Задача об устойчивости точек либрации

Например, при решении задачи об устойчивости точек либрации (лагранжевых решений) в круговой ограниченной задаче трех тел уже в первом приближении (т. е. в линеаризованной задаче) обнаруживается неустойчивость в смысле Ляпунова всех трех прямолинейных точек либрации, а также обоих треугольных — в случае, когда произведение конечных масс больше чем 1/27. Если же это произведение меньше 1/27, то вопрос об устойчивости треугольных точек остается открытым многочисленные попытки советских и зарубежных ученых решить эту интересную и важную для практических приложений задачу до самого последнего времени оставались безрезультатными. [c.344]

ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 249 [c.249]

Но в некоторых частных случаях решение задачи об устойчивости точек либрации оказывается возможным хотя бы в первом приближении, и к рассмотрению таких случаев мы теперь и перейдем. [c.249]

ЗАДАЧА ОБ устойчивости ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 25 [c.257]

Решение задачи об устойчивости точек либрации для значений параметра из области устойчивости В первом приближении [c.126]

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 127 [c.127]

В этом параграфе мы рассмотрим задачу об устойчивости точек либрации с точки зрения формальной устойчивости и в результате докажем такое утверждение. [c.136]

Если не удается решить вопрос об устойчивости точек либрации при помощи теоремы Ляпунова, то остается возможность рассмотреть эту задачу в первом приближении, т. е. рассмотреть уравнения (9.98), отбрасывая в них все члены выше первого порядка. [c.451]

В главе 12 подробно исследуются периодические движения, близкие к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Существование рассматриваемых периодических движений следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле [22, 49]. Во введении к главе 12 дана краткая история исследований, связанных с построением и анализом устойчивости периодических движений, близких к треугольным точкам либрации. Затем предлагается новый способ их построения и алгоритм исследования их орбитальной устойчивости. Подробно рассмотрены различные резонансные ситуации, возникающие в задаче об устойчивости. В последнем параграфе главы 12 приведены результаты численного исследования устойчивости периодических движений. [c.15]

В этой и последующих главах излагается решение задачи об устойчивости треугольных точек либрации в следующих случаях ограниченной задачи трех тел 1) плоском круговом, 2) пространственном круговом, 3) плоском эллиптическом, 4) пространственном эллиптическом. [c.122]

Задача об устойчивости треугольных точек либрации и 5, в противоположность задаче об устойчивости прямолинейных точек 1, 2 и 8, оказалась чрезвычайно сложной. К настоящему времени полный завершающий ответ на вопрос об устойчивости по Ляпунову треугольных точек либрации получен не во всех случаях. Полное решение вопроса достигнуто только в плоской круговой задаче. Но в плоской эллиптической задаче, в пространственной круговой и пространственной эллиптической задачах достигнуто значительное продвижение, так что практически и здесь задача об устойчивости очень близка к полному завершению. Изложению и обсуждению всех этих результатов посвящены настоящая и последующие три главы книги. Но сначала изложим очень краткую предысторию решения задачи об устойчивости треугольных точек либрации. [c.123]

В недавнее время задача об устойчивости треугольных точек либрации подробно была рассмотрена в цикле работ автора [56, 58, 59, 62—67]. К ним примыкает также совсем недавняя работа А. Г. Сокольского [88]. Все полученные результаты будут подробно изложены ниже. В этой главе проведем исследование треугольных точек либрации в плоской круговой задаче трех тел. [c.125]

В предыдущем параграфе доказана теорема, полностью решающая задачу об устойчивости треугольных точек либрации для всех значений ц, лежащих внутри области (2.2) устойчивости в первом приближении. Известный интерес представляет также задача об устойчивости при граничных значениях [х области (2.2). [c.130]

Теперь рассмотрим задачу об устойчивости в нелинейной постановке. Эксцентриситет считаем малым, удовлетворяюш им вместе с (X условиям устойчивости в первом приближении. Для решения задачи нужно функцию Гамильтона привести к нормальной форме, а затем, применив результаты главы 5, сделать выводы об устойчивости или неустойчивости точек либрации. [c.150]

В главах 7—10 подробно исследована задача об устойчивости треугольных точек либрации. По-видимому, для задач, связанных с исследованием треугольных точек либрации, следующим важным вопросом является вопрос о существовании, построении и устойчивости периодических движений, близких к точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Рассмотрению этого вопроса посвящена настоящая глава. [c.205]

В настоящей главе рассматривается задача о построении и устойчивости малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел в плоском и пространственном случаях. Задача об устойчивости решается в строгой нелинейной постановке. При изложении результатов мы следуем работам [68, 69]. [c.206]

