Колебания системы с нелинейной восстанавливающей силой

Основное уравнение. Рассмотрим вынужденные колебания системы с нелинейной восстанавливающей силой при действии гармонической возмущающей силы, предполагая, что неупругие [c.242]

Последнее выражение практически совпадает с известными в литературе приближенными выражениями для амплитуды колебаний системы с нелинейной восстанавливающей силой в резонансной [c.81]

Ксли в уравнения (62) взять = 0, то получится случай свободных колебаний системы с нелинейной восстанавливающей силой. В этом случае уравнение (62) приводится к виду [c.159]

Для анализа колебаний любой механической системы с нелинейной восстанавливающей силой прежде всего необходимо иметь упругую характеристику этой силы, т. е. аналитическую или графическую зависимость между статической нагрузкой на систему и соответствующим перемещением. В некоторых случаях надежные сведения о таких характеристиках могут быть получены только экспериментально, но иногда их можно найти также расчетным путем. [c.64]

Кроме основных колебаний с частотой возбуждения (о и супер-гармонических колебаний, в системах с нелинейной восстанавливающей силой при гармоническом возбуждении могут также одновременно происходить субгармонические колебания с частотами (о/я (п — целое число). Субгармонические колебания могут возникать при относительно больших частотах возбуждения, причем их амплитуда может быть большой и превосходить амплитуду первой гармоники. На рис. 7 показаны зависимости амплитуд /1, и от частоты возбуждения для системы, описываемой дифференциальным уравнением [c.31]

Поясним сказанное примером из области вынужденных колебаний систем с нелинейной восстанавливающей силой (см. гл. II, 7). Дифференциальное уравнение колебаний такой системы имеет вид [c.175]

Рис. 17.104. Резонансные (амплитудные) кривые (графики функций А=А(а), <а —частота вынуждающей силы) а) нелинейная система с жесткой восстанавливающей силой б) линейная система в) нелинейная система с мягкой восстанавливающей силой разрыв кривой происходит на скелетной линии—кривой зависимости собственной частоты от амплитуды при свободных колебаниях.

Цля диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой (рис. 1, а) суммарная силовая характеристика показана на рис. 1,6 площадь, ограниченная гистерезисной петлей, по величине равна работе силы сопротивления за один период движения. При нелинейной восстанавливающей силе осевая (скелетная) линия гистерезисной петли — криволинейная (рис. 1, в). Если при заданной амплитуде изменяется частота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояния между ветвями петли и ограниченная ими площадь, как правило, изменяются, причем законы этих изменений зависят от характеристики сопротивления исключениями служат случаи кулонова трения, а также внутреннего трепия в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний (рис. 1,е). [c.17]

Для диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой осевая скелетная) линия петли гистерезиса представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 6.5.3, а). При нелинейной восстанавливающей силе скелетная линия петли гистерезиса -криволинейна (рис. 6.5.3, 6). Если при заданной амплитуде изменяется часг ота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояние между ветвями и ограниченная ими площадь, как правило, изменяется, причем законы этах изменений зависят от характеристики трения исключениями служат случаи кулонова трения (рис. 6.5.3, в), а также внутреннего трения в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний [66]. [c.365]

Рассмотрите одномерные колебания груза единичной массы на пружине с нелинейной восстанавливающей силой У(х) = -2х+4ах в пренебрежении трением. Постройте фазовые портреты системы для жесткой (с <0) и мягкой (а>0) пружин. [c.97]

Если рассматривать систему с одной степенью свободы, то функцию Ро д), взятую с обратным знаком восстанавливающую силу, — называют силовой характеристикой. При этом Ео( ) >-0. На рис. 17.32 показаны графики силовых характеристик, первый из них (рис. 17.32, а) относится к упругой системе с линейной, а второй и третий — к упругим системам с нелинейными силовыми характеристиками. В двух последних случаях дифференциальное уравнение колебания системы получается нелинейным. Если значение производной dFo(q)/йд, называемой квазиупругим коэффициентом, увеличивается с увеличением у [c.65]

