Решение возмущенное, невозмущенное

Причина, по которой имеет определенный смысл заняться упрощенной невозмущенной задачей, заключается в том, что невозмущенная задача довольно близка к интересующей нас задаче, так что ее решение имеет по меньшей мере некоторое отношение к решению действительно нужной задачи. Более того, обычно удается найти решение возмущенной задачи в виде ряда по степеням некоторого параметра, входящего в виде множителя при возмущении,— так, например, как входит множитель К в выражение (7.101) тогда можно надеяться — поскольку предполагается достаточная малость X, — что несколько первых членов полученного ряда обеспечат хорошую аппроксимацию решения возмущенной задачи. [c.184]

Другое направление работ по оптимальному управлению опиралось на концепцию возмущенного-невозмущенного движения и выделения класса задач по синтезу оптимальных регуляторов, предложенную Ляпуновым. Была дана строгая постановка задачи синтеза, использующая эту ляпуновскую концепцию, и были даны первые простейшие ее решения в случае стационарных и нестационарных линейных объектов управления, оптимизируемых по квадратичному критерию, при ограничениях на перемещение или скорость регулирующего органа. Это направление охватывает теперь нелинейные системы, системы с запаздыванием и системы со случайными параметрами. [c.272]

Пользуясь решением (8) невозмущенного уравнения (7), а также имея в виду малость параметра е, будем считать, что и формы колебаний возмущенного уравнения с достаточной точностью определяются функциями sin X x. Поэтому решение уравнений (5) с учетом равенств (9) будем искать в виде [c.129]

Эта формула связывает возмущение функционала AF с возмущениями оператора, источника и параметра правой части сопряженного уравнения. Ее можно считать точной до тех пор, пока в нее подставляются возмущенные значения Если же возмущения Л1 и AQ столь малы, что несильно искажают функцию /(г, т), то в выражении (1.55) можно сделать замену / (г, т) /(г, т). При этом (1.55) перейдет в формулу теории малых возмущений, которая дает возможность, пользуясь известными невозмущенными функциями f(r, т) и f+(r, т), найти в первом приближении изменения величины F f) при изменении условий задачи. Особенно это существенно для тех случаев, когда прямое решение возмущенной задачи затруднительно даже для численного расчета (например, когда возмущение носит локальный характер) или не может обеспечить нужной точности. [c.23]

Процедура теории возмущений максимально использует априорную информацию об исследуемых процессах. Эта информация в виде решений основной (невозмущенной) задачи динамики и сопряженной задачи, (функций ценности) может быть получена однажды и заранее для определенного класса процессов и зане-<Гена в память ЭВМ. [c.180]

Исходя из вида решения (121) невозмущенного уравнения. (120) и предполагая, что при достаточно малом (х формы нормальных колебаний при наличии возмущений с достаточной точностью определяются теми же функциями sin (пях/Z) (га = 1, 2,...), будем искать решение возмущенного уравнения (117) в виде ряда [c.161]

Это частное решение назовем невозмущенным движением. Все другие решения системы будем называть возмущенными движениями. [c.571]

Широко известный метод возмущений сводится к приближенному нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы где — невозмущенная матрица — матрица возмущения б — малый параметр возмущения. Собственные векторы и собственные значения матрицы М ищутся в виде разложений по малому параметру 6, причем в нулевом приближении собственные векторы и собственные значения совпадают с решениями для невозмущенной матрицы. [c.159]

Теорема 1. Периодические решения невозмущенной задачи — невертикальные постоянные вращения вокруг главных осей инерции — не исчезают при добавлении возмущения, а при малых /х переходят в периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от малого параметра /х. Они существуют на каждом ненулевом уровне интеграла энергии. [c.81]

Инвариантный тор 1 = 1° невозмущенной задачи сплошь заполнен траекториями периодических решений. Спрашивается, если fl ф О, но очень мало, существуют ли периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от параметра /X и при /X = О, совпадающие с некоторыми периодическими решениями невозмущенной системы [c.87]

Тогда при малых Ц ф О существует периодическое решение возмущенной системы, период которого равен Т оно аналитически зависит от параметра /х и при /х = О совпадает с периодическим решением невозмущенной системы [c.87]

