Сетка разностная равномерная

Вводя равномерную разностную сетку по х с шагом h, заменим уравнение (7.61) разностным [c.250]

Возьмем равномерную сетку Xi = a + ih, i = 0, 1,. .., п, и заменим в (1.54) производные симметричными разностными отношениями. Получим следующее разностное уравнение [c.20]

Рассмотрим двухслойные разностные схемы для одного уравнения на равномерной сетке Xm=mh, t =nr. Такие схемы можно записать в общей форме (для однородных уравнений) [c.85]

Следует отметить, что далеко не всегда измельчение сетки приводит при численном методе к уточнению стационарного температурного поля. Метод, используемый для решения, может оказаться при условиях конкретной задачи неустойчивым, т. е. при измельчении сетки будет давать решение, все более отличающееся от истинного. Поэтому для оценки точности численного решения при выбранном шаге и его проверки вообще целесообразно в нескольких узлах провести сравнение с аналитическим решением, если таковое существует. Например, для рассмотренной выше задачи разностная схема (6.7) неустойчива, поскольку температура на поверхности куба не является непрерывной функцией. Действительно, аналитическое решение для куба с ребром а при указанных выше граничных условиях имеет для точки с координатами х, у, г) вид бесконечного равномерно сходящегося ряда [33] [c.93]

Можно показать, что разностное уравнение (3.45) аппроксимирует уравнение (3.39) с порядком О (Я ) на равномерной сетке и с порядком О (h) на неравномерной сетке. [c.90]

Неявная разностная схема, построенная методом баланса, при равномерной по пространственной координате сетке имеет вид (см. (3.51) —(3.52) при сг = 1) следующих уравнений [c.99]

Введем равномерную пространственную сетку = (л — 1) Л, п = I,. .., N. Конечно-разностное уравнение для внутренней точки будем строить методом баланса, выбрав элементарные объемы вида [Хп — h 2, Хп + h/2. Сеточную функцию численного решения обозначим, как обычно, через и , п М. Уравнения баланса п-го элементарного объема (рис. 5.1) для единичного промежутка времени записывается так [c.157]

Для построения разностной схемы введем равномерную пространственную сетку (п — i) h, п N, h = I N — 1) (рис. 5.8). В узлах сетки будем искать две сеточные функции / и и , соответствующие приближенным значениям температур стенки Т х-(х,,) и жидкости Ту (л ,,). Разностная аппроксимация для уравнения вида (5.36) и граничных условий (5.38) подробно рассматривалась в 3.3. При аппроксимации уравнения (5.37) заменим производную разностью против потока . В результате получим следующую разностную схему [c.170]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Дополняя полученную систему уравнений (8.19) разностными аналогами двух граничных условий на левом и двух на правом краях оболочки в соответствии с выражениями (8,5), получаем полную систему (N + 2) нелинейных уравнений с зависящей от решения правой частью и с (IV + 2) неизвестными. При этом порядок аппроксимации дифференциальных операторов разностными понижается с О (t ) на равномерной сетке внутри области до О (1) на ее границах. Однако этого можно избежать, используя на краях оболочки или более мелкую сетку, или более точные по сравнению с (8.18) разностные схемы. [c.159]

При помощи аналогичных рассуждений можно построить теорию разностных аналогов С. ф., в частности классич. ортогональных полиномов дискретной, переменной на равномерных и неравномерных сетках. [c.630]

Для равномерной сетки определим операторы разностных производных — правой и левой д [c.161]

Упражнение 6.1. Показать, что для п-мерного уравнения теплопроводности в случае равномерной сетки hi = / 2 = = = h) условие устойчивости разностной схемы имеет вид [c.200]

Критерий близости сеток к равномерным (F). Объемы соседних элементарных ячеек сетки должны быть одного порядка. В противном случае трудно строить достаточно точные разностные аппроксимации дифференциальных уравнений. Кроме того, резко ухудшается обусловленность систем разностных уравнений, аппроксимирующих на построенной сетке системы дифференциальных уравнений. [c.512]

