Основные уравнения в полярных координатах

Основные уравнения в полярных координатах [c.149]

S 25, ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ [c.89]

I 25. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 93 получим [c.93]

Конхоида окружности (улитка Паскаля) имеет различную форму в зависимости от соотношения между диаметром d (рис, 165) окружности, равным Ь, и параметром а. Принимая один конец диаметра за полюс, получают уравнение основной окружности в полярных координатах г = Ь os ф, а уравнение конхоиды г = — 6 os ф а. [c.127]

Уравнение эвольвенты в полярных координатах (рис. 111). Начало координат совпадает с центром основной окружности О, а ось отсчета проходит через центр О и начало эвольвенты Жо- Текущий радиус-вектор определяется формулой [c.196]

Основное уравнение динамики в полярных координатах. Основное уравнение динамики ma=F в проекциях на подвижные орты е р и легко получить сразу, воспользовавшись формулами (6) [c.238]

Основные уравнения моментной теории упругости в полярных координатах [c.54]

Основные уравнения плоской задачи в полярных координатах [c.260]

Выведем основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение сплошности, формулы Коши и формулы обобщенного закона Гука. [c.81]

Для случая плоской деформации и материала без упрочнения привести полный комплект уравнений теории пластичности в полярных координатах. Показать, что как и в предыдущей задаче решением трех основных уравнений (два уравнения равновесия и условие пластичности) может быть получено уравнение, содержащее только касательное напряжение это уравнение имеет вид [c.235]

Для составления основного уравнения плоской задачи в полярных координатах с помощью функции напряжений воспользуемся выражениями уравнения совместности деформаций через функцию ф (бигармоническое уравнение) и преобразуем его из декартовых в полярные координаты. При этом мы воспользуемся соотношениями (5.1), (5.3). [c.94]

Проверим, удовлетворяет ли выбранная функция (5.38) основному уравнению плоской задачи в полярных координатах (5.17). [c.103]

Уравнения (9.10) и (9.12) представляют собой параметрические уравнения эвольвенты в полярных координатах с параметром а,у. Если из этих уравнений исключить параметр ад, то зависимость между параметрами 6 , и Гу будет выражена через радиус гь основной окружности. Таким образом, форма эвольвенты зависит только от радиуса гъ ее основной окружности. Профильный угол ау зуба и радиус кривизны pj, эвольвенты в точке возврата А равны нулю. С увеличением угла щ и радиуса гь кривизна эвольвенты уменьшается, т. е. радиус кривизны Ру увеличивается. При гь = = fo радиус кривизны эвольвенты р , = со при этом профиль зуба превращается в прямую линию. [c.178]

Основное линеаризованное уравнение для пластины постоянной толщины (4.33), полученное в декартовой системе координат, удобно для решения задач устойчивости пластин, контур которых совпадает с координатными линиями. Для пластин другой формы может оказаться удобной другая, не декартова система координат. Так, для круглых пластин основное уравнение удобнее представить в полярных координатах. [c.149]

В случае осесимметричного начального напряженного состояния круглой пластины, когда S = О, а начальные усилия Т° = = Т г) и Г е=П(г) являются функциями только радиуса г, интегрирование общего уравнения (4.33) сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В полярной системе координат основное линеаризованное уравнение для пластины, нагруженной контурными внешними усилиями, принимает вид (см. 20) [c.163]

Таким образом, для пластин с отверстием, мало отличающимся от кругового, задача сведена к последовательности задач в полярных координатах. Основные уравнения остаются одинаковыми для всех приближений, а поправки входят только в правые части граничных условий. [c.234]

Сейчас получим другой необходимый нам вид этого уравнения, который является основным для решения задач в полярных координатах. [c.256]

Основное уравнение динамики плоского движения материальной точки в полярных координатах имеет вид [c.12]

Основную форму поперечных колебаний пластинки показанной на рис. 1, запишем через модифицированные ряды, в которых каждый член удовлетворяет дифференциальному уравнению (1). Тогда в полярных координатах перемещение W имеет вид [c.167]

