ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ Маятник

Во многих случаях неудобно рассматривать движение точек и тел по отношению к абсолютной системе координат. Вряд ли имеет смысл развивать теорию колебаний маятника по отношению к абсолютной , инерциальной системе координат с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными на неподвижные звезды. Куда удобнее, и даже естественнее, использовать систему координат с началом в точке подвеса маятника и осями, жестко связанными с Землей. [c.36]

Учение об электричестве начало быстро развиваться только с тех пор, как была открыта возможность широкого использования его в технике. Точно так же именно техническими потребностями общества были вызваны к жизни теория колебаний маятников, вся термодинамика и многие другие отрасли физики. Об этой непосредственной связи физики с производством, о том, как потребности промышленности, транспорта, связи вызывали успехи в развитии физики, рассказано в исторических справках, данных в нашем курсе. [c.17]

Характерной чертой теории колебаний маятника является то, что сила, действующая на частицу, всегда обращена к положению равновесия и (с достаточной степенью точности) пропорциональна величине отклонения от этого положения. Все случаи подобного рода описываются одним и тем же дифференциальным уравнением [c.24]

Теория колебаний маятника 79 [c.79]

Теория колебаний маятника [c.79]

Теория колебаний маятника 81 [c.81]

Теория колебаний маятника 83 [c.83]

Теория колебаний маятника 85 [c.85]

Теория колебаний маятника 87 [c.87]

В линейной теории колебаний маятника, приняв [c.483]

Работы Галилея по динамике были продолжены и развиты знаменитым голландским ученым Гюйгенсом (1629—1695), который создал теорию колебаний физического маятника, введя при этом понятия о центре качаний, о приведенной длине физического маятника и о моменте инерции тела относительно оси. Кроме того, Гюйгенс обобщил введенное Галилеем понятие ускорения на случай криволинейного движения точки и установил понятие о центростремительной и центробежной силах. Ряд его работ относится к теории удара упругих твердых тел. [c.14]

Из (7.181), (7.182) видно, что состояние Ks является СР-четным (СР = +1), а состояние Ki., напротив, СР-нечетное (СР = —1). Если комбинированная инверсия СР сохраняется, то состояния Ks и К1 не могут сами по себе переходить друг в друга. В нашей аналогии с двумя слабо связанными одинаковыми маятниками состояниям Ks и Ki. соответствуют два собственных колебания одно, в котором оба маятника качаются с одинаковыми амплитудами синфазно, и другое, в котором маятники качаются в противофазе (рис. 7.82). Из теории колебаний известно, что собственные частоты [c.411]

Решение уравнения (1.1) показывает, что j = 2т . Таким образом, мы видим, что для малых колебаний маятника с помощью теории размерности можно получить формулу периода колебания маятника с точностью до постоянного множителя. [c.39]

Это уравнение тождественно с уравнением движения простого (математического) маятника длиной I и с переменным углом наклона к вертикали 1, если предположить силу тяжести направленной по О г (положение устойчивого равновесия оси Ог). Таким образом, ось Ог совершает периодические колебания около положения устойчивого равновесия. Если амплитуда колебаний мала, то период полного колебания на основании теории математического маятника равен [c.186]

Если же маятники расстроены то, хотя обмен энергией и будет иметь место, он будет совершаться таким образом, что первоначально возбужденный маятник будет иметь минимум, отличный от нуля, и только маятник, первоначально находившийся в состоянии покоя, в процессе движения снова возвратится в состояние покоя. Таким образом, одинаковый характер колебаний маятников нарушается их расстройкой. Сначала мы кратко изложим теорию полного резонанса при возможно более простых допущениях (пренебрегая затуханием, а также различием между дугой окружности и касательной к ней в нижней точке траектории, что допустимо при достаточно малых колебаниях). Обозначим через х отклонение маятника /, через Х2 — отклонение маятника II. Если, далее, обозначить через к коэффициент связи , т. е. напряжение в пружине при единичном удлинении ее, деленное на массу, то система дифференциальных уравнений нашей задачи примет следующий вид [c.145]