Оказалось, что сетки на основе формул (1.1.6)-( 1Л. 8) [2] обладают рядом полезных свойств. Так в работе [3] показано, что hi 0 N ) при больших N, и это позволяет более точно аппроксимировать производные высоких порядков. В [4, 5] показано, что за счет выбора лишь граничных величин Л( , N), В е, N) построенные на основе таких сеток обычные разностные схемы при решении краевых задач для обыкновенных уравнений, содержащих малый параметр , обладают свойством равномерной по параметру сходимости при N оо. Таким образом, предложенная конструкция функционала в ряде случаев позволяет осуществить и адаптацию сеток к особенностям решения краевых задач за счет выбора граничных интервалов. [c.515]

Используется принцип последовательного построения решения, а именно если известно решение, т.е. значение б и и в узлах равномерной расчетной сетки в области О < i < f, z < f, то для получения решения в следующий момент времени t + At для z <,t + At через узлы сетки (f — 1, / ) и (г + 1, /) Проводятся характеристики первого и второго семейств до их пересечения в точке ( , / + 1) (см. рис. 57). Значениями и"е в точке (t, + 1) ищутся на первом шаге расчета путем решения системы разностных уравнений вдоль характеристик [c.126]

Направляющими для точек с ж а являлись плоскости у = z и (рис. 3, а). Узлы разностной сетки па границе располагались равномерно вдоль дуги соответствующей линии и смещались в плоскости переменных 7, на участке Ь1а вдоль прямых, параллельных 7, а на участке с 1 - вдоль лучей, проведенных в каждый узел из точки (1. [c.182]

Сначала, не заботясь о монотонности и консервативности схемы, покажем, как на любой сетке можно обеспечить разностную аппроксимацию уравнений. Для этого рассмотрим произвольную ячейку, не ограничивая числа ее сторон в двумерном случае или граней - в пространственном. Наряду со значениями параметров в некоторой ее точке О на уже известном п-м временном слое способом, описанным ниже, найдем с погрешностями 0 Н) все их пространственные производные. Но ним с помощью отрезков рядов Тейлора найдем на том же слое с погрешностью 0 Ь ) отличия от параметров в точке О их значений в центрах тяжести (ЦТ) граней (сторон) ячейки. Найденные величины используем затем, взяв за О ЦТ ячейки, при записи для нее на временном интервале г интегральных законов сохранения. Анализ показывает, что при этом погрешности их разностной аппроксимации есть 0[т/г (/г+г)] с г/ = 2 и 3 соответственно в двух- и трехмерном случаях, а погрешности в имеющих порядок г приращениях параметров при переходе с п-го на (п + 1)-й слой - 0[т к + г)]. Нри установлении интегральные законы сохранения потоков, каждый из которых на отдельной грани есть 0(/г ), записываются с погрешностью 0(/г + ). Данные оценки показывают, что и в нестационарном случае, и после установления для любой сетки имеет место аппроксимация уравнений с первым порядком. Если сетка равномерна, то Н + г) из-за частичной компенсации ошибок заменится на (/г + ) что при установлении повышает порядок аппроксимации до второго. [c.203]

Решение системы (5.27) для Щ, Шо используется в качестве начального профиля пограничного слоя. Разностная схема для решения уравнений (5.21)-(5.24) строится следующим образом. Добавим в уравнения (5.21), (5.22) члены ди/01 ж д /01 соответственно. Введем равномерную сетку 1 и обозначим значения скорости в узлах этой сетки через Максимальные значения к обозначим соответственно Ж, М. Пусть имеется некоторое распределение скорости на временном слое Из уравнения (5.23) определяем распределение Далее решаем не стационарные уравнения пограничного слоя. Конечно-разностная схема имеет следующий вид [c.197]

Для построения разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальную задачу (8.21), введем квазиравномерную сетку и, т. е. сетку с шагом Л( ), равномерную на каждом из п участков стержня. В этом случае разностную аппроксимацию дифференциальной задачи представим в случае краевых условий первого рода следующим образом [c.197]

Непосредственная разностная аппроксимация задачи на равномерной сетке фактически сглаживает разрывы граничного условия в угловых точках, что может, вообще говоря, привести к потере точности. [c.117]