Уравнения (7.6.8), так же как и (7.6.1), будут основными уравнениями, описывающими течения в плоских пленках переменной толщины, записанными в полярных координатах. [c.170]

Для дальнейших исследований основные уравнения (7.9.6) удобно записать в полярных координатах г и 0, полагая [c.196]

Приведем основные соотношения и уравнения плоской задачи термоупругости в полярных координатах г, в [c.99]

Во многих пластинках, особенно круглых и кольцевых и в пластинках в форме клина, бывает удобнее представлять решения в полярных координатах. Поэтому дадим основные соотношения и уравнения для плоского напряженного состояния в этих координатах. [c.335]

Выведем теперь основные уравнения теории упругости для плоской задачи в полярных координатах. Займемся сначала дифференциальными уравнениями равновесия (I). Выделим из тела элемент а1>сй с центральным углом 6 и наименьшим радиусом л Стороны его будут (рис. 66) [c.185]

Основная идея метода Ганзена состоит в том, что рассмотрение возмущенного движения планеты Р разделяется на следующие этапы сначала можно интегрировать уравнения в прямоугольных координатах Ганзена (4.1.18) или в полярных координатах Ганзена (4.1.43), т. е. сначала можно изучить возмущенное движение точки Р в плоскости оскулирующей орбиты XY (см. рис. 62). Затем можно рассмотреть уравнения, определяющие положение плоскости оскулирующей орбиты XY относительно плоскости ху, далее в долготу (см. рис. 63) необходимо внести поправки, обусловленные движением оскулирующей плоскости. Для планет Солнечной системы эти поправки достаточно малы. [c.412]

В большинстве теорий Луны, созданных со времен Ньютона, в основном использовались уравнения движения в полярных координатах — сферических или цилиндрических — или уравнения в элементах орбиты, зависящих от этих координат. Важным исключением является теория Эйлера (1772 г.). в основу которой положено использование прямоугольной системы координат, оси д и у которой вращаются в плоскости эклиптики со средней угловой скоростью Луны. Теория Эйлера не привлекала большого внимания до тех пор, пока (столетием позже) Хилл не продемонстрировал могущество своего метода, основанного на использовании прямоугольных координат, однако с тем отличием от Эйлера, что его оси вращаются со средней угловой скоростью и. Солнца, а ось х проходит через среднее положение Солнца. Хилл выполнил три классических исследования ), составивших затем основу для исчерпывающих исследований Брауна ), который закончил построение теории Луны н составил соответствующие таблицы З). используемые с 1923 г. в ежегодниках. [c.378]

Основные параметры конических пружин — угол 6 наклона центровой линии сечений витков к оси пружины рис. 886) и закон изменения щага витков вдоль оси пружины. При постоянном шаге I проекция осевой линии витков на плоскость, перпендикулярную к оси пружины, представляет собой спираль Архимеда, уравнение которой в полярных координатах имеет вид [c.509]

Основные уравнения плоской задачи в полярных координатах Зависимости между компонентами тензора напряжений в полярных координатах (Огг, гее, Огв) н в декартовых координатах (а , 0гг> 0,2) на основании (2.32) определяются равенствами [c.260]

Формулами (16.13)—(16.16) можно пользоваться при рещении задач анализа и синтеза кулачковых механизмов. Если зависимость 3 = 8 (ф) выражена аналитически, то, задаваясь радиусом основной окружности кулачка, на основании уравнения (16.13) можно с требуемой степенью точности вычислить полярные координаты любого числа точек профиля кулачка и в соответствии с полученными результатами разметить, а затем изготовить кулачок. [c.246]

Используя цилиндрическую полярную систему координат (соответствующую случаю течения в круглой трубе) и учитывая, что Тр в общем случае зависит от времени I, координаты в направлении основного потока х, радиальной координаты в основном потоке г и полярного угла ф, предшествующее уравнение можно записать в частных производных в следующем виде [c.170]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