Функции Го и fI — характеристики соответственно восстанавливающей силы и силы сопротивления (диссипативной силы). Для того чтобы система относилась к диссипативным, наличие члена, содержащего / (с ), обязательно. Наличие функции Га(д) придает движению системы колебательный характер. Для того чтобы колебания системы были нелинейными, должна иметь место нелинейность хотя бы одной из функций Го и I. [c.222]

При весьма малых колебаниях систем с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы можно пользоваться изложенной выше линейной теорией. Пусть, например, система на рис. 11.25, г нагружена значительной статической силой Р и совершает малые свободные колебания около соответствующего положения равновесия, обозначенного на рис. 11.25, г буквой А. При этом колебания можно считать линейными, принимая за коэффициент жесткости системы тангенс угла наклона касательной к нелинейной характеристике в точке А [c.69]

Широкий круг задач образуют динамические системы с конечным числом степеней свободы с нелинейными восстанавливающими и диссипативными силами при случайных внешних воздействиях. К ним, в частности, относятся системы виброзащиты и амортизации с нелинейными характеристиками. Б реальных условиях эксплуатации большинство таких систем испытывает воздействия случайного характера. Случайные динамические процессы возникают практически во всех транспортных средствах (летательные аппараты, наземный транспорт, морские суда) случайную природу имеют сейсмические и акустические воздействия случайные колебания температуры, как правило, сопровождают смену тепловых режимов. Случайные процессы сопровождают технологические операции изготовления конструкций, например при обработке резанием возникают случайные автоколебания. [c.78]

Для свободных колебаний нелинейных систем характерна зависимость частоты свободных колебаний от начальных условий, т. е. от размахов колебаний. Так, например, если у системы с одной степенью свободы характеристика восстанавливающей силы симметрична (см. рис. 17.33), то [c.221]

Дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы при нелинейной характеристике восстанавливающей силы составляется аналогично уравнению (И.1), но вместо линейной восстанавливающей силы в него нужно ввести нелинейную силу, конкретное выражение которой определяется упругой характеристикой системы Р (х) [c.71]

Хотя это уравнение выведено для схемы, показанной на рис. 1.1,6, но к аналогичному уравнению можно прийти при решении любой задачи о свободных колебаниях нелинейной системы с одной степенью свободы без трения. Так, для системы, совершающей крутильные колебания, в эту формулу вместо массы т нужно подставить момент инерции /, вместо перемещения X — угол поворота ф, вместо восстанавливающей силы Р х) — восстанавливающий момент М (ф). [c.71]

При вращении несбалансированного ротора в МП с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы могут возникнуть вынужденные ультра- и субгармонические колебания. Однако, как показано в работе [1], такие колебания не возникают, если коэффициент демпфирования в системе больше некоторой величины [c.40]

Особенностью системы (4.5) является то, что фазовая переменная и входит в каждое уравнение в единственной степени т, а переменная v фигурирует в трех разных степенях и" , v", f"+. Благодаря этому при каждом фиксированном т мы имеем независимую бесконечную цепочку связанных уравнений с трехдиагональной матрицей. Структура моментных соотношений (4.5) весьма проста и позволяет выполнить исчерпывающий анализ. Более громоздкую форму имеют соответствующие уравнения при существенно нелинейных характеристиках. Рассмотрим в качестве примера одномассовую систему с восстанавливающей силой, которая описывается дробно-рациональной функцией. Уравнение случайных колебаний запишем в виде [c.89]

Рассмотрим свободные колебания системы без демпфирования и с нелинейной упругой симметричной восстанавливающей силой. Уравнение движения в этом случае имеет вид [c.140]