Монотонная схема 1-го порядка аппроксимации. На равномерной сетке получим консервативную схему, удовлетворяющую принципу максимума при любых и йа- Разностный оператор построим, использовав то [c.61]

Пространственные дифференциальные операторы аппроксимировались на равномерной сетке со 2-м порядком посредством консервативной монотонной схемы (3.30). Для вычисления завихренности на стенках цилиндров строились приближенные формулы типа Вудса. В случае нестационарной постановки задач разностное решение находилось методом установления с неявной схемой типа описанной в п. 4.2.2 для температуры и завихренности и с расчетом функции тока на временных слоях по методу последовательной верхней релаксации. При стационарной постановке решение разностных задач осуществлялось с помощью релаксационного метода, изложенного в п. 4.3.2 и 5.2. Сразу отметим, что в рассмотренном диапазоне магнитных чисел Рэлея релаксационный алгоритм решения стационарных конвективных уравнений приводил к тем же результатам, что и нестационарный метод установления, адекватно реагируя на кризис равновесного состояния при Ram Ra. [c.147]

MoHtHO убедиться в том, что (8.32) представляет конечно-разностный аналог для г-го узла сетки с равномерным шагом Д дифференциального оператора (8.26). В частности, при EJ = onst (8.32) превращается в уравнение (а) (см. 8.2), если в нем yiv записать с помощью оператора (8.6) [c.249]

Для одномерной задачи простейтаим примером пространственной разностной сетки является равномерное разбиение отрезка [О, М] на N равных частей, длина которых есть h = MIN равномерная разностная сетка). Отрезок [О, М] можно рассматривать, папример, как область изменения лагранжевой массовой переменной в пространственно одномерной задаче, М — рассматриваемая масса газа. Точки деления отрезка (на рис. 2.1 отмечены кружками), число которых в данном случае составляет [c.96]

Неравномерные сетки. Выше, вычисляя погрешпость аппроксимации, мы предполагали, что сетка является равномерной. В п. 2 этого параграфа указывалось, что встречаются ситуации, когда целесообразно использовать неравномерные сетки. В этом случае вычисление погрешности аппроксимации приводит к некоторым осложнениям. Для иллюстрации обратимся к разностному оператору второй производной. На неравномерной сетке его выражение выглядит следующим образом [c.106]

Для решения задач(г разностным методом введем по толщине пластины равномерную сетку узлов с шагом Д= 0,005 м. Явная конечно-разностная схема (текст программы для ЭВМ приведен в Приложении 3) не позволит применить шаг по времени больше чем Дт юп —2 с, который определяется из условия устойчивости (23.18). Неявная конечно-разностная схема (текст программы для ЭВМ, реализующей метод прогопки, приведен в Приложении 4) позволяет применять шаги по времени значительно большие. [c.245]

Как известно, для двумерных областей в настоящее время имеется ряд алгоритмов автоматического расчета сеток при сложных формах границ областей [1 7]. В основе этих алгоритмов лежат различные подходы, в частности, подходы, основанные на те-ории конформных или квазиконформных отображений [1, 2, 7], использующие те или иные геометрические конструкции [5], подходы, позволяющие строить сетки со специ-альными свойствами, например, близкие к равномерным, ортогональным [3, 4]. В то же время алгоритмы автоматического построения трехмерных сеток для широких классов областей (для каждой конкретной области обычно можно придумать индивидуальный способ построения сетки) развиты очень слабо, несмотря на то, что решение слож-ных трехмерных задач математической физики разностными методами или методом конечных элементов стоит в повестке дня. [c.499]

Напряженное состояние оболочки сильфона, подверженного действию равномерного внутреннего давления, интенсивностью = —1 Н/м2, определяли методом конечных разностей на ЭВМ. БЭСМ-6. Шаг разностной сетки по координате x принимали равным л/50, я/100, я/200, я/400. [c.79]

