Колебания при нелинейной восстанавливающей силе

Колебания при нелинейной восстанавливающей силе [c.504]

Цля диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой (рис. 1, а) суммарная силовая характеристика показана на рис. 1,6 площадь, ограниченная гистерезисной петлей, по величине равна работе силы сопротивления за один период движения. При нелинейной восстанавливающей силе осевая (скелетная) линия гистерезисной петли — криволинейная (рис. 1, в). Если при заданной амплитуде изменяется частота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояния между ветвями петли и ограниченная ими площадь, как правило, изменяются, причем законы этих изменений зависят от характеристики сопротивления исключениями служат случаи кулонова трения, а также внутреннего трепия в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний (рис. 1,е). [c.17]

Для диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой осевая скелетная) линия петли гистерезиса представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 6.5.3, а). При нелинейной восстанавливающей силе скелетная линия петли гистерезиса -криволинейна (рис. 6.5.3, 6). Если при заданной амплитуде изменяется часг ота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояние между ветвями и ограниченная ими площадь, как правило, изменяется, причем законы этах изменений зависят от характеристики трения исключениями служат случаи кулонова трения (рис. 6.5.3, в), а также внутреннего трения в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний [66]. [c.365]

ОТ остальных сравнительно малых членов в (22), то можно сказать, что колебания при резонансе происходят с возрастающей пропорционально времени амплитудой. В частном случае б = О, Хо = 0, Хо = 0 график резонансного колебания показан на рис. 252. При неизбежном наличии сопротивлений (или нелинейности восстанавливающей силы) вынужденные колебания не увеличивают безгранично свою амплитуду ( 99). [c.72]

Основное уравнение. Рассмотрим вынужденные колебания системы с нелинейной восстанавливающей силой при действии гармонической возмущающей силы, предполагая, что неупругие [c.242]

Выше, при рассмотрении вынужденных колебаний систем с нелинейной восстанавливающей силой (см. п. 20) было отмечено, что в широком диапазоне частот возбуждения возможно несколько стационарных режимов колебаний. Для того чтобы выделить из нескольких решений физически осуществимые случаи, необходимо исследовать устойчивость названных режимов ясно, что в действительности реализуются только устойчивые режимы. Как будет показано, исследование устойчивости стационарных режимов приводит к задаче о параметрическом возбуждении. [c.284]

Супер- и субгармонические колебания. При действии гармонической вынуждающей силы на систему с нелинейной восстанавливающей силой кроме гармонических колебаний с частотой возбуждения (о одновременно происходят колебания с частотами та>, кратными частоте возбуждения т — целое число). Такие [c.31]

Кроме основных колебаний с частотой возбуждения (о и супер-гармонических колебаний, в системах с нелинейной восстанавливающей силой при гармоническом возбуждении могут также одновременно происходить субгармонические колебания с частотами (о/я (п — целое число). Субгармонические колебания могут возникать при относительно больших частотах возбуждения, причем их амплитуда может быть большой и превосходить амплитуду первой гармоники. На рис. 7 показаны зависимости амплитуд /1, и от частоты возбуждения для системы, описываемой дифференциальным уравнением [c.31]

Рассмотрим снова простейшую систему, случайные колебания которой описываются дифференциальным уравнением первого порядка (3.1). Будем считать нелинейную восстанавливающую силу F (и) нечетной аналитической функцией, представимой в виде степенного ряда. При конкретных расчетах введем кубический закон нелинейности [c.61]

Корреляционный метод позволяет исследовать и более общий вид систем, в которых нелинейные зависимости распространяются на производные случайных процессов. При нелинейных восстанавливающих и диссипативных силах уравнение случайных колебаний можно записать в форме [c.109]