Данное нами выше решение включает теорию малых колебаний маятников во всей той общности, которая ей может быть придана. Как известно, Гюйгенс первый дал теорию круговых колебаний, затем Клеро прибавил к ней теорию конических колебаний, имеющих место в том случае, когда маятник, будучи выведен из своего положения покоя, получает толчок, направление которого не проходит через это положение. Но в том случае, когда маятник одновременно получает вращательное движение вокруг своей оси, вызванная этим движением центробежная сила может сильно расстроить колебания, — будь то круговые или конические определение этих новых колебаний представляет собою задачу, которая никогда еще не была полностью разрешена для маятников любой формы. Это обстоятельство и побудило меня заняться здесь указанным вопросом. [c.299]

Сатурна, первая волновая теория распространения света, которая позволила ему объяснить, помимо известных тогда явлений, явление двойного преломления, открытого им же в исландском шпате, наконец, его вклады в механику, из которых мы ограничимся упоминанием закона колебаний маятника с практическими приложениями к устройству часов в его исследованиях о колебаниях физического маятника по существу и содержится понятие [c.42]

Далее, во многих случаях, когда речь идет о колебаниях как о дополнительных движениях, налагающихся на основное движение машины (или механизма), соответствующие перемещения можно считать малыми. Это положение, широко применяемое в строительной механике и в теории колебаний упругих систем, достаточно хорошо подтверждается практикой. Оно не применимо в тех случаях, когда возможны значительные относительные перемещения тел (например, качание маятника с большой амплитудой, движение поршня в цилиндре, перемещения от изгиба весьма гибких элементов). Но оно вполне соответствует тем случаям, когда перемещения связаны с упругими деформациями обычных элементов. Предположение о малости перемещений приводит к простым соотношениям при составлении уравнений колебаний. [c.9]

Теория колебаний и волн. Научение К. на разных этапах играло стимулирующую роль в развитии науки. Так, исследования К. маятника [c.399]

В теории нелинейных колебаний метод усреднения использовался в отдельных случаях в неявном виде (например, М. В. Остроградским для решения уравнения с кубической характеристикой и Ньютоном при нахождении формулы для периода колебаний маятника). [c.85]

Первые работы Стокса, относяш,иеся главным образом к теоретической гидродинамике, выходили в Философских трудах Кембриджского университета. Для нас наиболее интересна его работа, в которой он линеаризовал общие уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и получил уравнения нестационарного ползущего течения. Эти уравнения он применил к расчету затухания колебаний маятника со сферическим грузом под действием сил сопротивления воздуха (1851 г.) [47]. Когда частота колебаний маятника приближается к нулю, он движется относительно воздуха с практически постоянной скоростью. Стокс развил в этой работе теорию сопротивления, испытываемого падающим телом сферической формы. Полученное им соотношение носит название формулы Стокса [формула (2.(3.3)]. Оказалось, что эта формула применима и к случаю осаждения всевозможных мелких частиц, скорость которых невелика. В математическом отношении предложенный Стоксом вывод этой формулы отличается элегантностью и приводится во многих учебниках гидродинамики. Он относится к таким случаям, когда частицы находятся достаточно далеко друг от друга, так что на движение каждой из них не влияет движение соседних частиц. Прожив долгую жизнь (он умер в возрасте 84 лет), Стокс прославил кембриджскую школу математической физики многими другими серьезными достижениями. [c.26]

Мы привели лишь два фазовых портрета линейного осциллятора. Однако, его картинная галерея богаче. В частности, другим получается портрет при 7 > о о. Интересен также случай поведения математического маятника около верхнего положения равновесия. Все это подробно рассмотрено в книге [5] и во многих других работах по теории колебаний. [c.86]

Теория. Физическим маятником называется твердое тело произвольной формы, подвешенное на горизонтальной неподвижной оси. Таким физическим маятником (рис. 6. 8) будет шатун I, установленный проушиной на ребро неподвижной призмы 2. Если шатун отклонить от вертикального положения на угол й и затем отпустить, то он начнет совершать колебания в плоскости, перпендикулярной ребру призмы, вокруг точки подвеса О. [c.67]

Современный историк механики не случайно начияает свою общую характеристику развития механики в XVII в. со следующего положения От ожерелья, надетого на наклонную плоскость, до первой подлинно математической физики мировой системы, через законы падения и движения брошенных тел в пустоте, законы удара, теорию колебаний маятника, гидростатику и тяжесть воздуха, сопротивление жидкостей и движение в сопротивляющейся среде — таков путь, пройденный механикой XVII века [c.121]