Отметим существенное отличие в поведении условно-периодических решений в окрестности 4 и .5. В плоском случае любая точка из достаточно малой окрестности L и 5 при всех значениях ц, удовлетворяющих условию 27ц(1 —ц)< 1, кроме двух ([X = Ц1, [Х = Х2), порождает условно-периодическое решение. Другими словами, точки 4 и в устойчивы в смысле Ляпунова. В пространственной задаче большинство точек (но не все) из достаточно малой окрестности точек либрации порождают условно-периодические решения. Неясно, имеют ли условно-периодический характер решения, порождаемые точками, принадлежащими множеству малой (в смысле Лебега) меры, поэтому говорить об устойчивости по Ляпунову (или о неустойчивости) треугольных точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел преждевременно. [c.845]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

При строгом рассмотрении вопроса об устойчивости треугольных точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел доказана их устойчивость для всех значений относительной массы т, удовлетворяющих условию (6.4.17), или [c.241]

Таким образом, уравнение (3.6), рассматриваемое как квадратное относительно А. , имеет один положительный корень и один отрицательный. Следовательно, для каждой прямолинейной точки либрации (к = 1, 2, 3) характеристическое уравнение (3.6) имеет четыре корня вида а, ф, где аир— вещественные величины, отличные от нуля. Отсюда, согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, следует неустойчивость прямолинейных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел. [c.26]

Если же выполнено неравенство О <27 х (1 — р,) <1, то уравнение (3.8) имеет четыре различных чисто мнимых корня и ТОЧКИ либрации устойчивы в первом приближении. Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости ПО первому приближению строгое решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.27]

Предполагая, что в общей ограниченной задаче выполняются условия, обеспечивающие существование лагранжевых или эйлеровых решений, представляющихся в координатах Нехвила точками либрации, мы можем теперь поставить задачу об устойчивости этих решений в смысле Ляпунова. Решение этой задачи (когда это возможно) дает представление о характере решений уравнений возмущенного движения (5.47), близких к какому-либо либрационному решению, соответствующему какой-либо из возможных точек либрации, координаты которой обращают в нуль правые части уравнений (5.47) при любом значении независимой переменной v. Однако задача об устойчивости точек либрации, т. е. задача об устойчивости нулевого решения системы (5.47), вообще чрезвычайно сложна и решение ее в самом общем виде, т. е. при любых законах действующих сил, вряд ли может быть выполнено и доведено до конца. [c.249]

Однако хотя многие авторы занимались задачей об устойчивости точек либрации, но только для случая, когда в системе действует закон Ньютона и когда орбита точки М есть эллипс с фокусом в точке Мо. Такая задача называется, как уже отмечалось выше, эллиптической ограниченной задачей трех тел (конечно, трех материальных точек, из которых одна — пассивно гравитирующая). [c.260]

Важный шаг в задаче об устойчивости точек либрации (в плоской ограниченной круговой задаче) был сделан в 1959 году Литл-вудом [152, 153]. Он показал, что при начальном возмущении порядка 8 отклонение тела Р от вершины треугольника будет иметь тот же порядок в течение интервала времени, равного ехр (Л8" / 1 log ej- / ), где величина А зависит только от ц. [c.124]

При ц = О вопрос решается просто, так как задача трех тел при этом переходит в задачу двух тел, а задача об устойчивости точек либрации сводится к исследованию устойчивости движения материальной точки вокруг неподвижного притягивающего центра, а такое движение, как известно, неустойчиво, так как сколь угодно малое возмущение начальных условий приводит к изменению периода кенлеровского движения здесь имеет место лишь орбитальная устойчивость (по этому вопросу см. также работу А. Г. Сокольского [85]). [c.130]

Рассмотрим теперь, следуя работе [88], задачу об устойчивости точек либрации при критическом отношении масс (г, являюш,емся границей области устойчивости в линейном приближении. При (Л = (Л частоты плоских колебаний равны между собой (шх = 0 2 = со = У 2/2), а частота пространственных колебаний (Оз, как и при любых значениях (г, равна единице. Линейным веш,ественным каноническим преобразованием д,, р, р] приведем квадратичную часть функции Гамильтона к нормальной форме. Для этого переменные плоского движения д/, р,- (/= 1, 2) преобразуем с помош,ью матрицы N = ( , / = 1,.. 4), задаюш,ейся равенством (5.1) седьмой главы, а д , р оставим без изменения. Тогда функция Гамильтона возмуш енного [c.143]

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ЦРОСТРАНСТВЕЦЦОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [c.173]

