Уравнение второго порядка по времени

По физическому смыслу концентрации частиц ясно, что она должна быть неотрицательной величиной. Между тем уравнение Клейна-Гордона является уравнением второго порядка по времени и, следовательно, Ч и д Т/51 в некоторой точке могут быть заданы независимо. Это значит, что N может быть и отрицательной. Следовательно, выражение (71.21) [c.385]

Из-за сложности дифференциальных уравнений (7.13) замкнутые решения в общем случае получить не удается. Поэтому применяется энергетический метод. Задача сводится [1.125] к решению конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по времени. Полный прогиб слагается из двух частей, изгибной и сдвиговой, [c.68]

Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка по времени [c.360]

Во избежание недоразумений надо, однако, уточнить, что именно подразумевается под начальным возмущением в уравнении КдВ. Реальное возмущение, возникающее в среде в некоторый момент времени, в ходе своей эволюции (описываемой полным волновым уравнением второго порядка по времени) распадается, вообще говоря, на два возмущения, распространяющиеся в обе стороны оси X. Под начальным для уравнения КдВ надо понимать одно из этих двух возмущений сразу после распада. [c.199]

Таким образом, конечно-разностное уравнение фактически является уравнением второго порядка по времени и требует начальных условий и это аналогично заданию начальных [c.92]

Если, Как обычно в уравнениях второго порядка по времени, положить [c.267]

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПО ВРЕМЕНИ [c.138]

Установим связь теории рассеяния для уравнения Шредингера с теорией рассеяния для уравнения второго порядка по времени. Лля этого мы воспользуемся принципом инвариантности (ПИ). [c.138]

Для системы регулирования, переходный процесс которых может быть описан дифференциальным уравнением второго порядка, выбор времени сервомотора может быть определен графически по диаграмме ЛМЗ по графику фиг. 14-78, где (Хейфеца), приведенной на фиг. 14-77. [c.686]

Оно должно быть дополнено граничными и начальными условиями. Вследствие того что это уравнение содержит производные второго порядка по времени и четвертого порядка по координате х, возникает необходимость задать два начальных и, кроме того, для каждого конца стержня по два граничных условия, [c.131]

Иногда полезно вместо шести уравнений для шести функций иметь одно дифференциальное уравнение относительно какой-либо из них (часто в ее качестве используют потенциал скорости). Полученное дифференциальное уравнение относительно потенциала скорости будет содержать производные второго порядка по времени и координатам и называется волновым уравнением для потенциала скорости. Очевидно, что в зависимости ot выбора функции, к которой сводят указанную систему, волновых уравнений будет несколько. Рассмотрим одно из них. [c.162]

Здесь удобно отдельно рассмотреть матричные уравнения, содержащие лишь первые производные по времени, и уравнения, имеющие производные второго порядка по времени. [c.358]

Алгоритм использует разностные аппроксимации второго порядка по временной переменной. Обычно нестационарные задачи решаются с помощью метода Рунге - Кутта четвертого порядка. В данном случае он дает соотношение временного и пространственного шагов 0,2-0,3, что ведет к сильному увеличению времени расчетов. Односторонние разностные схемы третьего и четвертого порядков также не позволяют интегрировать уравнения с достаточно крупным шагом по времени. Схема же второго порядка делает возможным проводить расчеты с соотношением переменного по пространству временного шага к минимальному пространственному более 10 . Для расчетов колебательного режима течения газа в каверне соотношение шага по времени к минимальному пространственному было принято равным 3. Выбор относительно большого временного шага в схеме второго порядка основан на результатах методических расчетов, а также том, что исследуется не развитие течения по времени, а влияние определенных параметров на его характер. К этому можно добавить положительные результаты [2], где пульсационное течение в каверне исследовано с помощью схемы первого порядка. [c.83]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Так как в уравнения (51.43) входит полная производная по времени от dT/dqh, то эти уравнения содержат обобщенные ускорения qk и представляют собой систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. [c.79]

Уравнения (55) представляют собой систему k (по числу степеней свободы) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с k независимыми обобщенными координатами, являющимися искомыми функциями времени. [c.397]

Таким образом, на основе начальных значений координат и скоростей мы можем определить зависимость Я от времени. Разностная схема аппроксимирует дифференциальный оператор со вторым порядком. По определенным значениям координат на основе второго уравнения (10.28) находим скорости. [c.190]

В общем случае кинетическая энергия системы является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени и поэтому ее частные производные по qi и qi будут функциями тех же переменных. Так как частные производные кинетической энергии но обобщенным скоростям дифференцируются еще раз по времени, то левые части уравнений Лагранжа будут содержать обобщенные координаты, их первые и вторые производные по времени д , qi, ij,. Следовательно, эти уравнения представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат. [c.303]

Математическая модель с распределенными параметрами содержит переменные, зависящие от пространственных координат, и представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных или систему интегро-дифференциальных уравнений. Важной характеристикой дифференциальных уравнений является их порядок, т. е. порядок старшей производной, которая входит в эти уравнения. Порядок производной по времени в большинстве динамических моделей процессов химической технологии — первый. Производные по координатам могут быть как первого, так и более высоких порядков. Модели обычно получаются в предположении о полном вытеснении (поршневом режиме течения) фаз. Производные второго порядка по координатам появляются в тех математических моделях, где учитывается перемешивание фаз. [c.5]

Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторы.м по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1 г Ц = О (Ат -f /г). Далее в 3.3 рассмотрим способ построения разностных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате. [c.76]

В этих уравнениях величины р, с], г можно заменить известными выражениями их в функциях углов Эйлера (р, ф, 6 и их производных (п°344). Правые части X, V, к п J, М , уравнений (1) и (2) выражаются в общем случае в функциях тех же углов, координат центра тяжести и производных по времени от этих шести величин. Таким образом, уравнения (1) и (2) представляют собой систему шести дифференциальных уравнений второго порядка, позволяющих найти шесть неизвестных г], и (р, ф, О в функции от времени и этим определить движение. [c.199]

Резюме. Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Применение преобразования Лежандра замечательным образом отделяет дифференцирование по времени от аналитических операций над переменными. Новые уравнения образуют систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка. Они называются каноническими уравнениями . [c.197]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Три уравнения (К ) в том случае, когда вспомогательная постоянная исключается посредством формулы (Ь ), строго представляют (согласно нашей теории) три конечных интеграла трех известных уравнений второго порядка (М ) для относительного движения бинарной системы (т,- т ) и дают для такой системы три переменные относительные координаты 1, 0 как функции их начальных значений и начальных скоростей а р,, v , а, / , т и времени /. Подобным же образом три уравнения (I ), по исключении посредством (Ь ), представляют собой три промежуточных интеграла этих же известных дифференциальных уравнений движения той же бинарной системы. Эти интегралы перестают быть строгими, когда мы вводим возмущения относительного движения этой частной или бинарной системы (т,/Пп), возникающие вследствие притяжений или отталкиваний других точек т, всей предполагаемой множественной системы. Однако они могут быть исправлены и сделаны строгими путем использования остающейся части У/2 полной характеристической функции относительного движения V вместе с главной частью приближенного значения Уравнения (Х ), (У ) двенадцатого параграфа дают строго [c.227]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Используя (3.135), исключим из уравнения (3.133) М и Мд, причем для определения Мд уравнение (3.135) следует предварительно продифференцировать по времени. Тогда получаем следующее дифференциальное уравнение второго порядка относительно йд. [c.135]

Дважды дифференцируя по времени его левую и правую части, получаем аналогичное дифференциальное уравнение второго порядка относительно абсолютного ускорения z амортизированного объекта [c.271]

Необходимой предпосылкой для контроля колебаний механических систем является понимание деталей динамического поведения систем при действии возбуждающих сил, приложенных в различных точках системы. Для решения этой задачи использовались различные подходы, включая прямое получение необходимой информации путем замеров, математическое моделирование и точное решение дифференциальных уравнений движения в частных производных, дискретное моделирование с помощью конечных элементов и решение результирующей большой системы дифференциальных уравнений второго порядка, энергетические методы и объединение решений соответствующих подсистем полной системы. Все эти подходы имеют свои достоинства и недостатки, и ни один из методов сам по себе не может считаться наилучшим. Выбор подхода определяется наличием средств и времени, опытом и искусством исследователя, без страха встречающего каждую специфическую задачу, по- [c.14]

Уравнение второго порядка. Полагая, что физический смысл имеют только действительные части решений и используя поле температур и скоростей, полученных в первом приближении, можно решить уравнения второго порядка. Решение уравнения движения можно разделить на два — установившееся и неуста-новившееся по времени. Согласно расчетам работы [3] характер течения получен в виде, приведенном на рис. 63. [c.157]

Теперь п уравнений Лагранл а (1.9), которые определяют координаты и каждое из которых — дифференциальное уравнение второго порядка по времени, можно привести к системе 2п уравнений первого порядка для 7/ и / < (при Qi=0) [c.12]

Мы считаем Ь заданным (в типичных случаях постоянным или нулевым) вектором, и тогда уравнение (1) превращается в условие на деформацию X. В традиционных теориях это условие имеет вид дифференциального уравнения второго порядка по времени и пространственным координатам (по отдельности или по совокупности). В общем случае это — дифференциальнофункциональное уравнение, которое с учетом приведенной формы определяющего соотношения (IV. 5-5) никогда не является линейным относительно производных по пространственным координатам. Возможности современного анализа далеко не достаточны для того, чтобы подойти к общему решению краевых задач или задачи с начальными данными для таких уравнений. Тем не менее довольно много известно о частных решениях для специальных классов отображений , и остальная часть этой книги посвящена доказательству и объяснению этих известных в настоящее время теорем рациональной механики. [c.170]

Автоколебания в электрохимических системах наблюдаются очень часто. Гак как эти системы обычно являются / С-ячсй-камй, или / С-линиями, то имеется одно дифференциальное уравнение первого порядка по времени, связывающее полный ток и напряжение. Поэтому для возникновенкн колебаний необходима по Крайней. мере еще одна переменная. Во многих электрохимических системах в ходе колебаний периодцческ[-1 возникает и распадается пленка окисла на границе раздела металл — раствор. В таких системах второй переменной может быть доля поверхности, покрытая пленкой, или, наоборот, доля свободной (активной) поверхности. [c.12]