В теории колебаний маятника и динамике часовых механизмов Гюйгенс отправлялся от работ Галилея. Так, Галилей установил, что для обычного кругового математического маятника длиной / период Т - /7 Гюйгенс получил полную и правильную формулу для периода колебаний Т = 2п-уЩ . Галилей утверждал, что колебания такого маятника изохронны, но Гюйгенс установил, что это справедливо только для малых колебаний. В общем случае колебания кругового маятника неизохронные. Изохронными являются только колебания циклоидального маятника. [c.23]

Теория затухающих колебаний. Задача о прямолинейном ДБИже , НИИ материальной точки под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию, и сопротивления, пропорционального скорости, важна не только сама по себе, но и вследствие существования большого числа аналогичных случаев движения. Диференциальное уравнение, от которого такое движение зависит, представлягт уравнение совершенно такого же типа, как и в случае малых колебаний маятника, или крутильных колебаний подвешенного стержня, при сопротивлении воздуха, или колебаний стрелки гальванометра, при действии токов, индуктированных в прилегающих металлических массах, и т. д. [c.249]

Второй пример —это маятиик, обладающий дву. 1я степенями свободы. Наиболее строгий метод решения этой задачи — рассмотрение сферического маятника и решение уравнений Лагранжа для этого случая. Однако из геометрии задачи видно, что производная z должна быть величиной второго порядка малости, если пользоваться приближением малых колебаний (z будет отличаться от своего равновесного значения только на величину, содер-жаш,ую квадрат амплитуды). Кроме того, из теории простого маятника можно ожидать, что величины FJm и FJm будут равны соответстпеино — gx/l и —gy/I, где через I обозначена длина маятника. Если пренебречь z во втором из уравнений (4.304), первые два уравнения той же системы дадут [c.117]

Здесь полезно вспомнить, что при выводе формулы (П.17) предполагалась малость отношения смещения х к длине I маятника. В рассматриваемом случае расчетная длина маятника мала это накладывает особенно тесные ограничения на величину амплитуд колебаний маятника, и если отношение х/1 нельзя считать малым сравнительно с единицей, то приходится вообще от-казыватьея от применения линейной теории. [c.30]

В это же время Гюйгенс и Г. Лейбниц (G. Leibniz) сформулировали закон сохранения кол-ва движения Гюйгенс создал теорию физ. маятника, построил часы с маятником Р. Гук (R. Нооке) открыл осн. закон упругости 1 >ка закон). Были заложены основы физ. акустики. М. Мерсенн (М. Mersenne) измерил число колебаний звучащей струны и впервые измерил скорость звука в воздухе. Ньютон дал теоретич. вывод ф-лы для скорости звука. [c.311]

Профессор П.С. Ланда обратила внимание на наличие аналогии между возникновением турбулентности в незамкнутых течениях жидкости и шумоиндуктированным возбуждением колебаний маятника со случайно колеблющейся осью подвеса [6.3,6.16]. Существенно, что эта аналогия основана не на подобии уравнений движения, описывающих рассматриваемые процессы, а на общности законов теории колебаний. [c.174]

Закономерности движения частицы, идеализируемой в виде материальной точки, по вибрирующей шероховатой поверхности представляют самостоятельный интерес для теории вибротранспортирования и вибросеиарации отдельных тел малых размеров. Эти закономерности интересны также и для теории многих более сложных процессов (см гл. IX т. 2 справочника), например вибрационного разделения сыпучих смесей, вибротранспортирования и сепарации тв дых или упругих тел конечных размеров, а также слоя сыпучего материала, вибрационного погружения свай, движения вибрационных экипажей и т. п. Дифференциальные уравнения движения частицы по вибрирующей шероховатой поверхности играют в теории указанных процессов почти столь же фундаментальную роль, что и уравнение движения маятника в общей теории колебаний. [c.13]