Обобщенные позиционные силы - это силы, зависящие от положения точек системы, т.е. от обобщенных координат. Особое значение здесь имеют восстанавливающие силы, которые возникают при отклонении системы от положения равновесия. Эти силы обусловливают способность системы совершать свободные колебания. Основным типом восстанавливающих сил являются силы упругости. В простейшем случае линейно деформируемой системы восстанавливающая сила упругости пропорциональна отклонению системы. Свойства упругих связей при этом определяются коэффициентом жесткости, который представляет собой обобщенную силу, способную вызвать обобщенное единичное перемещение. Возможны случаи, когда между силой и отклонением существует нелинейная зависимость. При этом упругие свойства связей невозможно определить одним коэффициентом и приходится использовать так называемую упругую характеристику, уравнение которой Р=Р(х) иллюстрируется графиком в координатах х, Р. Упругая характеристика строится расчетным путём или экспериментально. [c.7]

Если рассматривать систему с одной степенью свободы, то функцию Ро д), взятую с обратным знаком восстанавливающую силу, — называют силовой характеристикой. При этом Ео( ) >-0. На рис. 17.32 показаны графики силовых характеристик, первый из них (рис. 17.32, а) относится к упругой системе с линейной, а второй и третий — к упругим системам с нелинейными силовыми характеристиками. В двух последних случаях дифференциальное уравнение колебания системы получается нелинейным. Если значение производной dFo(q)/йд, называемой квазиупругим коэффициентом, увеличивается с увеличением у [c.65]

Рис. 17.104. Резонансные (амплитудные) кривые (графики функций А=А(а), <а —частота вынуждающей силы) а) нелинейная система с жесткой восстанавливающей силой б) линейная система в) нелинейная система с мягкой восстанавливающей силой разрыв кривой происходит на скелетной линии—кривой зависимости собственной частоты от амплитуды при свободных колебаниях.

Линеаризацию нелинейных граничных условий (I. 5) или определение приведенной линейной жесткости опор можно выполнить любым из известных методов осреднения за период колебаний, применяемых в нелинейной механике. При любой нелинейной характеристике восстанавливающей силы / (у) имеется возможность для каждой амплитуды колебаний конца балки найти величину соответствующей приведенной линейной жесткости. Это возможно потому, что в данном случае можно найти связь между частотой свободных колебаний и ее амплитудой. Для получения приведенной линейной жесткости в опорах используем уравнение движения конца балки в предположении, что его масса равна единице и он отсоединен от остальной части балки. Пусть / (у) есть упругая характеристика опоры балки. Тогда уравнение движения конца балки будет иметь вид [c.13]

Цилиндр 1 с укрепленными на нем деталями имитирует приведенную массу руки ( 10 кг). Жесткость регулировочной пружины 13 составляет 3-10 Н/м. Упругий элемент 3, имитирующий жесткость руки, имеет нелинейную характеристику восстанавливающей силы. Электромагнитный демпфер с коэффициентом демпфирования порядка 80 Н-с/м имитирует вязкое трение руки человека. При испытаниях ручного инструмента имитатор прижимают к стенду, при этом цилиндр 1 перемещается на шариках И до совмещения указателя 12 с риской на цилиндре 1. Пружина 13 сжимается, а замкнутое кольцо 6 входит в магнитное поле демпфера. Ручной инструмент возбуждает колебания подвижных частей имитатора. Режим работы ручного инструмента с данным имитатором эквивалентен режиму работы инструмента в реальных производственных условиях. [c.392]

При весьма малых колебаниях систем с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы можно пользоваться изложенной выше линейной теорией. Пусть, например, система на рис. 11.25, г нагружена значительной статической силой Р и совершает малые свободные колебания около соответствующего положения равновесия, обозначенного на рис. 11.25, г буквой А. При этом колебания можно считать линейными, принимая за коэффициент жесткости системы тангенс угла наклона касательной к нелинейной характеристике в точке А [c.69]

Дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы при нелинейной характеристике восстанавливающей силы составляется аналогично уравнению (И.1), но вместо линейной восстанавливающей силы в него нужно ввести нелинейную силу, конкретное выражение которой определяется упругой характеристикой системы Р (х) [c.71]

