Координатная система, нормально

Поверхность, огибающая (обертывающая) множество (семейство) сфер или окружностей, закономерно движущихся по направляющей оси, называется циклической. Закон движения сферы или круга в простом случае может быть задан графиком изменения радиуса по длине развернутой оси. В более сложных случаях задается закон поворота плоскости круга относительно выбранной координатной системы, к которой отнесена направляющая ось. Этот поворот может быть также задан относительно нормальной плоскости в данной точке направляющей оси. [c.206]

Преимущество формулы (3) перед аналитической формой тех же равенств (12) гл. VII заключается в том, что в ней напряжение, приложенное к любой площадке в сплошной среде, прямо выражается через произведение двух основных факторов напряженности в данной точке среды и ориентации площадки в ней. Формула (3) имеет объективный характер, не зависящий от выбора направлений осей координатной системы. Линейный инвариант [(41), гл. VIH тензора напряжении равен сумме нормальных напряжений [c.130]

Таким образом, плоское напряженное состояние определяют три величины угол Од, задающий главные направления в данной координатной системе х, у, и два напряжения ст , а.2. Зная эти величины, можно легко определить нормальный и тангенциальный компоненты напряжения на любой площадке, проходящей через точку х, у. Полное напряжение на этой площадке есть геометрическая сумма векторов а и т. На главных направлениях вектор полного напряжения направлен вдоль нормали я к площадке. [c.148]

Нормальная деформация вдоль направления х, угол между которым и осью X координатной системы (рис. 2.23) равен ф, может быть найдена с помощью простого тензорного преобразования [117] [c.103]

Заметим, что приведенное выше сингулярное решение (3.2), определяющее напряжения, имеет вдоль координаты t (т. е. координаты, расположенной вдоль фронта трещины) характер плоской деформации, поскольку а = v(а п + Огг) Рассмотрим для примера сквозную трещину, находящуюся в прямоугольной пластине, высота которой 2L, ширина 2W и толщина 2h, а начало координатной системы t, п, z расположено так, как показано на рис. 2. Если единственная внешняя нагрузка представляет собой растягивающие напряжения а, приложенные к поверхностям, нормальным к оси 2, то, как можно видеть, граничные условия в точках, где фронт трещины выходит на свободные поверхности, нормальные к оси t, будут следующими ст,/ = = = a t = О, в то же время Опп и Ozz не будут равны нулю Таким образом, напряженное состояние в точке, в которой фронт трещины пересекает свободную поверхность под углом 90° (как [c.187]

Ha рис. 3. 5, 6 показан ограниченный поверхностями, нормальными к направлениям г, 0, z, бесконечно малый элемент вместе с нормальными и касательными напряжениями, возникающими в нем. Сравнивая этот элемент с представленным на рис. 3.1, видим, что напряжения Ог остаются одинаковыми в обеих координатных системах. Касательные напряжения, возникающие на гранях, нормальных к оси z, можно обозначить либо как Оп и Ое , либо как Охг и Oyi поскольку они возникают на гранях равных [c.132]

Соответствующая векторная диаграмма, показывающая это разложение в неискаженном виде, представлена на рис. 6.8, в. Каждый вектор вращения направлен вдоль- оси вращения, его длина пропорциональна величине угла поворота, а направление определяется правилом правой руки, т. е. его, направление указывается большим пальцем правой руки, когда остальные пальцы устанавливаются в направлении вращения. Ось результирующего поворота на угол dQ, очевидно, параллельна оси конуса. Как видно из рис. 6.3, ось поворота составляющей dd ==dd9, обусловленной кривизной координатной линии oq в срединной поверхности, нормальна к поверхности в точке q. Ось поворота д1 угой составляющей Ь = Ь d9, обусловленной кручением, касается срединной поверхности и составляет прямой угол с отрезком oq в точке q. Таким образом, из векторной диаграммы получаем Ь = os ж и d = —sin X (знак минус берется потому, что зта составляющая дает направление поворота первого квадранта координатной системы XYZ, противоположное направлению, - показанному на рис. 6.3). [c.405]