В статье [184] рассмотрен вопрос об устойчивости точек либрации для случая Земли. Фигура Земли аппроксимировалась при помощи эллипсоида, мало отличающегося от шара. Параметры еа и e оказались очень малыми и не лежат на кривых (о = 2(0г и (Ol = 3(02- Поэтому для Земли точки либрации, расположенные на продолжении малой полуоси экваториального сечения аппроксимирующего эллипсоида, устойчивы по Ляпунову (в илоской задаче) или устойчивы для большинства. начальных, условий (в пространственной задаче). [c.303]

Единсгвенно, что мы можем сделать на этом пути — это определить особые точки кривых (9.90 ), т. е. точкп либрации, соответствующие частным лагранжевым и эйлеровым реилениям наилей задачи, и рассмотре1Ь задачу об устойчивости этих реше-ни1"1 в смысле Ляпунова, что и является предметом настоящего параграфа. [c.444]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключением двух значений параметра [г, при которых имеет место неустойчивость. Эти значения и [Хг соответствуют резонансам сох = Зсоа и (01 = 3(02 между частотами линейной системы. [c.13]

Самым сложным в задаче об устойчивости треугольных точек либрации является случай пространственной эллиптической задачи. Он исследуется в главе 10. Помимо увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна характерная только для этой задачи особенность имеет место тождественный (при всех е и х) резонанс из-за равенства периода кенлеровского движения основных притягивающих тел и периода линейных колебаний тела бесконечно малой массы по направлению, перпендикулярному плоскости их орбиты. [c.14]

В 1875 ГОДУ Раусе [169] решил (в линейном приближении) задачу об устойчивости треугольных точек либрации для неограниченной задачи трех тел (когда масса тела Р не бесконечна мала, а равна некоторой конечной величине, так что тело Р уже само влияет на движение двух других тел 5 и /) и для произвольного закона притяжения. Рассмотрев плоскую задачу и предположив, что притяжение тел пропорционально произведению их масс и обратно пропорционально п-й степени расстояния между телами, Payee показал, что при л > 3 точки либрации неустойчивы. Если же п < 3, то имеет место устойчивость при выполнении неравенства (шр -j- т -)- 2 / 1 -)- га д. [c.124]

В 1889 году А. М. Ляпунов рассмотрел задачу об устойчивости в линейном приближении треугольных точек либрации для случая неограниченной пространственной задачи трех тел при притяжении тел, обратно пропорциональном w-й степени расстояния между ними. Стороны треугольника, образованного тремя телами в невозмущенном движении, А. М. Ляпунов не считает постоянными, а они могут периодически изменяться. Результаты исследования А. М. Ляпуаовл опубликованы в его замечательной работе [48]. Результаты, полученные Рауссом, следуют из результатов Ляпунова как частный случай. В недавних работах А. Л. Куницына [34, 147] дана интересная геометричв ская интерпретация условия устойчивости (2.3) в линейном приближении и сделана попытка получения некоторых строгих выводов об устойчивости в нелинейной задаче. [c.124]

Начало полному строгому решению задачи об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел было положено в 1962 году в работе А. М. Леонтовича [37], в которой для случая плоской круговой задачи показано, что устойчивость точек либрации имеет место при всех ц, удовлетворяющих необхо- [c.124]

В этой главе, следуя [64, 661, рассмотрим устойчивость треугольных точек либрации пространственной эллиптической задачи трех тел. Задача об устойчивости в этом случае по сравнению с уже рассмотренными в главах 7—9 случаями является самой сложной и громоздкой. Кроме увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна, характерная только для этой задачи, особенность имеет место тождественный (т. е. существующий при всех е и [д.) резонанс, возникающий из-за равенства периода кенлеровского движения основных притягивающих тел 8 ж I ч периода линейных колебаний тела Р бесконечно малой массы по направ.т1ению, перпендикулярному плоскости их орбиты. [c.173]

Результаты предыдущего параграфа приводят к выводу о том, что при учете солнечных возмущений космический аппарат с течением времени удаляется от треугольных точек либрации на значительные расстояния. Однако это вовсе не означает, что в окрестности точек либрации не могут существовать устойчивые орбиты. Открытие Кордылевским [100, 101] облакоподобных образований вблизи точек Ь ж ъ системе Земля — Луна вызвало большой интерес и привлекло внимание многих исследователей к задаче об устойчивых орбитах, близких к треугольным точкам либрации. [c.251]

С. Г. Журавлевым в работах [25, 184, 1851 проведено подробное нелинейное исследование устойчивости точек либрации для значений параметров еа, ер, принадлежащих области I рис. 48, где выполняются необходимые условия устойчивости. Нелинейное исследование представляет значительные трудности, потому что в области /, как показано в статье [184], гамильтониан возмущенного движения не будет знакоопределенной функцией. Здесь ситуация совершенно аналогична той, которая имеет место в задаче об устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной [c.302]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...