Хотя это уравнение выведено для схемы, показанной на рис. 1.1,6, но к аналогичному уравнению можно прийти при решении любой задачи о свободных колебаниях нелинейной системы с одной степенью свободы без трения. Так, для системы, совершающей крутильные колебания, в эту формулу вместо массы т нужно подставить момент инерции /, вместо перемещения X — угол поворота ф, вместо восстанавливающей силы Р х) — восстанавливающий момент М (ф). [c.71]

При вращении несбалансированного ротора в МП с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы могут возникнуть вынужденные ультра- и субгармонические колебания. Однако, как показано в работе [1], такие колебания не возникают, если коэффициент демпфирования в системе больше некоторой величины [c.40]

Широкий круг задач образуют динамические системы с конечным числом степеней свободы с нелинейными восстанавливающими и диссипативными силами при случайных внешних воздействиях. К ним, в частности, относятся системы виброзащиты и амортизации с нелинейными характеристиками. Б реальных условиях эксплуатации большинство таких систем испытывает воздействия случайного характера. Случайные динамические процессы возникают практически во всех транспортных средствах (летательные аппараты, наземный транспорт, морские суда) случайную природу имеют сейсмические и акустические воздействия случайные колебания температуры, как правило, сопровождают смену тепловых режимов. Случайные процессы сопровождают технологические операции изготовления конструкций, например при обработке резанием возникают случайные автоколебания. [c.78]

Особенностью системы (4.5) является то, что фазовая переменная и входит в каждое уравнение в единственной степени т, а переменная v фигурирует в трех разных степенях и" , v", f"+. Благодаря этому при каждом фиксированном т мы имеем независимую бесконечную цепочку связанных уравнений с трехдиагональной матрицей. Структура моментных соотношений (4.5) весьма проста и позволяет выполнить исчерпывающий анализ. Более громоздкую форму имеют соответствующие уравнения при существенно нелинейных характеристиках. Рассмотрим в качестве примера одномассовую систему с восстанавливающей силой, которая описывается дробно-рациональной функцией. Уравнение случайных колебаний запишем в виде [c.89]

Позиционные силы — силы, зависящие от перемещения колебательной системы. Среди позиционных сил особое значение имеют восстанавливающие силы. К таким силам относят силы, возникающие при отклонениях системы от положения равновесия и стремящиеся вернуть ее в это положение. Восстанавливающие силы F = F (у) зависят (линейно или нелинейно) от перемещений у системы и не только влияют на движение системы, но и сами управляются этим движением. Колебательные свойства механических систем обусловлены в основном наличием восстанавливающих сил. При действии толь-ко восстанавливающих сил система совершает свободные колебания. [c.218]

Следовательно, если аналитическое выражение для восстанавливающей силы задано, период колебания. системы можно определить с помощью интеграла (2.7). Кроме того, из соотношения (2.6) можно получить выражение для скорости х в крайнем положении в зависимости от перемещения л в крайнем положении. Это выра-жение удобно использовать при определении максимальной скорости перемещения в нелинейной системе, в которой было задано начальное смещение, а затем предоставлена возможность колебаться свободно. [c.141]

В нелинейных системах возможны вынужденные колебания не только с верхними частотами, но и с нижними частотами, составляющими лишь часть от частоты возмущения. Здесь мы ограничимся рассмотрением одного частного примера движение осциллятора с восстанавливающей силой, пропорциональной третьей степени отклонения, при гармоническом возмущении описывается дифференциальным уравнением [c.247]

Ограничиваясь случаем линейного сопротивления, воспользуемся принципом гармонического баланса в форме, указанной А. М. Кацем ). В целях удобства примем такие обозначения постоянных, которые в предельном случае отсутствия нелинейности ( х = 0) приводят к формулам линейной теории колебаний в хорошо известных обозначениях. Для общности, следуя Кацу, представим сначала восстанавливающую силу F iq) в общем виде, полагая лишь, что F (д) — нечетная функция, т. е. F —q) = — F q) при этом функция г]) (i) изменяется, как и ранее, по закону косинуса. [c.165]