Поведение решений возмущенной задачи исследовалось численно в работе [196]. Па рис. 21 показаны результаты вычислений при разных значениях возмущающего параметра . Хорошо видно, что картина инвариантных кривых невозмущенной задачи начинает разрушаться именно в окрестности сепаратрис. [c.270]

Теория возмущений представляет собой весьма полезный набор приемов предназначенных для приближенного решения возмущенных задач, близких к невозмущенным , решенным точно. Эти приемы легко оправдать, если речь идет об исследовании движений на небольшом интервале времени. Вопрос о том, в какой мере можно доверять выводам теории возмущений при исследовании движения на больших и бесконечных интервалах времени, изучен весьма мало. [c.238]

Решение уравнений возмущенного движения определяется теми же формулами (12.5), что и решение уравнений невозмущенного дв и- [c.570]

Мы можем затем выразить координаты Солнца (относительно С), входящие в Р. по формулам эллиптического движения через в,, е, и т. д., где вр в, и т. д.—постоянные. Отметим в этой связи различие между теорией Луны и теорией планет. В последнем случае координаты возмущающего тела подставляются в возмущающую функцию в виде алгебраических функций, представляющих решение уравнений невозмущенного движения, но в,, б, и т. д. являются уже не постоянными, а фактически новыми переменными, удовлетворяющими уравнениям Лагранжа. Это будет сказываться на членах второго порядка в возмущениях рассматриваемой планеты. [c.132]

Если решение уравнений невозмущенного движения выражено, как это было сделано в предыдущих параграфах, через канонические постоянные а, и , (i = 1, 2, 3), то уравнения возмущенного движения планеты имеют вид [c.199]

Обсудим необходимые условия справедливости соотношения (B.2) . Если / является собственным вектором оператора Я, Я/ = Л/, то u t) = exp —iXt)f и зависимость решения уравнения (В.1) от времени тривиальна. Однако из-за того, что собственные числа сдвигаются при сколь угодно слабых возмущениях, невозмущенная задача, вообще говоря, не имеет решений с таким же поведением при t со. Аналогично нельзя ожидать выполнения соотношения (B.2) при / из сингулярного непрерывного подпространства оператора Я. Впрочем, типичным для обсуждаемых в теории рассеяния случаев является отсутствие сингулярного непрерывного спектра у обоих операторов. [c.13]

Нетрудно убедиться, что при В>0 (10.22) будет уравнением гиперболического типа. При постановке для него задачи Коши следует задать помимо и(х, 0) также ди х, 0) ди Пусть, например, задано начальное распределение концентрации с х, 0) = >=1(х). Отнесем это условие и к средней концентрации, а для второго дополнительного условия используем усредненное уравнение переноса (10.16) при t=0. Естественно полагать, что решение возмущенного уравнения (10.22) при малых временах t должно быть близким к решению невозмущенного уравнения, т. е. уравнения (10.3), в котором v W. Естественно также считать, что должны быть близки и их производные, в частности производные по времени. Для невозмущенного уравнения начальное значение дu/дt не задается, его можно найти из уравнения невозмущенного переноса (10.16) при =0 [c.228]

Все утверждения, сформулированные в данном параграфе, очевидно, будут справедливы и в том случае, когда решение возмущенной задачи рассматривается на произвольном временном промежутке Г, содержащем точку /о, если только на этом промежутке определено решение невозмущенной задачи. [c.17]

Как видно из изложенного, для реализации описанной схемы прежде всего нужно установить структуру оптимального управления в возмущенной задаче. В случае регулярных возмущений эта структура идентифицируется базовой задачей, которая формально получается из исходной, если малый параметр устремить к нулю. Не всегда решения возмущенной и базовой задач имеют одинаковую структуру см., например, [41]). Тем не менее, решение базовой задачи содержит достаточную информацию для нахождения структуры оптимального управления в регулярно возмущенной задаче. Сложнее обстоит дело с сингулярными возмущениями. В этом случае, как будет показано, далеко не всегда представляется возможным установить структуру оптимального управления, опираясь на решение лишь одной невозмущенной задачи. [c.36]