Для современников основным произведением Гюйгенса была книга Маятниковые часы (1673 г.) Это классическое произведение по богатству и ценности содержания имеет мало себе равных. Прежде всего, оно, в соответствии со своим названием, содержит (в первой части) описание великого изобретения Гюйгенса — маятниковых часов. Разрабатывая теорию математического маятника, Гюйгенс показал неизохронность колебаний кругового маятнйка и для него разработал метод расчета периода колебаний, равносильный приближенному вычислению соответствующего эллиптического интеграла. Гюйгенс строго доказал точную изохронность колебаний (любой амплитуды) циклоидального маятника, дал формулу для вычисления периода этих колебаний, а также и для периода малых колебаний кругового маятника, разработал и осуществил конструкцию циклоидального маятника. В связи с этим Гюйгенс создал новый раздел дифференциальной геометрии — учение об эволютах и эвольвентах. Он изобрел часы с коническим маятником. Попутно Гюйгенс открыл явление параметрического резонанса (наблюдая установление консонанса двух маятников, прикрепленных на одной балке) и правильно объяснил его. Кроме того, в Маятниковых часах изложены многочисленные математические результаты, как, например, спрямление многих кривых, определение площадей некоторых кривых поверхностей, метод построения касательных к рулеттам и т. д. Не располагая алгоритмом анализа бесконечно малых, Гюйгенс, проявляя исключительную изобретательность, систематически применяет инфинитезимадьные методы в геометрическом оформлении — этим аппаратом он овладел в совершенстве, и в этом среди его современников никто, кроме Ньютона, не мог с ним соперничать. Но мы еще не сказали о том, что в четвертой части Маятниковых часов , под названием О центре качания , решена поставленная Мерсенном проблема определения периода колебаний физического маятника. Это — первая глава динамики твердого тела. В этой созданной Гюйгенсом главе одинаково значительны результат и метод. В ней налицо то сочетание эксперимента и теории, технической направленности и обобщающего физического мышления, которое характерно для рассматриваемого периода. Проявить это сочетание в своем творчестве дано было только деятелям экстра-класса — Галилею, Гюйгенсу, Ньютону. [c.110]

Галилей связал свои результаты в теории маятника с вопросом о колеба-ниях струн, с объяснением резонанса, консонансов и диссонансов ( День пер вый Бесед ) Галилей любил музыку и хорошо ее понимал . Два выдающихся его современника занимались теми же вопросами — Ян Бекман и М. Мер-сенн. Из дневников Бекмана видно, что в 1614—1618 гг. он, исходя из наблюдений и поставленных им опытов, пришел к выводу об изохронности звуковых колебаний, а также к утверждению, что частота колебаний струны v обратно пропорциональна длине струны v ос i/l. Наиболее убедительное доказательство изохронности у Бекмана таково струна постепенно прекращает движение, поэтому, как выражается Бекман, пространство, проходимое ею при первом ударе меньше, чем при втором, и т. д., а так как для уха эти звуки остаются до конца одинаковыми, то все удары должны быть разделены равными промежутками времени. Дальше мы находим сравнение колебаний струны с движениями подвешенной на веревке люстры, движениями, которые, по Бекману, изохронны в пустоте. Быть может, та же аналогия, только в обратном направлении — от звучания струны к колебаниям подвешенного тела, укрепила в Галилее уверенность в изохронности колебаний маятника любой длины [c.252]

Кроме уточнения законов звуковых колебаний, которые мы называем законами Мерсенна, и кроме открытия первого закона, относящегося к колебаниям маятника, Галилею принадлежит еще открытие ана логии между беззвучными колебаниями маятников и колебаниями, создающими ощущение звука, что делает его настоящим основателем теории колебаний. В конце Дня первого Бесед Сальвиати, рупор Галилея, обращается к своим собеседникам с такой речью [c.253]

Проблема центра качаний была поставлена, можно сказать, в конкурсном порядке, тем же Мерсенном, который так интересовался открытиями Галилея в акустике. Отсылая за подробностями к гл. V (см. стр. 97), укажем здесь, что Гюйгенсу принадлежит не только решение задачи о центре качания, т. е. приведенной длине физического маятника, но и точная трактовка вопроса о периоде малых колебаний математического маятника. Таким образом, была решена задача и о периоде малых колебаний физического маятника. Гюйгенс определил также центры тяжести и центры качания для многих фигур, открыл циклоидальный маятник и доказал (строгую) изохронность его колебаний. Все это шло об руку с техническими изобретениями часов с коническим маятником, часов с циклоидальным маятником, с существенным усовершенствованием обычных маятниковых часов, идея которых возникла у Гюйгенса, видимо, вполне самостоятельно. Гюйгенсу не удалось создать хронометра, удовлетворяющего требованиям моряков, но его технические изобретения во всяком случае позволили значительно уточнить измерение времени, столь существенное и для исследования колебаний. Его вклад в теорию колебаний тоже велик помимо указанного выше явления, он открыл явление, названное позже принудительным консонансом . С этими (конструк- [c.254]