При резонансе со скачком зависимость амплитуды выходной величины от частоты возмущающих колебаний получается неоднозначной, резонансный пик изогнут в направлении увеличения частоты или Б обратную сторону (рис. 7.7). Резонанс со скачком можно обнаружить Б системе, обладающей массой, вязким трением и нелинейной зависимостью восстанавливающей силы от перемещения массы (например, нелинейная характеристика пружины). [c.145]

Среди нелинейных задач статистической динамики особое место занимает исследование систем с прощелкиванием , т. е. таких систем, которые обладают несколькими устойчивыми положениями равновесия. Классическим примером являются стаци-онарные случайные колебания системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе вида [c.75]

Формирование на АВМ диаграммы восстанавливающая сила— перемещение как реализации нелинейной восстанавливающей силы при решении нелинейных динамических систем типа (7.62) является одним из самых сложных вопросов в методе аналогового моделирования. Поэтому подробнее рассмотрим методику формирования на АВМ такой диаграммы (см. рис. 77). Здесь Rj- — предельно упругая восстанавливающая сила г/д — остаточная деформация системы за полуцикл колебаний ki = tg i — жесткость упругой системы =tgaa—коэффициент упрочнения. [c.295]

Системы с нелинейной восстанавливающей силой. При действии гармонической вынуждающей силы Q = Qq sin pt в системе с нелинейной восстанавливающей силой возникают периодические (но не гармонические) колебания, которые можно представить в виде суммы гармоник. Частота первой из них (основной гармоники) равна заданной частоте р. Гармоники с частотами 2р, 2р,... называют супергармониками. [c.370]

Рнс. 17.103. Резонансные (амплитудные) кривые (графики функций Л = А (а>) а, г) нелинейная система с жесткой восстанавливающей силой (р. > 0) 6, di линейная система (р = 0) в, el нелинейная система с мягкой восстанавливающей силой (р < 0) А —амплитуда обобщенной координаты д о)—частота вынуждающей силы 1—скелетная линия — кривая зависимости собственной частоты от амплитуды при свободных колебаниях (о) — собственная частота). Фигуры а, 6, в относятся к случаю действия вынуждающей силы Q = Q alntt)<, фигуры г, д, е—к действию вынуждающей силы < = Q sin oi. [c.233]

Упругая подвеска гасителя в виде силового сильфона 4 и управляющего сильфона 9 с учетом реакции струи из сопла 11 имеет нелинейную характеристику восстанавливающей силы. Кроме того, в реальной системе имеет место демпфирование, трудно поддающееся расчету. Поэтому необходимо провести экспериментальный анализ фазовых характеристик элет ментов гасителя. На рис. 4 приведены фазочастотные характеристики элемента сопло — заслонка — силовой цилиндр (силовой части системы) при разных значениях диаметра сопла d и диаметра дросселя Тд, полученные экспериментально на стенде, схема которого приведена на рис. 5 Колебания давления в силовом цилиндре регистрировались фольговым [c.214]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Явления Р. в нелинейныхсисте-м а X, т. е. в системах, параметры к-рых зависят от координат или скоростей, несравненно более сложны и подчас даже выходят из рамок того определения Р., к-рое дано в начале статьи. При этом характер явлений существенно зависит от характера нелинейности , т. е. от того, какие именно параметры системы не остаются величинами постоянными и зависят напр, от координат или скоростей. В этом смысле следует различать два случая. 1) Нелинейность в параметрах, существенно определяющих собственную частоту системы (т. е. зависимость этих параметров от координат или скоростей) в емкости и самоиндукции для электрич. систем или в упругости и массе (или моменте инерции) для механич. систем. Такие системы нередко встречаются на практике. Примером емкости, величина к-рой зависит от заряда, может служить конденсатор с диэлектриком из сегнетовой соли, а самоиндукции, величина которой зависит от силы тока,—катушка с железным сердечником. В механич. системах особенно часто встречаются случаи переменной упругости, вообще переменной восстанавливающей силы.Примером этого могут служить обычный маятник при больших амплитудах, пружина при столь больших отклонениях, при к-рых нарушается закон Гука, и т. д. Во всех этих случаях частота собственных колебаний системы зависит от амплитуды колебаний, и термин собственная частота системы теряет свою определенность. Вместе с тем и явления Р. приобретают совершенно иной характер. В некоторых случаях явлений Р., в смысле наступления резкого максимума амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешней силы, вообще не наступает. Зато, с другой стороны, наступают новые явления—неустойчивые положения, срывы, резкое скачкообразное изменение амплитуды и фазы вынужденного колебания. 2) Переменное сопротивление в электрич. системах ( неомические проводники) и переменное трение в механических системах. Примером таких систем могут служить колебательный контур, в к-рый включена нить, накаливаемая током (t°, а значит и сопротивление нити, зависит от силы тока), регенератор (см.), т. е. колебательный контур с электронной лампой и обратной связью, механич. колебательная система с трением (напр, в подшипнике), зависящим от скорости, и т. д. В этих случаях, если трение не достигает слишком больших значений, т. ч. система не слишком сильно затухает при всех значениях амплитуд вынужденных колебаний, явление Р. качественно [c.217]

