Уравнения в комплексных смещениях

Уравнения в комплексных смещениях. Наряду с комплексными усилиями, введем комплексные комбинации смещений и функций [c.64]

Итак, уравнения (1.160) являются приближенно совместными в указанном выше смысле. Исключив из этих уравнений комплексные усилия, придем к следующей системе дифференциальных (см. (1.61)) уравнений относительно комплексных функций Ui, й.2, W, которую будем называть уравнениями в комплексных смещениях [c.66]

Исключение отсюда комплексных усилий приводит, с учетом соотношений (6.127) и (5.10), к системе уравнений в комплексных смещениях [c.304]

Уравнения в комплексных смещениях подробно рассматриваются в гл. 10. Там, в частности, показано, что их можно рассматривать как уточнения уравнений Власова. [c.304]

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В КОМПЛЕКСНЫХ СМЕЩЕНИЯХ [c.349]

В качестве исходной примем однородную систему уравнений в комплексных смещениях (6.182) [c.349]

Уравнения в комплексных смещениях [c.55]

Из (Х.7), (Х.8) и (Х.4) могут быть также получены разрешающие уравнения в комплексных смещениях. [c.207]

Сконструированы вариационные уравнения, для которых уравнения в комплексных усилиях, уравнения в комплексных смещениях и условия комплексного сопряжения являются уравнениями Эйлера (К. Ф. Черных, [c.242]

Комплексные же компоненты деформации удовлетворяют системе уравнений в комплексных смещениях (также четвертого порядка) [c.644]

Использование комплексных вспомогательных функций (комплексных усилий и комплексных смещений) позволяет вдвое понизить порядок разрешающей системы уравнений и значительно уменьшить в них число членов. В результате уравнения становятся менее громоздкими и, значит, более обозримыми, что позволяет легче обнаруживать возможности их преобразования и упрощения. Всякие преобразования и выявление общих свойств решений гораздо удобнее выполнять, основываясь на уравнениях в комплексной форме. Наглядными примерами этому являются исследование уравнений теории оболочек вращения (см. гл. 4) [c.66]

Уравнения (4.5) и (4.8) в совокупности представляют собой систему уравнений теории трансверсально-изотропных оболочек в комплексных смещениях. [c.57]

Математическим следствием упрощений, производимых над уравнениями в комплексных усилиях и смещениях, является тот факт, что решение систем (3.8), (4.6) и (4.8) либо (4.12) и (4.8) не будут между собой абсолютно согласованные, т. е. указанные системы лишь приближенно совместны. Однако в большинстве задач это расхождение очень незначительно и не выходит за пределы точности теории оболочек. [c.58]

Математическим следствием упрощений, производимых над уравнениями в комплексных усилиях и смещениях, является тот факт, что решение систем (IV. 18), ( .25) и (1 .27) либо ( .31) и (1 .27) [c.71]

Отметим, что на данную теорию можно обобщить комплексный метод (гл. IV) и вывести разрешающие уравнения в комплексных усилиях и смещениях. [c.191]

Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть pj (j = 1, 2, 3, 4) — его корни при = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 177, а). Пусть при малых е один из корней, например pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2, р2 при малых е малы, то у сместившегося корня pi не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова-Пуанкаре. [c.552]

Вводя указанные выражения в формулы (3.18) и (3.19), получим уравнения для определения комплексных смещений, причем последние будем искать в виде рядов [c.176]

Подставляя эти выражения в уравнения (4.32) и принимая во внимание независимость решения от ф, получаем следующие четыре уравнения для определения комплексных смещений [c.197]

Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в бесконечной плоскости имеется один замкнутый криволинейный разрез L, разбивающий всю плоскость на две области внутреннюю 5+ и внешнюю 5 Предположим, что при переходе через контур L напряжения остаются непрерывными q t)=0), а вектор смещений получает скачок g t). Тогда комплексные потенциалы Ф г) и 4 (2) определяются по формуле (1.66), а неизвестная функция g t) удовлетворяет уравнению (1.67) (при q t)=0), т. е. сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи (при заданной на границе L нагрузке) является одним и тем же для внутренней и внешней области. Из теоремы единственности следует, что для существования решения необходимо выполнение условий равновесия области 5+ (равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре L), т. е. интегральное уравнение в этом случае имеет решение при дополнительных условиях, которым должна удовлетворять правая часть уравнения (следовательно, союзное однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение). Таким образом, задача является некорректной. Для ее регуляризации в работах [94, [c.19]

