Основные уравнения в декартовых координатах

Если входящие в основные уравнения в декартовых координатах обычные частные производные заменить ковариантными производными, то получим уравнения в криволинейных координатах. [c.116]

Пусть движение точки задано уравнениями в декартовых координатах, т. е. формулами (1.2) х = х 1), у — у 1 г = г 1). Рассматривая основное уравнение (6.1) также в декартовых координатах, имеем [c.82]

Основные уравнения плоской задачи теории упругости в декартовых координатах, выраженные через функции напряжений, имеют вид [c.144]

Возвращаясь к основному уравнению динамики точки в декартовых координатах (7), перепишем его, согласно (50), в форме [c.31]

Основные уравнения плоской задачи в декартовых координатах [c.67]

Основное уравнение плоской задачи в декартовых координатах имеет вид [c.94]

Основное уравнение импульсов дается уравнением (2.1.5). В случае если можно пренебречь внешними силами, инерцией и нестационарными членами, получаем у П = О или, используя тензоры в декартовых координатах, имеем [c.105]

Основные уравнения и граничные условия. Рассмотрим скольжение шероховатого эллиптического цилиндра по границе идеально-пластического полупространства в декартовых координатах х,у , связанных со скользящим цилиндром (рис. 1). При этом цилиндр и образующаяся перед ним стационарная пластическая область будут неподвижными, а полупространство — движущимся по положительному направлению оси х со скоростью скольжения V. Материал полупространства у О считаем несжимаемым идеально-пластическим, а цилиндр — абсолютно жестким и шероховатым. Координаты, напряжения и скорости перемещений будем считать безразмерными величинами, принимая длину дуги контакта ОА за характерную длину, удвоенное напряжение текучести материала при сдвиге 2/ = 1 за характерное напряжение и скорость скольжения цилиндра V = 1 за характерную скорость. [c.583]

Основные уравнения статической и квазистатической задач термоупругости рассматривались выше в декартовых координатах. Одиа-ко эти задачи для тел вращения, ограниченных цилиндрическими и сферическими поверхностями, удобно рассматривать в цилиндрических и сферических координатах. Рассмотрим основные уравнения задач термоупругости в этих координатах. Все формулы приведем в развернутом виде, не применяя индексного обозначения и правила суммирования по повторяющимся индексам. [c.49]

Основной закон распространения тепла в твердых телах выражается дифференциальным уравнением, имеющим в декартовых координатах следующий вид [c.116]

Здесь мы обсудим основные практические аспекты конструирования вычислительного алгоритма при решении двумерных задач ЕК на ЭВМ. Изложение материала привяжем к системе уравнений гравитационной ЕК (1-15), которая описывает плоское конвективное движение в декартовых координатах х, у. Для упрощения выкладок штрихи при безразмерных переменных будем в дальнейшем опускать, обозначая буквами Г, со ц г как точное, так и приближенное решение безразмерной задачи ЕК. [c.80]

Выше мы познакомились с основными понятиями и методами вычислительной гидродинамики иа примере простейших задач, используя некоторые формы уравнений Навье — Стокса в декартовых координатах и представляя их в виде уравнений в конечных разностях на равномерных расчетных сетках с постоянными Ах и Аг/. В настоящей главе мы очень кратко рассмотрим некоторые особенности других систем координат и расчетных сеток, а также уравнения движения жидкости, отличающиеся от уравнений Навье — Стокса. Мы не будем углубляться в изучение этих вопросов из-за недостатка места и времени (а иногда и из-за того, что они не слишком интересуют автора и он недостаточно в них компетентен). Единственная цель настоящей главы состоит в том, чтобы разъяснить некоторые понятия и указать дополнительную литературу по этим вопросам. При этом мы предполагаем, что читатель уже знаком с предметом изложения. [c.424]

Эго уравнение описывает распространение звуковых волн малой амплитуды в идеальной (невязкой) среде оно называется волновым уравнением и является основным дифференциальным уравнением звукового поля. В декартовых координатах X, у, X волновое уравнение имеет вид [c.62]

