Перемещения при малых прогибах

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ПРОГИБАХ [c.18]

При изгибе балки, нагруженной распределенными силами интенсивностью q, в главной плоскости yz характерными перемещениями произвольного сечения являются прогиб v и угол поворота ф (рис.8.1.5). При малых прогибах, когда. отношение / / имеет [c.18]

Линеаризованное уравнение (13.5), как и уравнение (13.2), является приближенным и верно лишь при сколь угодно малых прогибах. С его помощью мы определили и форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости. Но при этом константа С в выражении для упругой линии осталась неопределенной. Перемещения найдены, как говорят, с точностью до постоянного множителя. [c.515]

Этот результат говорит о том, что при малых деформациях балки 8 — величина, пренебрежимо малая по сравнению с 5у. Поэтому в балках большой жесткости считают, что их сечения перемещаются только в направлениях, перпендикулярных положениям осей до деформации, и называют эти перемещения прогибами. [c.186]

Рассмотрим защемленный стержень (рис. 59). С него мы и начали разговор об упругой линии, а в выражении кривизны ранее пренебрегли величиной у за ее малостью. Теперь, рассматривая поведение стержня в области больших перемещений, мы такого упрощения уже сделать не можем. Но это не все. При малых перемещениях мы имели возможность считать изгибающий момент в каждом сечении независящим от прогибов балки. Теперь же, как это видно из рис. 59, изгибающий момент меняется в зависимости от того, сколь заметно изменилась форма упругой линии, и задача, таким образом, становится явно нелинейной. При ее решении мы уже не можем придерживаться принципа начальных размеров и принципа независимости действия сил. [c.65]

При вращении винта 1 ползун 2 перемещается в направляющих корпуса 3, а ползуны 5 сближаются или удаляются друг от друга при помощи звеньев 4, что вызывает больший или меньший прогиб упругой пластинки 6. При малых величинах прогиба упругая линия пластинки мало отличается от дуги окружности, радиус которой определяется по величине перемещения ползуна 2. [c.397]

При малых перемещениях прогибы заделанной по контуру и равномерно нагруженной пластины определяются уравнением [c.120]

Практически важным примером упругой нелинейной связи может служить задняя подвеска автомобиля (рис. 11.25, а), если кроме основной рессоры имеется дополнительная рессора (подрессорник). При малых перемещениях кузова концы подрессорника не касаются упоров и работает только основная рессора зависимость между силой давления Р на рессору и ее прогибом у можно считать линейной (участок аЬ). [c.65]

Разрушение выпучиванием наблюдается, когда при некоторой критической комбинации величины и (или) места приложения нагрузки, а также формы и размеров детали ее перемещения или прогибы внезапно резко увеличиваются при малом изменении нагрузки. Такое нелинейное поведение приводит к разрушению выпучиванием, если потерявшая устойчивость деталь уже не может выполнять своих функций. [c.23]

Другими словами, в полученном приближенном решении при конечных, но малых прогибах амплитуда поперечных перемещений тоже растет пропорционально параметру А, определяемому формулой [c.210]

Докажите, что формулировка задачи о температурных напряжениях пластины при больших прогибах может быть получена из аналогичной формулировки задачи с малыми перемещениями (см. 8.7) путем замены е , у и у у на [c.253]

Аналогично, если имеется начальное отклонение, Wo, то перемещение одной стороны dy при малом изменении Aw прогиба W будет равно а (и о + И + Аи ) + А ") д (w - -w)d (w -I- wy [c.272]

Некоторые результаты предыдущей главы могут служить для определений колебаний, возникающих в мостах под действием подвижной нагрузки. При расчете мостов обыкновенно предполагается, что подвижная нагрузка из одного положения в другое переходит с бесконечно малой скоростью, и потому давление каждого из подвижных грузов в любой момент равно весу этого груза. При конечных скоростях это предположение не вполне точно, благодаря прогибу моста катящиеся по нему грузы совершают некоторые перемещения по вертикальному направлению. Силы инерции, соответствующие этому перемещению, очевидно, должны быть присоединены к весу грузов при вычислении давлений, оказываемых грузами на мост. Кроме того, должно принять во внимание силы инерции элементов самого моста, совершающих перемещения при проходе подвижной нагрузки. Во всей полноте задача о динамическом прогибе мостов является до сих пор нерешенной, исследованы лишь предельные случаи. [c.172]