В нашу задачу не входит получение подробных выражений для малых колебаний эллипсоидов Якоби, обладающих вековой, а поэтому и обыкновенной устойчивостью. Нам необходимо только рассмотреть вопрос о том, сохраняют ли они обыкновенную устойчивость за конфигурацией, в которой впервые исчезает вековая устойчивость. По определению предполагается, что при обыкновенной устойчивости все корни по А должны быть вещественными, потому что если бы хоть один корень был мнимый или комплексный, то существовало бы движение, в котором смещение (в первом порядке малости) возрастало бы до бесконечности. Кроме того, в данном случае невозможно, чтобы движение, зависящее от такого члена, как возникало в отсутствии члена Для каждого решения уравнений (5) здесь существует соответствующее решение, симметричное относительно ж -плоскости, но с измененным знаком Л, поскольку вид уравнений сохраняется, если изменяются [c.198]

Принципиально иной подход осуществлен в работе [27]. Здесь выполняется преобразование Лапласа по времени и все построения осуществляются с трансформантами смещений. Получаемое для них дифференциальное уравнение можно трактовать как уравнение для амплитуд (см. 4 гл. II) с комплексной частотой. Поэтому построение решения для трансформанты оказывается возможным осуществлять посредством потенциалов, опирающихся на фундаментальное решение (1.33). [c.556]

Отметим, что вариационное уравнение (2.14) записано для действительных смещений и напряжений. Его обобщение на общий случай комплексных корней содержится в работе [287]. [c.252]

Обозначим через 8j, е , й, Sj, й , т выражения, получающиеся при замене в правых частях формул (1.61) смещений Ыц Mg, w соответствующими функциями й , й , w. Очевидно, что комплексно составленные величины Sj,. .., т удовлетворяют уравнениям неразрывности деформаций срединной поверхности (1.75). [c.64]

Отметим следукхцее любопЕ1тное обстоятельство хотя ин и исходили из системы уравнений в комплексных смещениях, содержащих члены, умноженные на коэффициент Пуассона v, разрешающие уравнения (10.31)—(10.33) не содержат таких членов. Это еще раз подтверждает отмечавшееся выше обстоятельство входящие в комплексные соотношения члейы, имеющие множителем V, малы. [c.353]

Используя представления комплексных потенциалов (z) и Ф2 (г) (IV.13), (IV.15), (IV.17) и (IV.18) через скачки смещений (tn) и напряжений Q на контурах криволинейных разрезов в полубесконечной плоскости, по формулам (L152) и (1.153) получаем сингулярные интегральные уравнения основных граничных задач для рассматриваемой области. В случае первой основной задачи для полуплоскости, ослабленной системой произвольно ориентированных прямолинейных трещин, такие уравнения впервые построены в работах [50, 2151. Они справедливы как для внутренних, так и для краевых трещин. В частности, па основе интегральных уравнений для системы прямолинейных трещин в полуплоскости [2151 в работе [420] рассмотрена задача об определении концентрации напряжений около треугольного краевого выреза в полубесконечной пластине. При этом вырез образовывался двумя краевыми трещинами, выходящими из одной точки. Точно так же изучалось распределение напряжений в полуплоскости около прямоугольного выреза [3521. При использовании интегральных уравнений в случае криволинейных разрезов можно рассматривать аналогичные задачи о криволинейных вырезах различной формы, выходящих на край полуплоскости. [c.115]

Интегральные уравнения первой основной задачи для такой области получим из системы (7.15) предельным переходом, когда вершина разреза выходит на край отверстия. Это можно сделать благодаря наличию в комплексных потенциалах слагаемых (7.6). Поскольку в случае краевых разрезов условия однозначности смещений (1.83) не выполняются ввиду изменения связности области, то последнее уравнение системы (7.22) подлежит замене. Как и для случая внутренних трещин, будем искать функцию g zitz) в классе функций, имеющих корневую особенность. Недостающее для замкнутости системы (7.22) уравнение получим из условия м(—1)=0 ограниченности решения g z(h) в точке выхода трещины на край, что дает [c.191]

