Обобщение на циклические системы

ОБОБЩЕНИЕ НА ЦИКЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 277 [c.277]

Первые интегралы движения, особенно циклические интегралы и обобщенный интеграл энергии, широко используются в динамике голономных систем. Настоящий параграф посвящен распространению этой теории интегрирования на неголономные системы. [c.194]

За обобщенную координату системы примем координату груза у. На груз действуют консервативные силы — сила тяжести G и реакция упругой балки Р. Циклическую частоту колебаний груза, лежащего на упругой балке, определим по уравнению Лагранжа (123.1) [c.355]

В случае обобщенно-консервативной системы мы заменили уравнение (6) уравнением (20), в котором число независимых переменных на единицу меньше. Аналогичное понижение числа независимых переменных в уравнении в частных производных можно произвести и в том случае, если одна из координат циклическая. [c.161]

Первый интеграл представляет собой интеграл энергии Qx и Gj — проекции кинетического момента Qq на оси Сх и С5. Постоянство Gx при движении системы следует из того, что момент сипы R относительно оси Сх равен нулю. Третий интеграл выражает постоянство обобщенного импульса Ар, соответствующего циклической координате <р. Заметим, что (см. рис. 46) [c.213]

При рассмотрении приложений метода Лагранжа было видно, что существование циклических координат обусловливает постоянство величин, которые иногда, на основании предварительных сведений, можно отождествить с компонентами количества движения (компонентами импульсов). Однако надо особенно подчеркнуть, что выражение количества движения никогда не фигурирует в явном виде в связи с трактовкой Лагранжа. Основная черта метода Лагранжа состоит в том, что независимыми переменными являются время и обобщенные координаты. Производные по времени от обобщенных координат также явно входят в уравнения, но в конечном счете всегда будут зависимыми переменными. Это обстоятельство иллюстрируется использованием для представления движения системы понятия траектории в пространстве конфигураций. [c.56]

Таким образом, наличие циклических координат всегда обусловливает постоянство соответствующих импульсов. Сохранение количества движения и момента количества движения в консервативной системе является частным случаем этого общего правила. При рассмотрении теоремы Лармора было найдено, что результатом действия магнитного поля на одноатомную систему является общая прецессия системы относительно направления поля. Но можно сказать и иначе, а именно обобщенный импульс, связанный с угловой координатой 9, сохраняется при наложении поля, причем увеличение электромагнитного импульса компенсируется уменьшением механической части импульса. [c.58]

Аналогично, если не одна, а I обобщенных координат являются циклическими, то первыми интегралами будут I обобщенных импульсов и порядок системы дифференциальных уравнений (1) может быть понижен на 21 единиц. [c.327]

Получение решений системы уравнений (1) часто оказывается очень сложным делом. Поэтому надо искать какие-то пути, упрощающие исследование движения. Например, в 2 показано, что наличие одной циклической координаты позволяет понизить порядок системы (1) на две единицы. Это указывает на то, что удачный выбор обобщенных координат может существенно облегчить исследование движения, а иногда позволяет провести его во всей необходимой полноте. С такой ситуацией мы встретились в п. 165 при анализе движения сферического маятника. [c.337]

При циклическом деформировании механических систем иногда пользуются силовой характеристикой - зависимостью суммы позиционной силы и силы трения Р=Р+К от обобщенной координаты д. На плоскости Р, д эта характеристика представляет собой петлю гистерезиса. Площадь, ограниченная этой петлей, равна работе сил трения за один период движения и является основной количественной мерой рассеивания энергаи при колебаниях. Некоторые примеры силовых характеристик для системы с. одной степенью свободы (рис. 6.5.2) приведены на рис. 6.5.3. [c.365]

Функция надежности, приведенная на рис. 30, является типовой для автоматических линий по своему характеру. Как видно, уменьшение вероятности бесперебойной работы является величиной переменной, наиболее высоко оно при малых периодах времени t. Показатель времени t является обобщенным и может быть выражен не только в общепринятых единицах календарного времени (секунда, минута, час и т. д.), но и в иных показателях. Так, для станков и автоматических линий, которые в подавляющем большинстве являются системами циклического действия, очень 80 [c.80]

Операторы Казимира функциональной группы <3 выражаются через обобщенные импульсы, отвечающие г циклическим переменным фазового пространства, иначе говоря, инвариантные полиномы 0 представляют собой г интегралов движения системы (1.47) в инволюции, одним из которых является гамильтониан (1.45). Нетрудно заметить, что выбор указанных выше начальных условий не нарушает сделанных утверждений. Такн.м образом, динамическая система (1.42) имеет г интегралов движения в инволюции, совпадающих по форме с инвариантными полиномами на О , в которых К = 0, = (1/2)о 6ц. [c.156]