Мы видели, что многошаговые методы проще и работают быстрее. С другой стороны, неудачно выбранные многошаговые методы имеют склонность к неустойчивости в том смысле, что любая ошибка с течением времени не затухает и влияет на будущее поведение системы [181. Чтобы исправить эту неустойчивость, была проделана большая работа, и считается, что если можно зафиксировать шаг (или если число изменений шага поддерживать минимальным), то многошаговый алгоритм высокого порядка будет и точным, и быстрым. Мерсон [20] в результате исследования широкого класса методов специальных возмущений пришел к выводу, что для уравнений второго порядка, по-видимому, оптимальной комбинацией является метод восьмого порядка Гаусса—Джексона, примененный к уравнениям Коуэлла (в случае необходимости с аналитической стабилизацией шага). Херрик [15] также считал метод Гаусса—Джексона (по-другому называемый гауссовой формулой или процедурой вторых сумм ) наиболее подходящим. Для того чтобы стала понятной используемая терминология, ниже мы проиллюстрируем некоторые основные идеи теории конечных разностей, которые используются при численном интегрировании. [c.252]

Такие же обозначения мы будем использовать и для фононных функций Грина, имея в виду, что они не будут рассматриваться одновременно с фотонными. Можно было бы и эти функции называть однобозонными мы, однако, сохраним это название лишь за корпускулярными функциями О, в отличие от полевых функций D. Заметим, что в рамках нерелятивистской теории различие между первыми и вторыми носит отнюдь не словесный характер как мы увидим в следующей главе, функции О удовлетворяют дифференциальным уравнениям первого порядка по времени, а функции D — второго. [c.49]

Использованный в п.2 1 прием введения вспомогательного отождествления 7 называется иногда приемом Купша— Сандаса [116]. В вопросе о существовании ВО он позволяет срезать сингулярности возмущения. Материал 2 заимствован из заметки [83]. Изложение в 4 связи теорий рассеяния для уравнений первого и второго порядков по времени следует статье М.Ш.Бирмана [39]. [c.404]

Соответствующие общие уравнения движения отлпча)отся от уравнений, полученных в 12, лишь тем, что изменеиия величин при движении не должны предполагаться малыми, как это делалось в 12 при изучении длинных гравитационных волн малой амплитуды в связи с этим в уравнении Эйлера должны быть сохранены члены второго порядка по скорости. В частности, для одномерного движения жидкости в канале, зависящего только от одной координаты х (и времени), эти уравнения имеют вид [c.569]

Для численного пптегрировагсия полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = (г=1, 2,. ... ... п) на и материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках = г (i=l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от иеремеп ых а,, а, w, р2 перейдут в Ап обыкновенных дифференциальны уравнения по времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления р i в точках г = г. в к шдый фиксированный момент времени необходимо решать лине пую (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по / ) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6 7.17). [c.53]

Чтобы найти уравнения движения точки x = (fx t), у— = ф2( ), z = ( s t), необходимо проинтегрировать систему (7.20) трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В результате интегрирования этой системы в решении ноявляются шесть произвольных постоянных, которые определяются по начальным условиям движения. Так, пусть в начальный момент времени при t = ta известны координаты точки и проекции ее скорости [c.112]

Для решения уравнений (7-10) и (16-1) используем операторный метод [17]. Интегральное преобразование Лапласа выполним по времени /. Тогда дифференциальные уравнения в частных производных для функции Т (х, О превратятся в обыкновенные диффе-ренциа.тьные уравнения второго порядка для изображения температуры Т х, х). Решение этих уравнений в интервалах — й х -гуТ их (1 имеет соответственно следующий вид [c.291]

На протяжении последних глав мы убедились в том, что уравнения Лагранжа во многих случаях являются весьма подходящим способом описания поведения механических систем. Уравнения Лагранжа представляют собой систему S обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Однако нередко оказывается удобныд перейти к системе 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В функции Лагранжа L(qk, Ц ,) величины qi, и qi, не являются HesaBH nMbLNm переменными, поскольку (/ —это производные по времени от qu- Простейший путь перехода к независимым переменным состоит в том, чтобы ввести s новых переменных, г, согласно соотношениям [c.123]

Показанный на рис. 6.6.1 разновременный старт ракеты описывается системой двух уравнений второго порядка (две степени свободы -угол ф для направляющей и угол для оси ракеты) с переменными во времени коэффициентами, т.е, уравнением типа (6.6,44). Элементы матриц, входящих в уравнение (6.6.44), зависят от времени вследствие изменения массы ракеты и смещения ракеты по направляющей. Если случайной составляющей изменения массы за время движения ракеты по направляющей можно пренебречь, то оператор L и матрица детерминистские. Если учитывать случайное изменение массы ракеты, то оператор L стохастический, так как коэффигщешы, входящие в оператор L, случайны. Компоненты вектора / для данного [c.399]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...