Достаточно полная теория гирокомпаса Сперри в вариантах с гиробаллистическим маятником и с сообщающимися сосудами составлена также Беге-ном (1921). Из его работы, в частности, видно, что все рассматриваемые гирокомпасы имеют общий недостаток, хотя и в различной степени они практически защищены от интеркардинальных девиаций лишь при условии, что вызывающее их ускорение имеет сравнительно короткий период изменений, но подвержены весьма значительным ошибкам такого рода, когда ускорение является длительным, например, при наборе скорости хода или торможении судна. Теория указывала путь преодоления этого недостатка нужно было увеличить период собственных колебаний маятника вокруг оси юг — север . [c.154]

Работы Г алилея были продолжены и развиты Г юйгенсом (1629—1695), который разработал теорию колебаний физического маятника и установил законы действия центробежных сил. Распространение теории ускоренных и замедленных движений одной точки (поступательного движения тела) на случай вращательного движения тела представляет значительный шаг вперед. [c.62]

Теория колебаний как исторически, так и но существу начинается с маятника. Прп помощи этого простого прибора мы можетм проиллюстрировать во всех основных чертах многие важные законы акустики действительно, различие масштабов амплитуд и периодов, как оно ни огромно, несущественно в вопросах динамики. [c.21]

Основные положения теории размерности и подо бия. Знаменитые задачи П. Л. Капицы и его задача №24 об определении периода колебаний математического маятника. Задача о колебаниях маятника для астрофизики — проблема пульсации звезд. Еще одна оценка периода колебаний математического маятника и другиетдачи. Правило Уилера. [c.34]

Примеры различных Маятников (осцилляторов) от механического до химического, экологического, экономического. Линейный осциллятор - основная модель линейной теории колебаний. Свойства линейных систем. Квантовый осциллятор Что такое динамическая система Понятие о фазовам пространстве. Фазовый портрет линейного осщилятора. [c.54]

Основываясь на законе сохранения живой силы , открытом для сметного случая колебания маятника еще Гюйгенсом и получившем широкое распространение в первой половине XVIII в., Бернулли излагает в Гидродинамике свою знаменитую теорему, устанавливающую общую связь между давлением, высотой и скоростью движения жидкости. Теорема эта, частный [c.23]

Теория. Пусть на горизонтальной плоскости установлен каток 1 с приделанным к нему жестко маятником 2 (рис. 8. 2). Если маятник 2 отклонить от вертикального положения на угол <Ро и отпустить его, то он начнет совершать колебания в вертикальной плоскости (плоскости чертежа), вращаясь относительно точки о. При этом, очевидно, каток 1 будет кататься по горизонтальной плоскости, точка контакта катка с плоскостью О будет перемещаться по плоскости в направлении, обратном направлению перемещения центра тяжести маятника С. Колебания маятника вследствие сопротивления воздуха и трения качения будут затухающими. Сообщенная первоначально маятнику потенцигльная энергия — . Л — будет постепенно расходоваться на работу указанных сопротивлений. Рассмотрим движение маятника, пренебрегая сопротивлением воздуха и принимая во внимание только трение качения. Двигаясь в одном направлении центр тяжести маятника переместится из положения С в С , двигаясь в обратном направле- [c.127]

Руководство курсовыми работами слушателей механической группы осуществляют преподаватели кафедры теоретической и прикладной механики. В течение первого месяца слушатели, как правило, заканчивают теоретическую разработку решения задач, выбранных в качестве курсовых работ. Большинство слушателей сами определяют тему своей курсовой работы. Чаще всего она связана с собственными научными исследованиями, и лишь малая часть курсовых работ имеет методическую направленность. Тем, кто затрудняется в выборе темы, предлагаются задачи по терретической механике, при выполнении которых целесообразно использовать ЭВМ [1]. В курсовых работах слушателей решались задачи статики, динамики, теории колебаний. В частности, рассматривались задачи 6 немалых колебаниях маятника, об интегрировании уравнения внешней баллистики, о малых колебаниях систем с тремя степенями свободы, которые не имеют решения в конечном виде и требуют применения численнь1х методов. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...