Прогиб / центра плоской металлической мембраны при малых перемещениях можно определить по формуле [c.376]

Иногда при малых значениях перемещений катетометром могут служить два индикатора, установленных в вертикальном и горизонтальном направлениях, как показано на рис. 56. В случае балки малой жесткости сила нажатия пружины индикатора может искажать величину прогиба. [c.98]

Угловое перемещение 9 концов пружины найти несложно. Рассмотрим сначала зависимость между углом 0 и прогибом / в случае изгиба балки при малых перемещениях. Если длина балки между опорами равна / = 2/q и она нагружена силой Р посередине пролета, то ее прогиб равен [c.178]

Гибкие пружины, работающие на продольный изгиб, применяются, например, в реле, ограничивающих величину усилия или величину какого-нибудь перемещения. При возрастании сжимающего усилия сверх критического значения пружина прогибается, замыкая контакты электрической цепи или воздействуя на иные органы управления системой. Пружины этого типа, в частности, можно применять, наклеив на них тензорезисторы, для исследования малых перемещений в машинах или сооружениях. [c.182]

Напротив, когда изгибаются искривленные пластины, т. е. оболочки, то в их плоскости возникают перемещения и я v срединной потерхности и соответственно мембранные деформации и напряжетия, которые пропорциональны первой степени прогиба и существенны даже при малых прогибах то же справедливо и для плоских пластин с начальными прогибами порядка толщины, так как в действительности- они являются пологими оболочками. [c.289]

При изучаемых в курсе сопротивления материалов малых деформациях горизонтальные перемещения ничтожно малы и их не учитывают, считая, что центры тяжести поперечных сечений получают лищь вертикальные перемещения, называемые обычно прогибами. [c.127]

Сочетание методов строительной механики оболочек и колец и теории упругости. Вместо использования приближенных соотношений, связывающих контактные перемещения и давления в разъемных соединениях, возможно определение местной податливости путем решения краевых задач теории упругости для этих зон. При малой ширине шюшадок контакта, составляющих 1/10-1/5 толщины фланцев и расположенных на краю фланцев, здесь также удобно использовать предположение, что осевые контактные напряжения распределены линейно и могут быть заменены нормальными и изгибающими контактными усилиями. При этом разрывные сопряжения, естественно, включаются в общую расчетную схему составной многократно статически неопределимой конструкции. Получающиеся в соответствии с принятым предположением перемещения на площадках контакта несколько отличались от линейных, однако максимальное отклонение не превышало 5% наибольшего значения прогиба на площадке. Эту величину можно приближенно считать оценкой погрешности принятого предположения, так как компенсирующие эти отклонения напряжения составили такую же часть от заданных. [c.134]

Для идеального продольно сжатого упругого стержня, если сжимающая сила не превышает критического зйлерова значения стержень будет возвращаться в первоначальную прямолинейную форму, если ему задать малый прогиб в виде sin (па /0 и затем отпустить состояние стержня, предшествовавшее заданию в нем перемещений, опишем как условие устойчивого равновесия. Если силу Р можно было бы довести до значения, намного превышающего критическое, не допуская выпучивания, а затем стержню задали бы некоторое смещение и снова отпустили, toi он стал бы неограниченно изгибаться дальше, т. е. выпучиваться , говорят, что это было условие неустойчивого равновесия. Если нагрузка Р в точности равна критическому значению и стержню-придаются прогибы небольшой величины, а затем его отпускают, то стерн ень останется в состоянии равновесия в изогнутом положении будем говорить, это есть условие нейтрального равновесия при малых перемещениях. [c.81]