Основные уравнения плоской задачи в полярных координатах Зависимости между компонентами тензора напряжений в полярных координатах (Огг, гее, Огв) н в декартовых координатах (а , 0гг> 0,2) на основании (2.32) определяются равенствами [c.260]

Приводим основные вариационные принципы механики упругого тела в декартовой системе координат [50]. Вариационное уравнение Лагранжа, основанное на принципе возможных перемещений (удовлетворяются уравнения статики), имеет вид [c.8]

Для составления основного уравнения плоской задачи в полярных координатах с помощью функции напряжений воспользуемся выражениями уравнения совместности деформаций через функцию ф (бигармоническое уравнение) и преобразуем его из декартовых в полярные координаты. При этом мы воспользуемся соотношениями (5.1), (5.3). [c.94]

Основное линеаризованное уравнение для пластины постоянной толщины (4.33), полученное в декартовой системе координат, удобно для решения задач устойчивости пластин, контур которых совпадает с координатными линиями. Для пластин другой формы может оказаться удобной другая, не декартова система координат. Так, для круглых пластин основное уравнение удобнее представить в полярных координатах. [c.149]

В эйлеровой ортогональной декартовой системе координат основные уравнения, определяющие движение сжимаемой жидкости, имеют вид [c.368]

Основное уравнение динамики в проекциях на оси неподвижных декартовых координат имеет вид [c.12]

Основные уравнения задачи. Рассмотрим для простоты два плоских тела (г = 1, 2) произвольной формы в декартовой системе координат хОу (рис. 14). [c.582]

На этом мы закончим построение интегральных уравнений, описывающих резонаторы основных типов. Отметим, что хотя все вычисления мы вели в цилиндрической системе координат, используя формулу (2.7), легко переформулировать все полученные соотношения в декартовой системе координат. Выбор той или иной системы координат, как уже отмечалось ранее, обусловлен исключительно соображениями удобства и связан со спецификой симметрий, имеющих место в анализируемом резонаторе. [c.140]

Рассматривав механическую систему как совокупность точек, удовлетворяющую некоторым условиям связи, можно говорить о возможных перемещениях точек этой системы в пространстве. В этом случае естественно за основные независимые переменные величины взять декартовы координаты х, у, г) и время (/). Движение системы п дискретных точек, на которых наложено г условий связи, так что. число степеней свободы будет равно / = 3/г—г, может быть описано 3/г дифференциальными уравнениями следующего вида [c.32]

Покажем основные этапы решения задачи в декартовой системе координат. Спроектируем векторное уравнение движения электрона [c.69]

Решение задач. Основная трудность при решении задач кинематики точки методом декартовых координат состоит в определении уравнений движения, т. е. вида функций [c.81]

Это основное дифференциальное уравнение динамики нити в векторной форме. Проектируя его на оси неподвижных декартовых координат, получим [c.160]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

В главах 4—6 были выведены основные уравнения теории упругости, устанавливающие законы изменения напряжений и деформаций в деформируемом твердом теле, а также соотношения, связывающие напряжения с деформациями и де-формащ1и с перемещениями. Приведем полную систему уравнений теории упругости в декартовых координатах. [c.329]

Преобразования базиса в линейном пространстве приводят к необходимости изучения общих свойств тенаоров. При этом рассматриваются наиболее простые тензор-ы —тензоры второй валентности в декартовых координатах. Основное внимание уделяется соответствующим матричным соотношениям, позв/аляющим наглядно записывать уравнения ме-хаиикй сплошных сред. [c.16]

Поле Е(г,О, соответствующее моде НЕ , имеет три ненулевые компоненты р, ф и, или, в декартовых координатах, Е , Е и Е , среди которых либо Е , либо Е , преобладает. Таким образом, с большой точностью основную моду можно считать линейно-поляризованной в X- или v-направлении в зависимости от того, Е или Е преобладает. В этом отношении даже одномодовые волокна, вообще говоря, не являются одномодовыми, так как они могут поддерживать две ортогонально-поляризованные моды. Иногда используют обозначение LP для линейно-поляризованных мод, являющихся приближенным решением уравнения (2.2.1). В этих обозначениях основная Я ,,-мода соответствует ЬРо,-моде [5]. [c.39]