Подберем вырангение для ф таким, чтобы удовлетворялись уравнения (5.37) и основное уравнение плоской задачи в полярных координатах (5.17). [c.102]

Как записывается основное уравнение плоской задачи (бигар-ыоннчоское уравпение) в полярных координатах [c.118]

В полярной системе координат положение любой точкп на плоскости определяется двумя величинами радиус-вектором г и полярным углом 0, отсчитываемым от начального радиус-вектора Го. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенною закона Гука. Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, алемент ub d (рис. 32). Для этого проведем радиус ОаЬ иод прои ш1) 1ьным углом 0 к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое приращение d0 и проведем радиус Ode. Произвольным радиусом Оа г проведем дуг ad, затем дадим радиусу г приращение аЬ dr и ироье- [c.86]

В этом параграфе исследуется задача о нахождении уравнения орбиты гиперреактивной точки в ноле тяготения и определении элементов орбитальной траектории в так называемой неизменяемой плоскости движения Лапласа. Исследование начнем, исходя из основной системы плоского гинерреактивного движения (6.27), записанной в полярных координатах. Найдем дифференциальное уравнение орбиты s lp). [c.193]

Распределение скоростей по сечению круглой цилиндрической трубы (24") можно получить и иначе. Составим вместо (23) уравнение движения в по.тярных координатах г, г. Для этого выразим лапласиан в полярных координатах п опустим, в силу осесимметричности движения, члены с производными по углу е. Тогда получим в качестве основного уравнения [c.494]

Следуя Хальту [3] (1958), рассмотрим основные результаты этих работ, связанные с разрушением при усталости. Анализ проводится для случая идеального упруго-пластического материала в случае продольного сдвига. В полярных координатах Я, а, как указано на рис. 23, при Too < 7s 5 где 7оо — сдвиг на бесконечности, jg предел текучести при сдвиге, упруго-пластическая граница R = f a) определяется следую-ш ими уравнениями [c.414]

Проекции силы м.огут быть заданы не обязательно в декартовых координатах. Для этой цели может быть использована любая подходящая система координат. Например, в полярных координатах на плоскости должны быть указаны проекции вектора силы на направление радиус-вектора и на перпендикулярное ему направление как функции полярных координат точки, ее скорости в полярных координатах и времени. Для получения дифференциальных уравнений движения в полярных координатах основное уравнение динамики (6.1) нужно спроецировать на направления полярных осей, приняв во внимание известные выражения (1.18) для проекций ускорения. Имеем [c.83]

Многие авторы в своих исследованиях следуют классическому методу Лагранжа. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики. В этой работе изложены идеи метода Лагранжа и предлагается прямой вывод дифференциальных уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах. Большое внимание в книге уделяется распространению метода изучения кеплерова невозмущенного движения в плоскости орбиты в полярных координатах" на общий случай неплоского возмущенного движения. Это достигается путем рассмотрения возмущенного движения спутника в подвижной ганзеновской плоскости идеальных координат. [c.5]

Общее представление о сравнительной производительности методов дает работа (Leidenfrost et al., 1999), в которой авторы постарались снизить влияние посторонних факторов на скорость решения задачи. Выяснилось, что несмотря на общие теоретические основы и высокое, во всех случаях, качество программирования, основные параметры - точность, производительность и требуемая память - различаются в диапазоне почти двух порядков. Наиболее точным методом оказалось конструирование фронтов трассирование лучей дает примерно ту же точность, что и интегрирование уравнения эйконала. Самым быстрым оказалось интегрирование эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта, самым медленным - трассирование лучей. Наибольших ресурсов памяти требует конструирование фронтов. В конечном счете, для точных расчетов в среде с сильными, но гладкими вариациями скорости и необходимостью обхода принципа Ферма рекомендуется метод конструирования фронтов а для сравнительно простых разрезов оптимальным оказывается интегрирование уравнения эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта благодаря его непревзойденной вычислительной эффективности. [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...