Следующее, очень важное заключение, которое мбжно сделать из рассмотрения уравнения (4.13), состоит в том, что так как относящееся к мембранным напряжениям частное решение фр связано с поперечным перемещением w через квадраты или попарные произведения соответствующих производных от функции W, эта часть мембранных напряжений демонстрирует влияние больших прогибов или конечных перемещений, которое незначительно, когда прогиб W мал, и становится заметным только при больших. прогибах w насколько при этом велик должен быть прогиб ш, трудно определить из простых соображений, но опыт указывает, что, как и в соответствующем случае балок, рассмотренном в 2.6, эта часть частного решения, описывающего мембранные напряжения, становится существенной только тогда, когда прогиб w становится соизмеримым с толщиной. Следовательно, при u <0,2ft такими мембранными напряжениями можно пренебречь, положив правую часть уравнения (4.13) равной нулю. В подобном случае могут возникать еще и мембранные напряжения, соответствующие плоской задаче теории упругости и вызываемые действующими в плоскости пластины краевыми нагрузками, но это плоское напряженное состояние не будет зависеть от поперечных нагрузок и вызываемых ими прогибов. Таким образом, когда прогиб w мал, два вида нагруженных состояний пластины — мембранное и изгибное, обусловленное поперечным нагружением,— могут исследоваться но отдельности, а затем суммироваться. [c.228]

Взаимодействие между ребром ja пластиной можно было бы исследовать и другинГ путем, рассмотрев перемещения или срединной поверхности, которые будут появляться даже при малых перемещениях, если используются несимметричные ребра. Следует задаться выражениями для перемещений и и v с Неизвестными коэффициентами, записать выражения для результирующих деформаций в ребре и пластине и неизвестные коэффициенты определить энергетидеским методов вместе с неизвестными коэффициентами в выражениях для прогиба w. Этот метод представляется более прямым и потенциально-более полным, но является значительно более трудоемким (так как число неизвестных коэффициентов утраивается), чем представленные ранее методы по определению энергии деформации подкрепленной пластины, где рассматриваются все факторы, которые могут оказаться важными. [c.266]

Использование гипотезы Кирхгофа — Ляра также обьгчно ограничивает применение излагаемой теории областью тонких оболочек, для которых az/A < 1 и bz/B < 1, откуда появляется возможность упростить выражения (6.8) для деформаций. Стоящие в числителе выражений для о и ер члены вида az/A и bz/B являются существенными при малых перемещениях, и если их опустить, то не получим равными нулю деформации для основного случая, когда u = v=w = 0. Однако если пренебречь слагаемыми az/B и bz/B в знаменателе выражений для деформаций, полагая тем самым знаменатель равным нулю, то ошибки порядка отношения толщины к радиусу будут сделаны только в значениях деформаций в специфических точках. При определении прогибов и критических нагрузок, которые зависят от осредненных условий, эти ошибки будут практически бесконечно малыми-в области, занимаемой стенкой оболочки. Ошибка при определении энергии деформации примерно равна квадрату отношения толщины к радиусу, т. е. ошибка составляет одну десятую процента, когда толщина равна одной тридцатой радиуса. Отсюда видно,-что для тонких оболочек, а в случае нахождения прогибов, критических нагрузок и т. п. это справедливо и для относительно тонких оболочек, не делая серьезной погрешности, знаменатель в выражениях (6.8) мояшо положить равным единице. Однако, хотя в дальнейшем будет показана справедливость сказанного, это требует своего обоснования, так -как кажущиеся нёзначительнйми члены могут оказаться существенными на последующих стадиях исследований все это подробно обсуждается при выводе уравнения (6.36), [c.406]

Как уже отмечалось выше, поперечные силы Раг и F z должны быхь малы по сравнению с силами Fa, F и F t. в случае тонкой оболочки. В задачах устойчивости одна или обе из этих сил вызывают выпучивание. и являются конечными по величине, тогда как деформации, а также силы и моменты, возникающие при перемещениях, связанных с потерей устойчивости, все еще остаются бесконечно малыми. В выражениях для углов величины Aha, Bkf, и т. д. являются, как правило, малыми по сравнению с а, Ь, с и d в задачах о малых прогибах, но они могут увеличиваться и становиться почти столь же или даже более важными в задачах о больших прогибах. Члены, содержащие произведения деформаций на кривизны, по-видимому, никогда не играют большой роли. [c.438]

