таким образом, мы по крайней мере свели общую задачу к отысканию и дифференцированию единственной функции V, которую мы будем называть характеристической функцией движения системы, а уравнение (А), выражающее фундаментальный закон ее вариации, будем называть уравнением характеристической функции или законом переменного действия. [c.180]

К систе.ме пяти уравнений движения следует добавить урав 1ення связи движений тел вследствие нерастяжнмости нити и отсутствия ее скольжения по диску О и блоку В. Если пере.менные величины отсчитывать от начальных положений тел, ио для момента времени t, для блока и груза получаем г = —гц>1 и после дифференцирования по времени г = —Продифференцировав еще один раз, н.мее.ч [c.315]

ГолономныЕ СИСТЕМЫ. Вернемся к общему уравнению импульсивного движения в его первоначальной форме (48) для того, чтобы приложить его к любой голономной системе, число степеней свободы которой пусть будет п. Естественно, что голономность связей должна существовать и в течение промежутка времени t, когда действуют ударные силы, так что, если обратимся прямо к обозначениям п. 22, уравнения (49), число г которых надо принять связанным с числом степеней свободы п и числом N точек системы известным соотношением г- -п = 3N, должны получаться при помощи дифференцирования по времени такого же числа соотношений между координатами. Эти соотношения, как мы уже знаем, можно представить себе написанными в виде гтараметрических выражений [c.508]

Для первой из них будем считать, что в сечении стержневой системы приложена перпендикулярная оси или сонаправ-ленная с ней сила Р ъ) (см. рис. 12.3, где вектор скорости vq необходимо заменить вектором внешней силы). Тогда может быть использована введенная в 12.2 модель с одной степенью свободы упругого тела в виде пружины растяжения-сжатия с закрепленной на ее конце массой. Уравнение движения эквивалентной системы с использованием принципа Д Аламбера записывается следующим образом (точками обозначено дифференцирование по времени с), рис. 12.6 а [c.424]

По поводу применения уравнений Вольтерры и Больцмана — Гамеля к системам с неголономными связями необходимо указать также на не которые обстоятельства, вызвавшие обсуждение ряда вопросов в научной литературе. Во-первых следует отметить проблему так называемой перестановочности операций дифференцирования по времени и варьирования. Дело в том, что при выводе уравнений движения в неголономных переменных удобно исходить из общего уравнения, предложенного Е. Бельтрами и содержащего билинейные коварианты от декартовых координат, обобщенных координат и неголономных координат, т. е. выражения вида с1бг—бйг, (16п—6с1п и т. д. Вольтерра, переходивший при выводе уравнений движения от декартовых координат непосредственно к неголономным координатам, применял перестановочность варьирования и дифференцирования для декартовых координат при наличии неголономных связей. Данное обстоятельство вызвало в нашей литературе отдельные возражения. Но, Гамель, в вышеупомянутой его работе, убедительно показал равноправность того и другого подхода, проделав вывод уравнений движения в неголономных координатах и придя к од- [c.6]

Решение уравнений движения дает временную зависимость координат частицы 9( = 9<(0 в процессе ее движения. Это означает, что известна траектория частицы, заданная в параметрическом виде, причем время i играет роль параметра. В большинстве приложений, однако, представляет больший интерес описание траектории в явном виде. С этой целью одна из координат (обычно9з) выбирается в качестве независимой переменной, а две другие координаты представляются в виде функции от дз- Тогда мы получим два уравнения для двух проекций траектории на две взаимно перпендикулярные плоскости. Решение этих уравнений дает 1 и в виде функций от дз. Чтобы осуществить такое преобразование, следует дифференцирование по времени заменить дифференцированием по дз- Это можно [c.34]

В формулах (2.33) т, - масса спутника / ,, / 2. 3з - направляющие косинусы вектора 0,02, где точка О, - центр масс спугника. В уравнениях (2.32) точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени т = соо/, > ДС - угловая ско1Юсть орбитального движения цетра масс О системы. [c.93]

Уравнение (2), или (3) представляет собою дифференциальное уравнение враищтельного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Оно позволяет решить следующие две задачи 1) зная момент инерции Jz тела относительно оси вращения 2 и вращающий момент МА найти Ф=/ I), т. е. закон вращения тела или его угловую скоростыи 2) зная момент инерции относительно оси вращения г и зная закон вращения, т. е. <р=/ ), найти вращающий момент Решение первой задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения (3) решение же второй задачи сводится к простому дифференцированию функции <р=/(О по времени. [c.681]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...