Возможны и другие определения устойчивости движения. В частности, во многих задачах современной техники важно обеспечить малые отклонения в решении дифференциальных уравнений возмущенного движения от решения невозмущенного движения на конечном интервале времени. [c.646]

Уравнение (93,7) описывает распространение возмущений в слабо диссипирующей, слабо нелинейной среде. В применении к слабой ударной волне оно описывает ее распространение в системе отсчета, в которой невозмущенный газ (перед волной) неподвижен. Требуется найти решение со стационарным (не зависящим от времени) профилем, в котором вдали от волны, при jt oo, давление принимает заданные значения рг и рь разность р2 — Р есть скачок давления в разрыве ). [c.492]

Зная, что решение невозмущенного уравнения Шредингера имеет вид функций Блоха, и пользуясь методами теории возмущений, можно найти собственное значение энергии и собственные волновые функции уравнения (7.104). [c.236]

Это уравнение называют возмущенным уравнением. Его решения Ф уже не являются стационарными состояниями, так что индекс п не фиксирует здесь уровня энергии, а лишь указывает на предысторию данное возмущенное состояние произошло из /г-го невозмущенного состояния. [c.242]

Q, М - матрицы X п М 2 = причем решение ф этого уравнения выражается в виде суммы невозмущенного фо и возмущенного ф [c.11]

Линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения, движущихся под малыми углами атаки, заключается в приведении нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющих общих решений, к линейному виду, для которого общее решение имеется. Такое упрощение уравнений возможно, если сделать предположение, что параметры возмущенного течения около тонких тел мало отличаются от соответствующих их значений в невозмущенном потоке, т. е. для составляющих скорости в цилиндрических координатах получим Vy= Vx, [c.498]

Если интенсивность воздействия случайных факторов невелика, то возмущенная траектория мало отличается от невозмущенной. Это позволяет использовать уравнения, линеаризованные относительно малых отклонений возмущенных параметров от невозмущенных (метод малых возмущений). Рассмотрим вид этих уравнений и их общие решения, с тем чтобы выявить роль и место аэродинамических характеристик (производных устойчивости) в обеспечении устойчивости движения летательного аппарата. [c.39]

Определим невозмущенное стационарное решение поставленной выше задачи, которое нам понадобится при да,1ь-нейшем анализе. Так как система координат связана с ге-возмущенным фронтом пламени, то положению фронта соответствует х = 0. За фронтом пламени температура раина адиабатной температуре горения, а концентрация равна нулю [c.333]

Для нахождения в первом же приближении собственной функции фя возмущенного состояния разлагаем функцию являющуюся решением уравнения (13), по ортогональным функциям ф°,. .. невозмущенного [c.150]

Тогда, используя интеграл движения H(q4- - i, Pi- -iii,pl) в качестве функции Ляпунова, можно сделать заключение (см. стр. 209) об устойчивости нулевого решения = 0, т], = 0 (т. е. устойчивости стационарного движения) в предположении, что циклические импульсы р не испытывают возмущений (г. е. что эти величины для возмущенного движения имеют те же значения р1, что и для невозмущенного )). [c.288]

I, а, е, i, б, ш и решение уравнений относительно производных от них) состоит в том, что во многих весьма важных для астрономии случаях возмущающие влияния незначительны, так что производные от оскулирующих элементов, только что названные специальными возмущениями, будут близки к значениям (одно постоянно и равно п, а остальные равны нулю), который имели бы производные по времени от I, а, е, I, б, ш в невозмущенном движении а при наличии таких обстоятельств указанные выше дифференциальные уравнения оказываются удобными для численного интегрирования путем последовательных приближений ). [c.209]

Предварительные замечания. Точное интегрирование дифференциальных уравнений движения реальной механической системы возможно только в очень редких случаях. Эти случаи являются скорее исключением, чем правилом. Поэтому разработано много методов, позволяющих проводить приближенное исследование систем, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но в то же время некоторая упрощенная задача, называемая невозмущенной задачей, допускает точное решение. Совокупность этих методов образует теорию возмущений, которая находит самое широкое применение во всех областях науки и техники, где рассматриваются процессы, описываемые дифференциальными уравнениями. [c.388]