Условие свободного опирания на краях ш = Л/ = 0 можно легко удовлетворить с помощью выра жения (6.12) для прогиба W путем соответствующего выбора начала координат и параметра X как уже отмечалось выше при обсуждении теории малых прогибов, в случае образования большого числа волн выбор пределов изменения параметра Я не играет существенной ]эоли, поскольку влияние условий на краях быстро затухает, за исключением случая очень кротких цилиндрических оболочек, которые не будут здесь рассматриваться. Будет предполагаться также, что условия на краях цилиндрической оболочки такие же, как и в средней ее части это означает, что опоры на краях должны допускать любые радиальные перемещения в узлах (практически это означает, что такие условия на краях рассматривать можно, так как области, примыкающие к краям, остаются не выпучив-шиме ся в тех экспериментах, о которых говорилось выше). В связи с этим следует упомянуть, что, помимо радиального перемещения vRa/E, наружу вследствие влияния коэффициента Пуассона при равномерном осевом сжатии, дающем нахфяже-ние о, появляется тенденция к вознЬкновению радиальных перемещений, направле нных внутрь, так как при образовании окружных волн будет создаваться общее растяжение в окружном направлении ниже -сказанное учитывается введением pq — 00. [c.496]

Для оценки роли поверхностного слоя в контакте со смазкой интересно также сопоставить величины деформаций слоя и толщины плёнки смазки при различных числах Зоммерфельда (рис. 5.18). Сравнение кривых 1, 2, 3 и 1, 2, 3 на этом рисунке показывает, что при малых числах Зоммерфельда минимальная толщина смазочного слоя Н т значительно меньше максимального прогиба границы слоя. Однако с увеличением числа Зоммерфельда толщина плёнки смазки растет, а перемещения границы слоя за счёт его деформации падают, при этом минимальная толщина плёнки смазки становится значительно больше смещений границы слоя. Это даёт основание заключить, что при малых числах Зоммерфельда свойства поверхностного слоя оказывают определяющее влияние на контактные характеристики. При больших числах Зоммерфельда минимальная толщина смазочного слоя практически не зависит от вязкости ЕпТп поверхностного слоя. Минимальная толщина слоя смазки и максимальный прогиб слоя возрастают с уменьшением параметра / . [c.291]

Для образца с трещиной в центре (см. рис. 2) различие в кривых G для постоянной нагрузки и постоянного перемещения относительно мало. Это видно на рис. 2, на котором кривая для постоянного перемещения бд отнесена к начальному размеру трещины /3. Очевидно, что все предыдущие рассуждения остаются в силе, и остановка трещины может произойти только за счет изменения характера разрушения. Но если рассмотрим поведение образца с одним боковым надрезом, предложенного Сулливаном (1964 г.) и показанного на рис. 4, то заметим, что основные различия, зависящие от граничных условий, начинают проявляться в том порядке, в каком они ожидались. Предположим, например, что сопротивление хрупкому разрушению не зависит от длины и скорости распространения трещины. Тогда, как и в предыдущем случае, при достижении критической нагрузки появляется неустойчивость и происходит непрерывное распространение трещины. Однако, если предположить, что после появления начальной неустойчивости в распространении трещины определяющим фактором является постоянство прогиба, то трещина в зависимости от ее длины может подвергнуться либо мгновенному раскрытию [c.27]

Применяя принцип виртуальных перемещений, предположим, что прогибы пластинки W получили бесконечно малое приращение Ы. Тогда соответствующее изменение энергии деформации пластинки должно быть равно работе, произведенной внешними силами на этих предположенных нами виртуальных перемещениях. При вычислении этой работы нам надлежит учесть не только распределенную по поверхности пластинки поперечную нагрузку о, но также и распределенные по контуру пластинки изгибающие моменты М и перерезывающие силы Q — dMntlds). Поэтому принцип виртуальных перемещений да,ст нам следующее общее уравнение [c.106]