Для случая турбулентности за решеткой принятие координатной системы, движущейся вместе с потоком, позволяет приблизиться к условиям изотропности по крайней мере в нормальных плоскостях. Затем можно сделать подстановку [c.263]

Эти площадки и направления нормалей к ним называют главными площадками и главными направлениями или главными осями напряжений, а нормальные напряжения по этим площадкам— главными напряжениями. Если главные направления неизвестны и приходится пользоваться произвольно выбранной координатной системой, то в аналитическую характеристику напряженного состояния входят шесть величин. Так, например, для напряженного состояния, возникающего в отдельных зонах при резании (в резце и в обрабатываемом металле) или при растяжении надрезанного образца при наличии перекоса, направления главных напряжений заранее неизвестны. [c.31]

Так, например, если задана площадка с направляющими косинусами йх, йу и йг относительно выбранной координатной системы и известны главные напряжения, приведенные в формуле (1.3), то нормальное 5 и касательное / напряжения на этой площадке определяются следующими формулами [c.32]

Корнями этого уравнения являются главные нормальные напряжения. Поскольку главные напряжения не изменяются при повороте координатных осей, т. е. не зависят от метода их нахождения, коэффициенты уравнения (1.7) /х, /2, /3 также не зависят от выбора координатной системы, иначе говоря, они являются инвариантами тензора напряжений по отношению к повороту координатных осей. [c.19]

В координатной системе главных осей на основании (2.6), (2.7) и (2.8) и в силу того, что (без суммирования по А ), имеем выражение для величин нормальной [c.243]

Формулы (1.19) и (1.38) позволяют найти нормальное и касательное напряжения по любой площадке в данной точке, если известны главные площадки и главные напряжения. Пользуясь этим, найдем напряжения на площадках, равно наклоненных к главным площадкам. В восьми октантах координатной системы можно построить восемь таких площадок, образующих октаэдр (восьмигранник) они носят название октаэдрических напряжения на них также называются октаэдрическими. [c.36]

Как видно, речь здесь идет о величинах, которые не зависят от координатной системы, так как все индексы встречаются попарно и, следовательно, по всем ним выполняется суммирование. Три решения характеристического уравнения (1.20) являются главными нормальными напряжениями Ст1, Стг и стз. Согласно основной теореме алгебры, с их помощью уравнение (1.20) можно записать в следующей форме [c.26]

Семейство координатных систем в оболочке, нормально связанных с поверхностью. Выписанные выше формулы относились к любой сплошной среде. Они справедливы относительно произвольно выбранной координатной, системы. Мы теперь переходим к рассмотрению оболочек. Для них удобнее рассмотреть специальные координатные системы . [c.19]

Нормальное напряжение ст на заданной площадке не зависит, очевидно, от выбора координатной системы и изменяется лишь при повороте площадки. Главные напряжения ст , сТд являются экстремальными значениями нормального напряжения ст и также не зависят от выбора координатной системы. Уравнение (1.8) может быть получено как условие экстремума ст . Следовательно, коэффициенты кубического уравнения (1.8) не изменяются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой, т. е. инвариантны. Эти коэффициенты [c.14]

Пусть плоскости симметрии совпадают или параллельны координатным плоскостям. Если в такой системе координат изменить направление какой-либо оси, например х, на обратное, то упругие постоянные не должны измениться. При таком преобразовании нормальные напряжения в , нормальные деформации сохраняют свои знаки (так как каждый индекс у ац, гц входит дважды). Сдвиги ei2, eia и касательные напряжения 012, Oia изменяют свои знаки. Сдвиг еаз и касательное напряжение 023 сохраняют знаки. Аналогичные следствия получим, если изменим направление осей Хч и Хг на обратные. [c.115]