Если бы уравнения возмущенного движения были линейными, то по их общему решению, (4) или (5), вопрос об устойчивости невозмущенного движения решался бы очень просто в частности, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости была бы отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения при наличии же хотя бы одного корня с положительной вещественной частью движение было бы неустойчивым. [c.529]

ВИЯМ, мало отличающимся от начальных условии, коим отвечает решение q t). Близость невозмущенного и возмущенного решений может быть оценена взятыми по модулю отклонениями [c.71]

В книге рассматривается в нелинейной постановке движение вращающегося твердого тела в атмосфере под действием синусоидального или бигар-монического восстанавливающего момента, зависящего от времени, и малых возмущающих моментов. Приведены факторы, определяющие возмущения, в виде медленно меняющихся параметров и параметров малой асимметрии. Даны аналитические решения уравнений невозмущенного движения в эллиптических функциях Якоби. Построены усредненные уравнения возмущенного движения осесимметричного тела и в ряде частных случаев найдены приближенные аналитические решения. Для случая возмущенного движения асимметричного тела найдены новые виды нелинейных резонансов, исследована устойчивость возмущенного движения в окрестности резонансов. Рассмотрена задача идентификации характеристик высокочастотного движения тела по сравнительно малому числу измерений. [c.1]

Тогда при малых ф О существует изоэнергетически невырожденное периодическое решение возмущенной гамильтоновой системы с периодом т оно аналитически зависит от г и при е = О совпадает с периодическим решением невозмущенной системы [c.226]

Ниже излагается алгоритм, с помощью которого для заданного натурального числа N можно построить асимптотически субоптимальное уравнение Л -го порядка в рассмотренной задаче (см. определение 7.1). В идейном плане он имеет много общего с алгоритмом асимптотического решения задачи (11Л ) и представляет собой очередную реализацию схемы, описанной в п. 7.2. Его суть состоит в построении асимптотики точек переключения оптимального управления в виде разложений по целым степеням малого параметра. Одни из этих точек близки к соответствующим точкам переключения оптимального управления в вырожденной задаче, а остальные, появление которых вызвано наличием терминальных ограничений на траектории (см. п. ИЛ), отстоят от конечного момента на величины порядка д. Для применения изложенной в п. 7.2 методики прежде всего нужно установить структуру оптимального управления в возмущенной задаче. В данном случае эта структура идентифицируется решениями двух невозмущенных линейных задач оптимального управления, меньшей размерности, чем исходная. Одной из них является вырожденная задача. [c.104]

Теоретические значения Д наблюдаемых величин F, t,qi,Pi) получаются, еслп в функцию F, t,qi,pi) вместо д, иподставить пх значения, получающиеся из уравнений теоретических, или невозмущенных движений (7.36). Экснериментальные Hte значения фа величин получаются, когда вместо qi, pi вставить решения действительных или возмущенных уравнений (7.37). Отсюда следует, что требование малых отклонении теории от эксперимента (7.35) [c.244]

Решение пространственной задачи об отражении от фронта ударной волны акустических волн в термодинамически равновесном газе позволяет найти закон изменения со временем возмущений на фронте ударной волны. Направим ось по нормали к невозмущенной волне. Уравнение фронтд волны запишем в виде x = f(x х ), где f = 0 при х = х = 0. Из формулы (3.12 ) и соотношения [c.83]

В этой главе описываются некоторые методы, приложимые к системам, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но вместе с тем некоторая упрощенная задача — называемая невозмущеиной задачей — допускает точное решение. При этом предполагается, что различие между интересующей нас возмущенной системой и упрощенной невозмущенной системой может рассматриваться как малое возмущение. В первом параграфе рассматриваются прямые методы трактовки возмущений эти методы используются для исследования ангармонического осциллятора. Во втором параграфе излагается каноническая теория возмущений, на которой основывается кваи-товомехаинческая теория возмущений. Рассмотрен также кратко вопрос о секуляриых и периодических возмущениях. [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...