Следовательно, если аналитическое выражение для восстанавливающей силы задано, период колебания. системы можно определить с помощью интеграла (2.7). Кроме того, из соотношения (2.6) можно получить выражение для скорости х в крайнем положении в зависимости от перемещения л в крайнем положении. Это выра-жение удобно использовать при определении максимальной скорости перемещения в нелинейной системе, в которой было задано начальное смещение, а затем предоставлена возможность колебаться свободно. [c.141]

В нелинейных системах возможны вынужденные колебания не только с верхними частотами, но и с нижними частотами, составляющими лишь часть от частоты возмущения. Здесь мы ограничимся рассмотрением одного частного примера движение осциллятора с восстанавливающей силой, пропорциональной третьей степени отклонения, при гармоническом возмущении описывается дифференциальным уравнением [c.247]

Свободные колебания систем с нелинейной восстанавливающей силой обладают свойством периодичности, но в отличие от линейных систем они неызохронны, т.е. период колебаний зависит от начальных условий. Такие колебания в системах без трения можно представить как сумму гармонических составляющих (гармоник) [c.365]

Системы с нелинейной восстанавливающей силой. При действии гармонической вынуждающей силы Q = Qq sin pt в системе с нелинейной восстанавливающей силой возникают периодические (но не гармонические) колебания, которые можно представить в виде суммы гармоник. Частота первой из них (основной гармоники) равна заданной частоте р. Гармоники с частотами 2р, 2р,... называют супергармониками. [c.370]

Рнс. 17.103. Резонансные (амплитудные) кривые (графики функций Л = А (а>) а, г) нелинейная система с жесткой восстанавливающей силой (р. > 0) 6, di линейная система (р = 0) в, el нелинейная система с мягкой восстанавливающей силой (р < 0) А —амплитуда обобщенной координаты д о)—частота вынуждающей силы 1—скелетная линия — кривая зависимости собственной частоты от амплитуды при свободных колебаниях (о) — собственная частота). Фигуры а, 6, в относятся к случаю действия вынуждающей силы Q = Q alntt)<, фигуры г, д, е—к действию вынуждающей силы < = Q sin oi. [c.233]

Если система имеет нелинейную восстанавливающую силу и вынуждаю щая сила изменяется по гармоническому закону, то кроме гармонических ко лебаний, происходящих с частотой вынуждающей силы (о), одновременно происходят колебания с частотами ты (супергармоначеские колебания) и могут произойти колебания с частотами со/п (субгармонические колебания). Существует и более общий тип колебаний, происходящих с частотой ты/п (комбинационные колебания). [c.235]

Прямолинейные колебательные движения материальной точки иод действием линейной восстанавливающей силы, силы сопротивления, проно1)циональной первой степени скорости, и постоянной силы трения были рассмотрены в гл. XXI. Полученные там результаты обобщаются в настоящей главе на случай системы материальных точек, подчиненной стационарным связям и имеющей одну степень свободы. Вместе с тем дается представление о колебаниях, развивающихся под действием нелинейных восстанавливающих сил и силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости. Содержание этой и двух следующих глав курса можно рассматривать как введение в теорию колебаний, представляющую собой одну из наиболее важных областей приложений теоретической механики к вопросам техники. [c.479]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Среди нелинейных задач статистической динамики особое место занимает исследование систем с прощелкиванием , т. е. таких систем, которые обладают несколькими устойчивыми положениями равновесия. Классическим примером являются стаци-онарные случайные колебания системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе вида [c.75]

Диссипативные системы характеризуются рассеянием энергии за счет сопротивлений, что при отсутствии поступления энергии извне обусловливает затухание колебательного процесса. Мы рассмотрим здесь две наиболее существенные нелинейные задачи свободные колебания системы с сухим, или кулоновым трением и свободные колебания с квадратичным сопротивлением. В обоих случаях ограничимся линейной восстанавливающей силой. В заключение рассмотрим графический метод, предложенный французским инженером Льенаром и одинаково эффективный в применении к диссипативным системам и к системам автоколебательным, которым посвящен следующий параграф. [c.121]