Решение. Изобразим материальную точку в том положении М, для которого надо найти скорость точки и натяжение нити. На точку М действует сила тяжести Р и натяжение нити N. Присоединяем (условно) к этим силам нормальную и касательную силы инерции и Фх. Полученная система сил согласно принципу Даламбера (4) будет находиться как бы в равновесии. Направим оси координат так, как показано на рисунке, и напишем три уравнения равновесия. Приравнивая нулю сумму проекций всех указанных сил на соответствующие координатные оси, получим [c.497]

Если координатные оси совместить с главными направлениями тензора напряжений, то в этой системе координат компоненты анг кфг) обратятся в нулю остаются лишь действующие на этих площадках нормальные напряжения а . [c.45]

В заданной системе (вихрь — двугранный угол) координатные оси совпадают с линиями тока и, следовательно, нормальные к этим осям составляющие скорости равны нулю. Таким же свойством обладают взаимно перпендикулярные прямые, проведенные в потоке, образованном системой из четырех вихрей (рис. 2.26). Рассмотрим, например точку А на оси Оу. Нормальная к этой оси составляющая скорости, индуцируемая расположенными симметрично относительно нее парами вихрей 1—4 и 2—.3, интенсивности которых одинаковы, но противоположны по знаку, равна нулю. Аналогичный результат получается при определении составляющих скоростей, индуцируемых парами вихрей 1—2 и 3—4, в точке В оси Ох. [c.66]

Это допущение относится не только к площадкам, нормальным к осям произвольно выбранной системы координат, но и к любой наклонной к координатным осям площадке. Тогда, согласно выражениям (И1.15), можно написать проекции напряжений сил давления, нормальных к произвольно направленной площадке, [c.85]

Первые три уравнения системы (5.35) являются уравнениями статики (5.33). Вследствие этого только 27 коэ(]х])ициентов при г= 1, 2, 3 отличны от нуля. Остальные 24 уравнения системы (5.35) соответствуют условиям совместности деформаций вдоль каждой из осей согласно (5.32). Последовательное приравнивание деформаций нормальных площадкам структурных элементов, находящимся на гранях единичного куба, дает по восьми уравнений для каждого направления координатной оси. Схемы соединения площадок по каждой грани куба могут быть различными. В работе [25] при записи коэффициентов йг, лля де- [c.132]

В каждой точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения <г. Выделив вокруг любой точки с координатами у и Z элементарную площадку dF, обозначим действующую на нее силу dN adF. Отмеченная часть балки находится в равновесии под действием внешних сил, образующих пару М, и нормальных усилий dN, заменяющих отброшенную часть балки. Для равновесия эта система сил должна удовлетворять шести уравнениям статики. Напишем сначала уравнения проекций на 3 координатные оси х, у, г. [c.218]

Рассмотрим показанный на рис. 5.4 элементарный параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям системы x-y-z. Эксперименты показывают, что если на такой элемент действует равномерно распределенное напряжение Оу, как показано на рисунке, никаких искажений углов элемента не происходит. В экспериментах можно наблюдать, что при действии нормального растягивающего напряжения Оу, как показано на рис. 5.4, элемент удлинится Б направлении у, а его размеры в направлениях х н z уменьшатся. Аналогично, если бы напряжение Оу было сжимающим, размер элемента в направлении у уменьшился бы, в то время как размеры в направлениях л и 2 увеличились бы. Экспериментально наблюдаемое изменение длины S. dy) в направлении у может [c.111]

Если доказано, что система координат ортогональна, то может быть полезен еще и другой метод расчета метрических коэффициентов. В этом случае координатные поверхности 2 и gg перпендикулярны к координатным поверхностям Но так как координатная кривая принадлежит одновременно каждой из первых поверхностей, эта кривая должна быть перпендикулярна к поверхности = onst. Тогда в общем координатные кривые нормальны к поверхностям, на которых постоянна. Общие свойства оператора V таковы, что вектор Vqk нормален к поверхностям, на которых qh постоянна, и направлен в сторону возрастания Следовательно, единичный касательный вектор Ц к координатной кривой дд, проходящей через данную точку пространства, тождествен единичному нормальному вектору щ к координатной поверхности дд, проходящей через эту точку. Поскольку из общих свойств оператора V следует [c.552]