Для применения модели Эберса—Молла при машинных расчетах необходима ее модификация, заключающаяся прежде всего в переходе от комплексных функций частоты к дифференциальным уравнениям. В целях повышения точности модели необходим учет барьерных емкостей эмиттер-ного Сд.э и коллекторного переходов, объемных сопротивлений тел базы Гд и коллектора г , сопротивлений утечек эмиттерного и коллекторного переходов. Введение в модель Сб.э и диктуется также требованиями повышения обусловленности модели. Действительно, при Сд.э = Сд., = О полная емкость запертого перехода при его обратном смещении стремится к нулю, что приводит к крайне малым собственным значениям матриц, составленных из коэффициентов уравнений математической модели схемы. [c.57]

Будем вычислять только поверхностные смеш ения (z == 0). Для вычисления объединенных интегралов (3.40) при 2 = 0 рассмотрим их в комплексной плоскости волнового числа к. В этой плоскости подынтегральные функции имеют точки ветвления к = и к kz, определяемые из условий = О, аг = О, и простые полюса f = кц, соответствующие простым корням уравнения A4 = О (кд — волновое число поверхностной рэлеевской волны, распространяющейся в направлении оси X в рассматриваемом кристалле). Образуем из четырех листов комплексной плоскости к четырехлистную поверхность Римана, проведя разрезы от точек f i, к , как это было сделано для вычисления поверхностных смещений в разд. 1 второй части (см. рис. 2.3). Путь интегрирования в объединенных интегралах (3.40) должен проходить по вещественной оси того листа поверхности Римана, на котором знаки радикалов и аг соответствуют решению, ограниченному во всем полупространстве z -<0. Производя операции, аналогичные изложенным в разд. 1 второй части, сведем объединенные интегралы (3.40) к вычетам в точках к = zb кц, к интегралам по берегам разрезов и по положительной или отрицательной мнимой полуоси (в зависимости от знака х). [c.188]

Для вычисления написанных интегралов рассмотрим их в комплексной плоскости к. Особенностями подынтегральных функций в плоскости к являются простые полюса, определяемые условиями равенства нулю определителей As и Ад. Каждый из вещественных корней уравнений As = О, Ад =0 определяет волновое число возбуждаемой симметричной или антисимметричной волны Лэмба. Поскольку приемники ультразвуковых волн Лэмба реагируют обычно на поверхностные смещения слоя (пластинки), ограничимся нахождением выражений только для поверхностных z = d) смегцений W - [c.100]

Рассмотрим, как используются потенциалы смещения для описания отражения плоской волны от плоской свободной границы, и выскажем ряд замечаний, которые будут полезны при- изучении более сложных явлений. Применив способ разделения переменных, к волновым уравнениям в потенциалах, записанных в прямоугольных координатах, найдем, что решение является экспоненциальной функцией пространственных координат и времени. Коэффициенты в эксЕонентах могут быть вещественными, комплексными либо мнимыми. Первое замечание состоит в том, что хотя некоторые ограничения на эти коэффициенты вытекают непосредственно из требования конечности потенциалов, они должны быть конкретизированы для каждой заданной геометрии границ. Например, некоторые коэффициенты, допустимые для волн в плоской пластине, невозможны в случае упругого полупространства. Второе замечание касается дальнейшего выбора допустимых решений, чтобы выделить падающую волну, являющуюся источником остальных колебаний. Например, выражения, описывающие отражение падающей продольной волны, могут быть получены путем произвольного отбрасывания члена, представляющего падающую поперечную волну. Третье замечание состоит в том, что решения, которые будут получены ниже для спектральных составляющих плоских волн при помощи преобразования Фурье, могут быть использованы для изучения отражений нестационарных (импульсных) сигналов, [c.29]

Уравнение для поперечных волн, в которых смещение происходит параллельно пластине, в точности совпадает с уравнением для объемных поперечных волн в массиве. Таким образом, измерения параметров продольных и поперечных волн в тонких пластинах позволяют (при известной плотности) получить два комплексных модуля (Л +iWsgn o) и (ц+ ц sgn со). [c.104]