Упругая подвеска гасителя в виде силового сильфона 4 и управляющего сильфона 9 с учетом реакции струи из сопла 11 имеет нелинейную характеристику восстанавливающей силы. Кроме того, в реальной системе имеет место демпфирование, трудно поддающееся расчету. Поэтому необходимо провести экспериментальный анализ фазовых характеристик элет ментов гасителя. На рис. 4 приведены фазочастотные характеристики элемента сопло — заслонка — силовой цилиндр (силовой части системы) при разных значениях диаметра сопла d и диаметра дросселя Тд, полученные экспериментально на стенде, схема которого приведена на рис. 5 Колебания давления в силовом цилиндре регистрировались фольговым [c.214]

Явления Р. в нелинейныхсисте-м а X, т. е. в системах, параметры к-рых зависят от координат или скоростей, несравненно более сложны и подчас даже выходят из рамок того определения Р., к-рое дано в начале статьи. При этом характер явлений существенно зависит от характера нелинейности , т. е. от того, какие именно параметры системы не остаются величинами постоянными и зависят напр, от координат или скоростей. В этом смысле следует различать два случая. 1) Нелинейность в параметрах, существенно определяющих собственную частоту системы (т. е. зависимость этих параметров от координат или скоростей) в емкости и самоиндукции для электрич. систем или в упругости и массе (или моменте инерции) для механич. систем. Такие системы нередко встречаются на практике. Примером емкости, величина к-рой зависит от заряда, может служить конденсатор с диэлектриком из сегнетовой соли, а самоиндукции, величина которой зависит от силы тока,—катушка с железным сердечником. В механич. системах особенно часто встречаются случаи переменной упругости, вообще переменной восстанавливающей силы.Примером этого могут служить обычный маятник при больших амплитудах, пружина при столь больших отклонениях, при к-рых нарушается закон Гука, и т. д. Во всех этих случаях частота собственных колебаний системы зависит от амплитуды колебаний, и термин собственная частота системы теряет свою определенность. Вместе с тем и явления Р. приобретают совершенно иной характер. В некоторых случаях явлений Р., в смысле наступления резкого максимума амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешней силы, вообще не наступает. Зато, с другой стороны, наступают новые явления—неустойчивые положения, срывы, резкое скачкообразное изменение амплитуды и фазы вынужденного колебания. 2) Переменное сопротивление в электрич. системах ( неомические проводники) и переменное трение в механических системах. Примером таких систем могут служить колебательный контур, в к-рый включена нить, накаливаемая током (t°, а значит и сопротивление нити, зависит от силы тока), регенератор (см.), т. е. колебательный контур с электронной лампой и обратной связью, механич. колебательная система с трением (напр, в подшипнике), зависящим от скорости, и т. д. В этих случаях, если трение не достигает слишком больших значений, т. ч. система не слишком сильно затухает при всех значениях амплитуд вынужденных колебаний, явление Р. качественно [c.217]

При исследовании уравнения автономной системы (2.1) указывалось, что коэффициент инерции а всегда положителен, коэффициент жесткости с — положителен в случае восстанавливающей силы, отрицателен в случае силы отталкивания, когда система теряет устойчивость в этом последнем случае коэффициенту с целесообразно дать более общее наименование — квазмуяругмй коэффициент. Что касается коэффициента Ь, то, как упоминалось (стр. 33), он также в некоторых случаях может быть отрицательным, характеризуя собой уже не силу сопротивления, а ускоряющую силу, способную породить автоколебания, рассматриваемые в главе III с помощью методов нелинейной теории колебаний. Оставаясь в рамках линейной теории, мы можем лишь утверждать, что отрицательность коэффициента Ь приводит к расходящемуся процессу, что очевидно из теории дифференциальных уравнений [ 4] и что будет показано сейчас при построении решения уравнения (2.1). Формально, сохраняя терминологию, мы называем этот случай случаем отрицательного сопротивления (стр. 33), для исследования которого воспользуемся полученным результатом, изменяя знаки у соответствующих коэффициентов. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...