Метод усреднения Ритца успешно применялся к различным задачам, включая свободные и вынужденные колебания нелинейных систем. Высокая точность была достигнута при использовании одночленного приближения для систем с восстанавливающей силой, описываемой симметричными функциями -го порядка, а также кусочно-линейными функциями. Уравнение Дюффинга является только одним из примеров такого типа. Для систем с восстанавливающими силами несимметричного вида требуется использовать по крайней мере двучленные приближения и при этом быстро растут трудности алгебраического характера. [c.164]

В разд. 2.1.3.5 были исследованы собственные колебания нелинейного осциллятора с восстанавливающей силой f x)=h sign х. Теперь мы рассмотрим вынужденные колебания этого же осциллятора, порожденные гармоническими возмущак)щими силами. При отсутствии демпфирующих сил уравнение движения имеет вид [c.232]

При исследовании уравнения автономной системы (2.1) указывалось, что коэффициент инерции а всегда положителен, коэффициент жесткости с — положителен в случае восстанавливающей силы, отрицателен в случае силы отталкивания, когда система теряет устойчивость в этом последнем случае коэффициенту с целесообразно дать более общее наименование — квазмуяругмй коэффициент. Что касается коэффициента Ь, то, как упоминалось (стр. 33), он также в некоторых случаях может быть отрицательным, характеризуя собой уже не силу сопротивления, а ускоряющую силу, способную породить автоколебания, рассматриваемые в главе III с помощью методов нелинейной теории колебаний. Оставаясь в рамках линейной теории, мы можем лишь утверждать, что отрицательность коэффициента Ь приводит к расходящемуся процессу, что очевидно из теории дифференциальных уравнений [ 4] и что будет показано сейчас при построении решения уравнения (2.1). Формально, сохраняя терминологию, мы называем этот случай случаем отрицательного сопротивления (стр. 33), для исследования которого воспользуемся полученным результатом, изменяя знаки у соответствующих коэффициентов. [c.60]

Диссипативные системы характеризуются рассеянием энергии за счет сопротивлений, что при отсутствии поступления энергии извне обусловливает затухание колебательного процесса. Мы рассмотрим здесь две наиболее существенные нелинейные задачи свободные колебания системы с сухим, или кулоновым трением и свободные колебания с квадратичным сопротивлением. В обоих случаях ограничимся линейной восстанавливающей силой. В заключение рассмотрим графический метод, предложенный французским инженером Льенаром и одинаково эффективный в применении к диссипативным системам и к системам автоколебательным, которым посвящен следующий параграф. [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...