Параметрические Значения критические

В-третьих, параметрический резонанс имеет место не только при некоторых дискретных значениях критических частот, но охватывает целую область неустойчивых состояний в окрестности этих частот. [c.246]

Помимо основных параметрических резонансов возможно возбуждение на частотах пульсации, значение которых в целое число раз меньше частоты основного резонанса. Таким образом, все отмеченные случаи могут быть объединены следующей зависимостью, определяющей центрированные значения критических угловых скоростей ведущего звена [c.251]

В этом параграфе рассмотрим задачу устойчивости равновесия длинной прямоугольной многослойной пластинки, нагруженной вдоль длинных сторон равномерно распределенным сжимающим усилием. Выполним исследование выпучивания такой пластинки по цилиндрической поверхности, включающее в себя параметрический анализ критических интенсивностей сжимающих усилий, численные оценки влияния на них поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали. Вновь подчеркнем, что ввиду аналогии, существующей между уравнениями задачи о выпучивании длинной прямоугольной пластинки по цилиндрической поверхности и уравнениями устойчивости стержня, результаты, установленные при исследовании первой из этих задач, сохраняют свое значение и для второй. [c.113]

Формулы (36.11) и (36.15) дают связь между параметрами, при выполнении которой существует полуцелое периодическое решение. Иными словами, эти формулы определяют границу устойчивости равновесия. Критические числа Рэлея, согласно этим формулам, зависят от Р, fe и а. Следует, однако, подчеркнуть, что параметр а, в отличие от волнового числа к, не является свободным он, в сущности, сам должен быть определен всеми остальными параметрами задачи. Для определения а можно было бы составить еще одно интегральное соотношение, например, уравнение моментов. Такой путь приводит к весьма громоздким соотношениям. Поэтому ограничимся нахождением нижней границы области неустойчивости. С этой целью будем рассматривать параметр а как свободный и найдем минимум R (Л, а) по fe и а при фиксированном Р. Минимальное критическое число Rm определяет нижнюю границу амплитуды 0, которая необходима для параметрического возбуждения неустойчивости при данной частоте. Значения же кт и а , соответствующие минимуму, вряд ли можно рассматривать как истинные значения критического волнового числа и параметра проникновения. [c.258]

Вообще можно показать [7], что для п-й области параметрического возбуждения критическое значение по порядку величины равно [c.364]

Другим примером динамической неустойчивости является параметрический резонанс, возникающий вследствие воздействия на систему периодически изменяющейся силы. При этом параметрический резонанс наступает при амплитудных значениях внещней силы, меньших чем статическая критическая сила для той же системы. Этот тип потери устойчивости рассмотрен в 18.6. [c.469]

Некоторые общие соображения, связанные с устранением параметрического резонанса. Нарушение условий динамической устойчивости для рассмотренной выше модели возможно не только при О) = 2ka, но и при О) = 0 = 2ko/i, где i — целое число. Кроме того, следует иметь в виду, что около этих критических значений располагается целая область неустойчивых состояний си- [c.248]

Прежде всего установим критические частоты, на которых можно ожидать параметрического возбуждения. Как уже отмечалось, основной параметрический резонанс имеет место при близости частоты пульсации к удвоенному значению усредненной частоты собственных колебаний, т. е. в нашем случае при i o = = где i = 1, 2, 3,.. . [c.250]

Используя изложенные соображения и метод условного осциллятора (см. гл. 4), можно для инженерных оценок критического уровня параметрического возбуждения воспользоваться пульсацией корней формального частотного уравнения (4.80) относительно их среднего значения. При этом, аппроксимируя изме- [c.262]

Здесь — критическое значение параметрического возбуждения, определяемое для заданного /формулами (6.18), (6.21), (6.22). [c.272]

Сила Р является параметрической нагрузкой, и, если она неизменна во времени, ее критическое значение можно найти при помощи метода Эйлера. Пусть ф — угол отклонения стержня от вертикали и с—коэффициент жесткости упругого шарнира. Тогда восстанавливающий момент (момент упругого шарнира) составляет —сф, и уравнение равновесия стержня в отклоненном состоянии приобретает вид [c.277]

Критические значения коэффициентов возбуждения. Наименьшее значение коэффициента возбуждения, при котором возможно возникновение неустойчивости, называют критическим. Приближенное критическое значение для главного параметрического резонанса в системе, описываемой уравнением (20), легко найти из соотношения (39) [c.126]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Чрезвычайно заманчиво было бы построить графики, представляющие диапазон значений амплитуд поперечных перемещений, которые соответствуют устойчивым волнам, в зависимости от длины волны и толщины оболочки. Однако такая диаграмма будет иметь разрывы по двум причинам. Во-первых, при изменении величины одного из параметров значение, соответствующее точке бифуркации для критической формы, может понизиться и точка бифуркации в конце концов может исчезнуть во-вторых, наоборот, могут появиться новые точки бифуркации. В обоих случаях появляется скачок критического значения амплитуды. Кроме того, существует возможность столкнуться с явлением субгармонического резонанса второстепенных координат. Поэтому затраты, связанные с проведением дополнительных вычислений для построения точных параметрических диаграмм, представляются недопустимо большими. Вместо этого приведены табл. 1 и 2, в которых указаны типичные критические предельные значения, а также величины всех коэффициентов, играющих роль при анализе. [c.77]