Выводом уравнений изгиба пластинок, на основании молекулярной модели и обпщх уравнений теории упругости, занимались Пуассон, Навье и Коши. У Навье мы находим вполне строгое уравнение для статического изгиба пластинки как для случая нормальной нагрузки, так и для случая выпучивания пластинки под действием сил на контуре, лежащих в плоскости пластинки В случае свободно опертой прямоугольной пластинки Навье получил правильное решение, использовав двойные тригонометрические ряды. Общим анализом условий на контуре пластинки занимался Пуассон , однако он сформулировал одно лишнее условие на контуре в случае задания на нем внеш-58 них сил. Правильное число условий было указано позже Г. Кирхгофом и ясно интерпретировано физически В. Томсоном . Кирхгофу принадлежит общая теория изгиба стержней, а также теория пластинок, основанная на четких гипотезах, близких к гипотезе плоских сечений в элементарной теории изгиба, и вполне строгий вывод известных уже уравнений малых прогибов пластинок при помощи принципа виртуальных перемещений. Позже Кирхгоф и Клебш развили теорию для не слишком малых прогибов пластинок. [c.58]

В заключении второй части книги рассматриваются малые прогибы тонких упругих оболочек, излагается линеаризированная теория устойчивости оболочек. Приведенные здесь общие уравнения устойчивости цилиндрических оболочек в перемещениях, вызванных потерей устойчивости, известны как уравнения Тимошенко. Дается решение этих уравнений для случая внешнего поперечного давления и равномерного продольного сжатия. Последний случай особенно интересен. Автором впервые изучена теоретически неосесимметрвганая форма потери устойчивости и показано, что в этом случае при выпучивании по коротким продольным волнам выражение для продольной критической нагрузки совпадает с формулой для критической нагрузки при симметричном волнообразовании. Здесь описан также метод расчета на устойчивость оболочек за пределом упругости. Наконец, излагается общее решение уравнений малых осесимметричных деформаций сферической оболочки и их щ)имвнение к различным случаям нагружения. [c.7]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Зависимость между нагрузкой и давлением можно также получить, используя принцип возможных перемещений. Дадим элементу оболочки малый прогиб Этому перемещению будет соответствовать работа силы О, равная Яс11, и работа сил давления рс1У ( У — изменение объема элемента при изменении прогиба на /). [c.394]

Вопрос о влиянии начальных неправильностей формы на устойчивость сферических оболочек уже обсуждался в ряде работ [4, 5]. В статье [5] задача решалась методом В. 3. Власова. Прогибы и функция напряжений в области локальной вмятины задавались специально подобранными затухающими функциями, в которые входил некоторый параметр, дающий возможность варьировать размеры вмятины. Этот параметр определялся из условия минимума нагрузки в предположении, что прогибы будут малы и тогда это условие совпадает с условием минимума энергии системы. На самом деле это не совсем так. Как было показано X. М. Муштари [3], оба условия совпадают лишь при бесконечно малых прогибах, т. е. вблизи бифуркационной точки. При наличии же начальных искривлений оболочка в докритиче-ском состоянии получает значительные перемещения, сравнимые с ее толщиной, и принятое автором допущение могло привести к некоторому занижению критической нагрузки. [c.323]

Видно, что изменение площади нагружения существенно влияет на характер деформирования внешней оболочки, причем наибольшие прогибы имеют место в случае промежуточных площадок нагружения. Это связано с тем, что при большой площадке напряженное состояние близко к безмоментному, а при малой площадке приложенного импульса недостаточно для существеннного деформирования конструкции. Максимальные перемещения имеют место, когда существен импульс, а напряженное состояние оболочки далеко от безмоментного. Размеры участка нагружения практически не влияют на деформирование внутренней оболочки. Напряженное состояние ее ближе к безмоментному при всех случаях нагружения. Это связано с тем, что даже при локальном нагружении внешней оболочки нагружение внутренней оболочки не является локальным в силу расходимости фронта подводной волны, движущейся от участка приложения импульса. Указанное приводит к тому, что прогиб внутренней оболочки не зависит от способа приложения нагрузки и растет при увеличении участка приложения нагрузки / . [c.114]

Итак, будем считать искривления малыми и учитывать лишь влияние изгибающих моментов. В этом случае неизвестной функцией, определяющей положение сечений балки в деформированном соапоянии, является функция прогибов (г). При этом прогиб V — это перемещение центра тяжести сечения в направлении главной оси сечения (на рис. 8.1, а это ось у). Ось балки искривляется по гривой с уравнением у=у (г), которую называют упругой линией или линией прогибов балки. [c.225]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...