В схеме Годунова, в которой по параметрам на слое 1 из решения задачи о распаде произвольного разрыва находятся нормальные компоненты скорости центров всех элементов волны, построение контура волны можно вести аналогичным образом. При этом роль скорости звука играет своя для каждого элемента нормальная скорость О, а набегающий поток может быть и не равномерным. Для случая с точкой расщепления (I соответствующая схема дана на рис. 2, в. Здесь кд, -линия стационарного косого скачка, а тонкие прямые - направляющие разностной сетки. Певозмущенный стационарный поток с обеих сторон от к(1 равномерный и сверхзвуковой со скоростями ql и q2 над и под к(1. Область возмущенного течения ограничена слева ударной волной зи). По аналогии с принципом Гюйгенса и рис. 2, б волна, заданная на рис. 2, 6 в момент 1 пунктирной ломаной, при отсутствии набегающего потока образовывалась бы левыми участками штриховой кривой (кружочки - точки сопряжения отрезков прямых и окружностей). Сдвиг получающейся таким образом линии на rq приводит к штрихнунктирной кривой, пересечения которой с направляющими и с прямой к(1 или с ее продолжением определяют положение узлов (точки) волн в момент t- -т. Сама ударная волна в рамках применяемой для расчета схемы заменяется затем ломаной, соединяющей найденные узлы (сплошная линия). Поскольку в действительности для определения координат узлов строить штриховую и штрихнунктирную кривые не требуется, то алгоритм счета получается весьма простым. [c.173]

Для разностной схемы так же как и для дифференциальной модели можно провести исследование дисперсии и устойчивости в линейном приближении. Рассмотрим, как в нредыдугцем параграфе, равномерную сетку, и пусть с/о = 1,р=1, = 1. Липеа-эизоваппая на покое схема имеет вид [c.62]

Дальнейшее течение газа будет зависеть от формы стенок сопла. Стенкам сопел требуется придать такую форму, чтобы начиная от точки В вниз по потоку течение было равномерным. Тогда так же, как и в плоском случае, характеристики, исходящие из точки В плоскости X, у, должны быть прямыми линиями, на которых скорость постоянна по величине и направлению и равна скорости в точке В. В этой постановке линии тока, выходящие из точек А и которые и необходимо принять за стенки сопла, строятся следующим образом. На характеристике АВ и прямолинейной характеристике ВС параметры потока заданы. Если на АВ и ВС взять достаточное количество близких точек и через эти точки проводить характеристики другого семейства, то с помощью (4.1) и (4.2) разностным методом так же, как в плосконараллельном случае, определится поток в некотором криволинейном характеристическом четырехугольнике АВСО. Но теперь, в отличие от плоскопараллельного сопла, характеристики обоих семейств в этом четырехугольнике будут криволинейными. Имея достаточно густую сетку характеристик в этом четырехугольнике, приступим к построению линии тока, выходящей из точки А, которая должна заменить стенку. Из точки А проводим касательную к стенке до пересечения с первой характеристикой если такое пересечение происходит не в узлах сетки, то значение скорости в точке пересечения Ау определяется интерполяцией по значениям скорости в двух близких узлах, находящихся на этой характеристике. [c.380]

Более строго устойчивость трактуется как свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных, согласно которому всякое малое изменение входных данных (например, вследствие округления) приводит к малому изменению решения. Под входными данными обычно понимают правые части разностных уравнений, граничных и начальных условий. Предположим, что решение задачи (2.3), (2.4) существует при любых правых частях ф , хн из некоторого допустимого класса сеточных функций. Схема (2.3), (2.4) называется устойчивой, если разностное решение ун непрерывно зависит от входных данных фа, и эта зависимость равномерна относительно шагов сетки Оп- Иными словами, схема (2.3), (2.4) устойчива, если можно указать такие положительные константы М, Мг, не за-висяи ие от шагов сетки, что при любых допустимых наборах фУ>, и ф >, входных данных выполняется оценка [c.38]

Схемы конечно-разностного представ.оення конвективных членов, которые имеют первый порядок точностн на равномерных расчетных сетках (конечные разности против потока), ие ухудшаются при изменении шага сетки, в то время как схемы представления диффузионных членов ухудшаются. Для получения второго порядка точности требуются четырехточечные формулы (см. Саусвелл [1946]), Пирсон [1968] использовал трехточечные формулы на сетках с автоматически изменяющимся шагом для квазиодномерного расчета распространения ударной волны. [c.427]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...