Различные компоненты в смеси движутся с разными скоростями. Мы, однако, имеем в виду не скорость какой-либо отдельной молекулы, а среднюю скорость всех молекул данной компоненты внутри некоторого малого объема. Для компоненты А мы обозначим эту скорость va, считая, что она измеряется в неподвижной системе координат. Поток массы компоненты А на единицу площади (масса, проходящая в единицу времени через единицу площади) является, следовательно, вектором, равным произведению рдУл (здесь единичная элементарная площадка нормальна к направлению вектора скорости). Обозначая вектор потока (по отношению к неподвижной координатной системе) через Na, мы имеем [c.446]

Локальная декартова координатная система Оу у у в произвольной точке О ориентирована следующим образом ось 0у1 параллельна оси трубы, ось Оу нормальна к поверхности трубы (рис. 9.7). Сравнивая с ориентацией осей в куэттовском течении (см. рис. 9.2), замечаем, что оси Oyi и Оу как бы поменялись местами относительно трубы или цилиндра. [c.276]

Возьмем направления х и г/ в качестве осей а и р, в качестве отрезков 8х, 8у я возьтем отрезки ОР, 0Q и PQ, в качестве дХо и бг/й примем ОР и 0Q, когда и = v = w = 0. Взяв ОР как сумму квадратов разностей между координатами точек О и Р в координатной системе XYZ и т. д. и подставив найденные значения в выражения (6.7), получим формулы для нормальных деформаций в направлениях <х и и деформации сдвига [c.400]

Несмотря на то, что эти изотропные условия не являются типичными ни для одного практически значимого реального потока, они оказались целесообразными, так как послужили стимулом для ученых, работающих в этой области, к постановке многих исследований, которые только недавно стали давать некоторые результаты. Отношение критического исследователя к идеализированным системам очень хорошо выразил Батчелор Изучение однородной турбулентности практически важно, так как, если мы поймем этот более простой случай, то мы до некоторой степени разберемся и в аспектах неоднородной турбулентности . В самом деле, Тэйлор, сделав еще один шаг в исследованиях, показал, что турбулентность в следе за прямоугольной решеткой в аэродинамической трубе примерно изотропна в плоскостях, нормальных к направлению среднего движения, по отношению к координатной системе, движущейся вместе с потоком. Это открытие с одновременным усовершенствованием анемометра с горячей нитью позволило проводить наблюдения в лаборатории и в поле, так что оба инструмента научного исследования — математический анализ и экспериментальные измерения — могли применяться одновременно. [c.257]

Компоненты заданного векторного или тензорного поля могут быть определены в любом поле базисов. Если эти базисы не нормальны ни к каким семействам поверхностей, то они называются неголонамными. [Нкпример, реперы главных осей тензора напряжений, вообще говоря, неголономны. — Ред.] Неголономные компоненты вполне позволяют определить нли задать векторные и тензорные поля, однако они не являются компонентами по отношению ни к какой координатной системе. [c.91]

Незатухающий ток. Наиболее поразительное свойство сверхпроводников состоит в том, что их сопротивление равно нулю, о свойство можно сразу понять, исходя из микроскопической теории. Мы строили основное состояние, спаривая электроны с импульсами к н —к. Можно построить состояние, спаривая электроны с волновыми векторами к- - ч и —к- - д. Получающееся таким образом состояние совершенно эквивалентно исходному, если рассматривать его из координатной системы, движущейся со скоростью —Йд/ш. Центр тяжести каждой пары движется со скоростью Йд/т, а плотность тока равна —Л ейд/т 2, где N10. — электронная плотность. Полная энергия такой системы больше энергии неподвижной на величину Л й /2ш, равную ее кинетической энергии. Аналогично можно было бы построить и дрейфовое состояние нормального электронного газа. Огличие состоит, однако, в том, что в последнем случае ток оказывается затухающим. Примеси или дефекты в нормальном металле могут рассеивать электроны, переводя их с переднего края поверхности Ферми на задний , что, как показано на фиг. 154, а, приводит к затуханию тока. Матричный элемент потенциала рассеяния [c.571]