Обобщенно-консервативные системы так же, как в случае циклической координаты, допускают понижение порядка уравнений Гамильтона (19.12) на две единицы. [c.84]

Мы уже рассматривали уравнения движения заряда в циклическом ускорителе, когда движение происходит в фокусирующем магнитном поле, нарастающем во времени (см. (1.6)). Эта система урав нений теперь должна быть дополнена включением в рассмотрение высокочастотного электрического поля, сосредоточенного в ускоряющем промежутке. Будем предполагать, что ускоряющий промежуток является идеальным в том смысле, что электрическое поле в нем действует на электрон с силой, направленной строго по касательной, т. е. сила имеет только одну 0-компоненту в цилиндрической системе координат (г, 6, ф). В соответствии с этим возникает момент электрических сил, который можно определить как обобщенную силу [c.39]

Обобщение на циклические системы. Соответствующую теорию для циклических систем дал Лармор (Larmor) ). Мы напомним определение функции R, данное в 83, а именно [c.276]

Циклический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение , заключающийся в том, что каждой обобщенной циклической координате отвечает некоторый.сохраняющийся обобщенный импульс, по существу говоря, был известен уже Лагранжу который и закон сохранения энергии связывал с цикличностью временной координаты В 70—80-х годах XIX в. эта идея Лагранжа была существенно развита и применена к анализу не только механических, но и физических систем в работах Рауса (1877 г.), Гельмгольца, В. Томсона и Тэта, Дж. Дж. Томсона и др. (1879—1888 гг.). Разработанная на основе метода циклических координат (называемых также игнорируемыми , отсутствующими , киностеническими , скоростными и т. д.) теория скрытых движений позволяла механически интерпретировать лагранжианы, имеющие значение в теории теплоты и электродинамике. Вместе с тем упомянутые исследователи не обращали достаточного внимания на, так сказать, нетеровский аспект метода циклических координат. Ведь циклический характер некоторой координаты означает, что движение системы, как целого, соответствующее этой координате, никак не сказывается на свойствах системы. А это эквивалентно инвариантности (или симметрии) системы (ее лагранжиана или гамильтониана) относительно преобразования, характеризующего циклическое движение. Таким образом, устанавливается непосредственная связь между симметриями типа однородности и изотропности пространства с законами сохранения типа импульса. Характер циклической координаты (трансляционный иди вращательный) [c.236]

Мы сейчас покажем, как с помощью теории групп ее можно свести к системе второго порядка и четырем квадратурам. Метод, который мы опишем, в основном обобщает обычный метод циклических координат при переходе от лагранжевых динамических систем к нелагранжевым системам. После того как будет описан этот переход, мы укажем схему дальнейшего обобщения — на случай обыкновенных дифференциальных уравнений, инвариантных относительно некоторой группы. [c.191]

А ехр (— I г р/4 для каждого 2 е С и, таким образом, заключить, что л 0. Подставляя 2 = О в полученный выше результат, находим, что А — ненулевой оператор проектирования. Следовательно, в Ж существует по крайней мере один нормированный вектор Ф, такой, что ЛФ = Ф. Так как по предположению 28зс (С) — неприводимое представление, вектор Ф циклический (см. лемму к теореме 7). Для этого вектора образуем отображение ф ) = (Ф, W г) Ф) = (Ф, АШ (г) ЛФ) = = (Ф, ЛФ) ехр —I 2 Р/4 == ехр —12 р/4 . Заметим, что в представлении Шредингера в пространстве 2" (К) для всех e2 (R) справедливо равенство (и (г) )( ) = ехр —/ ( — х)/2 Р( — л ). Вычисляя ф (г) = (Ф, (г) Ф) для вакуумного вектора Ф( ) = = Я" / ехр — 1 /2 , получаем ф (г) = ехр — 2 р/4 . На основании теоремы 7 мы заключаем, что всякое неприводимое представление канонических перестановочных соотношений в форме Вейля для системы с одной степенью свободы унитарно-эквивалентно представлению Шредингера. Если бы исходное представление не было неприводимым, то всякое подпространство гильбертова пространства Ж, натянутое на векторы (1 (г) Ф 2 е С , где Ф удовлетворяет соотношению ЛФ = Ф, было бы устойчиво относительно рассматриваемого представления и, следовательно, могло бы служить носителем для неприводимого представления, унитарно-эквивалентного представлению Шредингера. Рассматривая эту конструкцию для ортонормированного базиса Ф/ в подпространстве гильбертова пространства Ж, образованном всеми векторами, устойчивыми относительно действия оператора Л, мы получаем полное доказательство теоремы 6. Действительно, обобщение на случай л(<оо) степеней свободы тривиально, поскольку для получения его достаточно заменить меру ёц г) в начале доказательства теоремы гауссовой мерой = которая, кстати сказать, является [c.310]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Вместе с этой системой материальных точек рассмотрим другую с N степенями свобо.ды и предположим, что координаты (/1, рг,. .., Рг — циклические, а координаты Рт+, <7г+г, Рн—нециклические. Предположим, что на вторую систему, как и на первую, наложены лишь стационарные связи. Пусть обобщенные силы (Зг+1, Qr+2,. .., QN в первой и второй материальных системах совпадают. На основании равенства (II. 345Ь) найдем [c.351]