Как сместить физическую область с особенностей Ландау в окрестности гладкой точки ). Возвращаясь к массовой поверхности, мы видим, что все пространство 9(0) проектируется по одну сторону от своих особенностей Ландау. Мы будем говорить, что точка р " е 9 близкая к рассматриваемой особой точке Ландау, находится выше или ниже порога графа О , если она принадлежит, соответственно не принадлежит образу пространства (0). Мы воспользуемся этим определением, чтобы дополнить гипотезу А об аналитичности амплитуды рассеяния в физической области, указав те комплексные смещения с особенностей Ландау, которые дают возможность связать различные аналитические функции, разделенные этими особенностями. Всякая гладкая точка Ландау имеет окрестность и, в которой многообразие Ландау Ь можно задать уравнением I = О (йф ), где I — вещественная аналитическая функция. Мы выберем знак функции I так, чтобы выше порога выполнялось условие / > 0. Аналитическая функция I допускает комплексификацию 1, которая в достаточно малой комплексной окрестности и является уравнением комплексного аналитического многообразия коразмерности 1 (так как с(1= =0) это комплексификация Ь многообразия Ь. Теперь может быть сформулирована [c.16]

Л1атрица q согласно (35) есть матрица-столбец, образованный совокунностью безразмерных комплексных аэродинамических усилии каналов qn, q,i — составляющие безразмерного аэродинамического усилия 1-го канала. Уравнение (34) определяет связь аэродинамических усилий в уплотнении с поступательными w jh угловыми S смещениями ротора. [c.309]

Существуют и другие подходы для определения критических параметров (в частности, скорости полета) на границе устойчивости. Для этого в уравнениях свободных колебаний (38) полагают Я, = ш и находят значения скорости, удовлетворяющие этим уравнениям. Критическую скорость флаттера можно также определить экспериментально в аэродинамической трубе на динамически подобной модели и в процессе летных испытаний летательного аппарата. В последнем случае прибегают к экстраполяции, чтобы по тенденции определяющих флаттер параметров с ростом скорости полета найти приближенно величину критической скорости флаттера. Возникновение флаттера связано с определенным тоном свободных упругих колебаний в потоке воздуха. Распределение деформаций по конструкции при потере устойчивости определяет комплексную форму колебаний флаттерного тона. В зависимости от преобладания амплитуд той или иной части ЛА и характера деформированного состояния различают виды флаттера. Например изгибно-крутильный флаттер крыла, изгибно-изгибный флаттер в системе стреловидное крыло — фюзеляж, изгибно-элеронный флаттер, рулевой флаттер и т. д. Для характеристик флаттера несущих поверхностей часто определяющее значение имеют различные грузы, размещенные иа них двигатели, подвесные баки с горючим, шасси. Существенными параметрами являются жесткости крепления этих тел на поверхности крыла. Вообще для флаттера принципиально важны параметры связаииости форм движения. Например, для совместных колебаний изгиба и кручения крыла такими параметрами являются координаты точек (линий) приложения сил аэродинамического давления, инерции и упругости. Смещение центра масс относительно оси жесткости вперед способствует стабилизации системы. Совмещение всех трех точек развязывает виды колебаний, и в этом случае флаттер невозможен. Это свойство обычно имеют в виду при динамической компоновке конструкции. Важными параметрами являются распределенные нли сосредоточенные жесткости. Последние характерны для органов управления [c.490]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

При действии в плоскости с трещинами сжимающих напряжений, а также в некоторых других случаях противоположные берега их могут смыкаться, налегая друг на друга. Контакт берегов трещины приводит к перераспределению поля напряжений и деформаций в ее окрестности. Решению контактных задач для бесконечной плоскости, ослабленной прямолинейным разрезом или щелью переменной ширины, посвящено ряд работ [42, 136, 147, 241, 254, 282, 292]. Рассматривался также случай дугообразной трещины, берега которой приходят в гладкий контакт по всей длине или по некоторой ее части [41, 115, 145]. В общем случае криволинейной трещины контактные задачи почти не изучались (исключением является сообщери1е [247]). Ниже при использовании интегральных представлений комплексных потенциалов напряжений через скачки смещений ла линии криволинейного разреза строятся интегральные уравнения контактной задачи для бесконечной плоскости с разрезом. При этом рассматриваются два предельных случая когда трение между берегами трещины ничтожно мало (гладкий контакт) или велико (полное сцепляйте). Предложенный подход легко обоб-1цается па случай системы криволинейных разрезов. [c.72]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...