Определение потока, обтекающего тело, сводится в первую очередь к определению величины и направления скорости во всех точках жидкости вектор скорости удобно выражать в виде трех составляющих и, V и IV), параллельных направлениям осей [х, у, 2) ортогональной координатной системы. Задача значительно упрощается, если тело представляется в виде бесконсч-ного цилиндра, образующие которого нормальны к направлению невозмущенного потока, а поток не имеет составляюи ей скорости, параллельной У образующим. Выберем ось г параллельно образующим цилиндра тогда w 0 в любой точке, и поток одинаков во всех плоскостях, параллельных плоскости 2 = 0. Следовательно достаточно рассмотреть поток в одной какой-нибудь плоскости, нормальной к образующим цилиндра вопрос в этом случае значительно упрощается вследствие приведения его к рассмотрению потока в двух измерениях (плоско-параллель-иый поток). Чтобы придать задаче реальный физический смысл, будем предполагать, что поток имеет ширину, равную единице, в направлении оси г кривые в плоскости будут изображать цилиндрические поверхности с шириной равной единице. [c.19]

Напряжение — величина векторная и может быть представлена как функция векторного аргумента, определяемого направлением нормали к площадке. В пространстве напряжение, как всякий вектор, характеризуется тремя его составляющими, зависящими только от координат х, у, г, если напряжения в точке одинаковы для всех проведенных через нее площадок. Однако величина напряжений в различных площадках, проведенных через данную точку, непостоянна. Поэтому напряжения в какой-либо точке тела характеризуются не только координатами точки, но и ориентацией площадки, определяемой направлением внещ-ней нормали. Если площадка в системе прямоугольных координат X, у, г определяется нормалью N и не совпадает ни с одной из координатных плоскостей (рис. 1,а), вектор полных напряжений Р может быть разложен по направляющим осям на Рпх, Рпу, Рщ. Вектор Рп может быть разложен также на составляющие нормальное напряжение, направленное по нормали к площадке Сп, и касательное напряжение %п, которое в свою очередь можно разложить на составляющие Хпх и Хпу, параллельные координатным осям х и у (рис. 1,6). [c.6]

Через каждую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, на которые действуют главные нормальные напря>кения. Следовательно, значения главных напряжений должны быть одними и теми же независимо от выбора исходной системы координат, в которой были определены компоненты тензора напряжений. Это означает, что коэффициенты /j, 1 и /3 кубического уравнения не меняют своего значения при изменении системы координат. Отсюда можно сделать вывод, что указанные коэффициенты являются соответственно первым (/j), вторым (I ) и третьим I3) инвариантами тензора напряжений по отношению к повороту координатных осей. [c.15]

Требуется найти нормальное и касательное напряжения в точке М проведенного в нагруженном теле сечения (рис. VIII.1). Помещаем в точке М начало системы координат и проводим сечение, параллельное данному, отсекающее на координатных осях бесконечно малые отрезки х, у, 2. Вырезаем образованный тетраэдр и рассматриваем его равновесие. Напряжения по граням тетраэдра для большей ясности изображены на двух рисунках. Считаем компоненты напряженного состояния (рис. VIII.2, а) и направляющие косинусы т , И внешней нормали I к наклонной грани тетраэдра заданными. Напряжение р по этой грани разлагаем двояко на О и Т и на р , р , р (рис. VIII.2,б). Если площадь наклонной грани тетраэдра равна dF, то площади его граней, нормальных к осям х, у, г, соответственно равны [c.280]