Вывод уравнений. После введения уравнений (120) основные уравнения деилсения в декартовых координатах, данные в п. 26, принимают более специфический вид [c.196]

Третий этап связан с именами К. Маргерра, В. 3. Власова, Чен Вей-Цанга, В. И. Феодосьева и др. авторов. Основной труд К. Маргерра вышел в 1938 г. В нем идея Т. Кармана распространена на случай собственно пологой оболочки, сами уравнения К. Маргерра эаписаны в декартовых координатах на плоскости. В середине сороковых годов появились исследования В. 3. Власова [15, 16] и Чен Вей-Цанга [72, 73]. В них краевые задачи теории собственно [c.60]

Проекции силы м.огут быть заданы не обязательно в декартовых координатах. Для этой цели может быть использована любая подходящая система координат. Например, в полярных координатах на плоскости должны быть указаны проекции вектора силы на направление радиус-вектора и на перпендикулярное ему направление как функции полярных координат точки, ее скорости в полярных координатах и времени. Для получения дифференциальных уравнений движения в полярных координатах основное уравнение динамики (6.1) нужно спроецировать на направления полярных осей, приняв во внимание известные выражения (1.18) для проекций ускорения. Имеем [c.83]

В КОМПОЗИТНЫХ моделях возникают некоторые трудности при определении напряжений по результатам поляризационно-оптических измерений вблизи поверхности скрепления разнородных элементов. Во многих случаях именно определение напряжений на поверхности скрепления представляет основной интерес. Для определения напряжений на поверхности контакта используют методы разделения напряжений, основанные на численном интегрировании уравнений равновесия в декартовых или иных координатах [5, 22], а также данные, получаемые с помощью других экспериментальных методо1в сеток, муаровых полос [22, 70, 72], фотоупругих покрытий [5], обычной и голЪграфической интерферометриж[22, 39]. [c.33]

Для решения задачи об изгибе круглой пластинки все уравнения изгиба пластинки, выведенные в декартовой системе координат, преобразуем к полярной системе. В этом случае прогиб пластинки и нагрузка являются функцияхми переменных г и 0, т. е. ги = ш (г, 9) я q = q (г, 0). Тогда согласно зависимостям (7.3) основное уравнение изгиба пластинки (8.15) принимает вид аз ) di d w [c.140]

Приведем основные зав1гсимости нелинейной теории упругости в криволинейных координатах общего вида [73, 53]. Пусть уравнения движения материальной точки в пространстве, отнесенном к прямоугольным декартовым координатам Хг, Хз, имеют вид [c.59]

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат, причем вдоль оси абсцисс будем откладывать значения в а вдоль оси ординат — значения контраста. Таблица значений контраста при различных значениях т и в должна быть заготовлена заранее на основании таблицы коэффициента задымленности. При фиксированном значении г мы получим график контраста как функции угла в. Построив такие графики для всех табличных значений г, мы получим семейство кривых с параметром г, которое можно использовать в качестве номограммы для регаения основного уравнения. Регаение при помогци построенной номограммы осугцествляется следуюгцим образом. [c.689]

Выпишем основные уравнения и краевые условия задачи в декартовой системе координат х, у, z. Введем обозначения Oyi, Uzi, Txyi, Tyzi, r zi для [c.177]

В эйлеровом пространстве обычно основными искомыми функциями являются вектор скорости v (х, О > плотность p(j , ) и температура Т(х, t) в пространстве наблюдателя в неподвижных декартовых координатах (х х , j ) или криволинейных координатах ( 7), т. е. одна вектор-функция и две скалярные. Основными при этом являются следующие уравнения МСС. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...