Покажем теперь, что теоремы о сохранении, доказанные нами в главе 1, 2, могут быть получены из равенства (2.43) для циклических координат. Выберем для этого обобщенную координату Q] таким образом, чтобы дифференциал ее dqj был равен перемещению рассматриваемой системы как одного целого в заданном направлении. Примером такой координаты может служичь одна из декартовых координат центра масс системы. Тогда ясно, что qj не будет входить в выражение для Т, так как смещение системы в целом не влияет на скорости ее точек. Поэтому будет равно нулю. Кроме того, потенциал системы V [c.63]

Общая для всего мира тенденция улучшения рабочих параметров ГТД за счет увеличения степеней сжатия как следствие приводит к появлению большого числа коротких лопаток с собственными частотами колебаний даже по первой форме в области высоких звуковых частот циклов. Увеличение частоты / при данном ресурсе эксплуатации Тэ автоматически приводит к росту циклической наработки N. Поскольку ресурс Тэ также имеет тенденцию к росту, увеличивается относительное число усталостных повреждений среди возможных нарушений работоспособности деталей ГТД. Стала актуальной проблема оптимизации технологии коротких лопаток и связанных с ними элементов дисков по характеристикам сопротивления усталости на высоких звуковых частотах и эксплуатационных температурах, которые, как и частота нагружения, становятся все более высокими. Из-за жестких требований к весу деталей и сложности их конструкции в каждой из них имеет место около десятка примерно равноопасных зон, включающих различные по форме поверхности и концентраторы напряжений гладкие участки клиновидной формы, елочные пазы, тонкие скругленные кромки, га.лтели переходные поверхности), ребра охлаждения, малые отверстия, резьба и др. Даже при одинаковых методах изготовления, например при отливке лопаток, поля механических свойств, остаточных напряжений, структуры и других параметров физико-химического состояния поверхностного слоя в них получаются различными. К этому следует добавить, что из-за различий в форме обрабатывать их приходится разными методами. Комплексная оптимизация технологии изготовления таких деталей по характеристикам сопротивления усталости сразу всех равноопасных зон без использования ЭВМ невозможна. Поэтому была разработана система методик, рабочих алгоритмов и программ [1], которые за счет применения ЭВМ позволяют на несколько порядков сократить число технологических испытаний на усталость, необходимых для отыскания области оптимума методов изготовления деталей, а главное строить математические модели зависимости показателей прочности и долговечности типовых опасных зон деталей от обобщенных технологических факторов для определенных классов операций с общим механизмом процессов в поверхностном слое. Накапливая в магнитной памяти ЭВМ эти модели, можно применять их для прогнозирования наивыгоднейших режимов обработки новых деталей, которые в авиадвигателестроении часто меняются без трудоемких испытаний на усталость. Построение [c.392]

Стадийность процесса прежде всего связана с различным типом дефектных структур, самоорганизующихся при обмене системы энергией (и веществом) с окружающей средой. Эволюция дислокационной структуры в процессе деформации монокристаллов с ОЦК-решеткой, детально изученная в работах [35, 148, 216, 235 и др.], связана на различных стадиях со следующими дислокационными структурами стадия I — диполи из краевых дислокаций, винтовые дислокации и скопления дислокаций II — клубки дислокаций, границы ячеистой структуры III — ячеистая структура. Считают, что переход от одной стадии к другой, а следовательно и перестройка дислокационной структуры, связаны с изменением кристаллографии скольжения. В случае поликристаллических материалов также удается выделить эти стадии, в том числе при циклическом нагружении [35, 236, 237]. В работе [235] предложена обобщенная схема деформационного упрочнения поликристаллических ОЦК-металлов и сплавов (рис. 90), отражающая многостадийный и иерархический характер перест- [c.135]

Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.4) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака [31]. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской Р2 (4.4) при условиях X = О, Р2 = = О, определяющих обобщенный случай Делоне (О. И. Богоявленский [19]). Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...