Коэффициенты ij, и свободный член уравнения (VIII.8) называются инвариантами (независящими от выбора системы координатных осей) напряженного состояния в данной точке тела. Из выражения для в частности, следует, что сумма трех нормальных напряжений по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку, постоянна. [c.283]

Продолжение примечания с предыдущей страницы. Движение лиувиллевой системы (рис. 49) в проекции на каждую координатную ось имеет такой же колебательный характер, как движение в потенциальной яме (рис. 41). Таким образом, лиувиллева система сводится к двум системам с одной степенью свободы (но эти системы зависят, вообще говоря, от полной энергии исходной системы как от параметра, так что здесь нет такого тривиального распадения системы на одномерные, какое наблюдается при линеаризации после перехода к нормальным координатам иначе говоря, лиувнллева система в общем случае не является прямым произведением одномерных). Наконец, представление Пуансо (см. рис. 66) тоже можно рассматривать как сведение случая Эйлера к (ненатуральной) гамильтоновой системе с одной степенью свободы (см. рис. 74), [c.286]

Решая систему из трех линейных уравнений (И, 13 и 15), получим координаты х , у , Zg нормального сечения зуба пгестернк. В системе S2 проекции этого сечения получаются в искаженном виде, поэтому определим его координать в секущей плоскости, для чего найдем формулы перехода между системами S2 и воспользовавшись формулами (26 и 2в), подставив в них X = НО"", St = О, и формулами преобразования между системами S2 и При этом надо иметь в виду, что система 04 жестко связана с системой S . В системе iS o4 координатная плоскость является секущей, поэтому сечение здесь получается неискаженным. После преобразований найдем [c.273]

При расчетах течения в межлонаточных каналах вводится ряд упрощающих предположений. Помимо потенциальности процесса течения, предполагается плоское течение, т. е. изучаемое в системе только двух координатных осей. Затем сначала вводится предположение о несжимаемости текущей жидкости, сжимаемость же учитывается потом введением поправок в результаты расчетов. Предполагается, что при течении вдоль криволинейного канала известны линии тока в потоке и, соответственно, эквипотенциальные линии, взаимно нормальные с линиями тока в точках пересечения. Поскольку те и другие линии кривые и кривизна их играет существенную роль в процессе течения, удобно от прямолинейной системы прямоугольных координатных осей перейти к прямоугольной же криволинейной системе, приняв за ось абсцисс одну из линий тока (которая предполагается нам известной), а за ось ординат — эквипотенциальную линию, обычно на входной части канала. [c.181]

Более сложная модель системы показана на рис. 5 она представляет собой систему с двумя степенями свободы перемещения резца в плоскости действия силы резания. Показан типичный случай, когла система имеет разную жесткость в различных направлениях и сила резания по направлению не совпадает пи с одной из главных осей жесткости. В этом случае смещение вершины резца не совпадает с направлением действия силы. Возникает связь (координатная, статическая, упругая) между перемеще-чиями по направлению действия силы и в перпендикулярном к ней направлении (в системе возможны другие виды связей — инерционная, скоростная). Учитывая сказанное, нетрудно представить себе возникновение фазового отставания танген-ВДальной составляющей силы резания от перемещения вершины резца в направлении действия этой силы. Величина силы зависит от толщины срезаемого слоя, определяе-ого смещением вершины резца в направлении, нормальном к этой силе, и происходящем с фазовым сдвигом по отношению к тангенциальному смещению. Вершина резца Рч Этом движется по эллиптической траектории (рис. 5, а). При движении (рис. 5, 6) д Рону действия силы резания (положения 1—3) резец врезается на большую Hii увеличивая тем самым силу. При движении в обратном направлении (положе- ) резец снимает слой меньшем толщины и сила уменьшается. За цикл колеба-ц, совершает работу (рис. 5, в), пропорциональную площади эллипса переме- [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...