Условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия консервативной системы

Теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия консервативной системы. Теорема Лагранжа дает достаточные условия устойчивости положения равновесия. Вопрос о том, [c.492]

Условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия консервативной системы [c.27]

Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы интересовало многих исследователей, однако задача эта до сих пор полностью не решена. Приведем без вывода две теоремы, содержащие достаточные условия неустойчивости положения равновесия. [c.441]

Если D=0, то система в малом не демпфирована и является консервативной. При D>0 система демпфирована, и на фазовой плоскости ее положение равновесия представляется устойчивой особой точкой типа фокуса или узла. Из решения (2.127) можно видеть, что при D<0 следует ожидать нарастающих колебаний положение равновесия при этом соответствует неустойчивой особой точке таких же типов. Этот случай, невозможный при собственных колебаниях, часто встречается при автоколебаниях. Однако метод малых колебаний дает здесь только условия, при которых могут возникнуть нарастающие колебания и система не будет оставаться вблизи положения равновесия. Исследование дальнейшего поведения возбужденных колебаний, например расчет предельного цикла, превышает возможности этого метода. [c.115]

Теорема Лагранжа определяет только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы если нотенциальиая анергия имеет в положении изолированного равновесия минимум, то равновесие устойчиво. Ляпунов первый поставил вопрос об обратимо-ти теоремы Лагранжа, а именно моя но ли утверждать, что при отсутствии минимума потенциальной энергии равновесие будет неустойчивым Ему принадлежат следующие две теоремы, которые приводятся здесь без доказательств (см. 135]). [c.81]

Теорема Лагранжа —Дирихле дает только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы, но она не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие устойчиво или неустойчиво, если в этом положении потенциальная энергия ле имеет минимума. Для одного частного случая ответ на этот [c.459]

Устойчивое и неустойчивое равновесие. Критерий устойчивости. Положения равновесия различаются по характеру движения, которое может совершать рассматриваемая система в соседстве с этими положениями. Если система, при достаточно малом начальном отклонении от положения равновесия и при достаточно малой начальной кинетической энергии, во всё время своего последующего движения будет находиться так близко от положения равновесия, как нам угодно, то положение равновесия называется устойчивым, точнее—положением устойчивого равновесия. Всякое же другое положение равновесия, не удовлетворяющее приведённым условиям, называется неустойчивым. Для консервативных систем Лежен-Дирихле (Lejeune-Diri hlet) дал следующее достаточное условие устойчивости если силовая [c.389]

Положения равновесия (q = 0) консервативной системы определяются из условия экстремума потенциальной энергии d[Jldq=Q. Устойчивому равновесию соответствует минимум (d nidq > 0), а неустойчивому—максимум (d nidq 0) потенциальной энергии. Уравнение (3) можно всегда проинтегрировать в квадратурах. [c.141]

МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ— состояние покоя или прямолинейноравномерного движения системы материальных точек (тела, звена, механизма). М. может 1ть устойчивым, неустойчивым и безразличным. При устойчивом равновесии достаточно малые отклонения системы (тела) от положения равновесия вызывают силы, стремящиеся вернуть ее в состояние равновесия. Условием устойчивого равновесия для консервативной системы (где механическая энергйя не превращается в тепловую) является минимум потенциальной энергии данной системы (теорема Лагранжа—Дирихле). Если на систему с идеальными связями действуют только силы тяжести, то устойчивым будет положение, при котором центр тяжести занимает самое низкое положение (принциТП Торичелли). [c.178]

Равновесие механич. системы устойчиво, если при малом возмущении (смещении, толчке) точки системы во всё последующее время мало отклоняются от равновесных положений в противном случае равновесие неустойчиво. Обычно при малых возмущениях точки системы, находящейся в положении устойчивого равновесия, совершают около их равновесных положений малые колебания, к-рые вследствие сопротивлений со временем затухают, и равновесие восстанавливается. Более строго У. р. определяется и исследуется так же, как и устойчивость движения. В случае механич. консервативной системы достаточное условие У. р. даётся теоремой Лагранжа — Дирихле, согласно к-рой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенц. энергия системы минимальна. См. также Устойчивость упругих систем. [c.797]