Как видно из изложенного, несмотря на большое количество лабора-торно-вычислительных работ, многие важные темы механики оказались еще не охваченными. Поэтому в настоящее время да кафедре продолжается работа по улучшению и усовершенствованию практикума. Прежде всего имеется в виду расширить темы нелинейных колебаний и устойчивости ввести главы, посвященные электромеханическим системам, влиянию неидеальных источников энергии, движению при наличии случайных воздействий [3]. Большое внимание уделяется дальнейшему созданию собственно лабораторных работ, сопровождающихся проверкой теоретического материала ча действующих установках. Для наглядности полученных результатов и для полноты теоретических сведений большое значение имеет практикум на моделирующих машинах, где решаются задачи из самых различных областей механики типа решения дифференциального уравнения третьего порядка, определения зон устойчивости и неустойчивости при параметрическом резонансе, построения амплитудно-частотной характеристики механической или электромеханической системы, нахождения предельного цикла автоколебаний, вычисления критической эйлеровой нагрузки и т.п. [c.61]

Численный метод позволяет определить зависимость критического числа Рэлея от параметров модуляции. На рис. 88 представлен пример расчета, дающий зависимость критического значения приведенного числа Рэлея Н от безразмерной амплитуды модуляции Т1 при фиксированных со и п ((о=1, п=3,67). В пределах основной полосы неустойчивости критическое число К возрастает с увеличением т], т. е. имеет место стабилизация. При достаточно больших Т1 (для указанных значений со и п при г > 2,7) неустойчивость связана с резонансным параметрическим возбуждением. [c.248]

Системы (33.9) и (33.18) или эквивалентное им уравнение второго порядка (33.19) позволяют численно определить границы устойчивости при произвольных значениях параметров. В предельном случае высоких частот с помощью метода усреднения удается получить простые аналитические формулы, выра жающие зависимость критического числа Рэлея от параметров модуляции. Заметим сразу, что здесь мы имеем в виду случай параметрического воздействия посредством вертикальных колебаний высокой частоты высокочастотная модуляция равновесного градиента температуры приводит к образованию температурного скин-слоя, который необходимо учитывать при рассмотрении устойчивости (см. следующий параграф). [c.250]

Анализ модели трещины со связями. Анализ модели трещины со связями в концевой области сводится к параметрическому исследованию решения СИДУ (21) при различных законах деформирования связей, размерах концевой области трещины и упругих постоянных материалов. Учет условий (23) и (31) позволяет определить размер концевой области и величину критической внешней нагрузки в состоянии предельного равновесия трещины. Непосредственно из решения СИДУ (21) определяются нормальные и касательные усилия в связях. Раскрытие трещины в пределах концевой области определяется согласно (7), а значения КИН, скоростей высвобождения и поглощения энергии определяются из выражений (17)-(20), (28) и (30). [c.233]

Еще одним примером гидродинамической системы, обладающей спектром собственных колебаний, является капля жидкости (или газовый пузырек), взвешенная в жидкости другой плотности. Спектр собственных частот такой капли был рассчитан Чандрасекаром [37]. В литературе имеются работы, посвященные колебаниям капли в поле вибраций акустической частоты (см., например [38—40]). Интересные результаты получены в работах [38, 39], где капля подвешивалась в жидкой матрице акустическим полем, состоящим из двух ультразвуковых компонент с близкими частотами. Комбинационная частота, равная разности частот двух компонент, оказывалась при этом близка к собственным частотам низших мод колебаний капли и в эксперименте [38] наблюдалось резонансное возбуждение квадрупольных колебаний капли на указанной комбинационной частоте. В теоретической работе [39] было показано, что эти колебания не являются параметрическими, поскольку порог возбуждения для них отсутствует, т. е. речь идет о резонансе вынужденных колебаний. Возбуждение колебаний пузырька в жидкости, подверженной монохроматическому акустическому полю, было исследовано теоретически в [40]. Показано, что при достижении мощностью волны некоторого критического значения радиально-симметричные колебания становятся неустойчивыми вследствие взаимодействия акустического поля с несимметричными модами собственных колебаний пузырька. В названных работах значительную роль играют эффекты сжимаемости. В настоящем параграфе исследуется поведение капли (или пузыря) в вибрационном поле неакустической частоты. Изложение следует работам [41, 42]. [c.55]

Как видно из (1.4.72), учет вязкой диссипации ведет к двум эффектам. Во-первых, возбуждение параметрического резонанса приобретает пороговый характер, и колебания возникают (в минимуме нейтральной кривой) при значениях е, превышающих некоторое критическое значение [c.66]

Вопрос об устойчивости периодических движений линейных гамильтоновых систем подробно исследовался в работах М. Г. Крейна и В. А. Якубовича, результаты которых подытожены в совместной статье этих авторов (1963). Полученные ими результаты являются основой математической теории параметрического резонанса. М. Г. Крейн установил, что собственные частоты колебаний механических систем по отношению к параметрическому резонансу подразделяются на частоты первого и второго рода. Параметрический резонанс в классе гамильтоновых систем возможен лишь в случае, когда частота возмущения близка к одному из критических значений ( >j + ( л)/А , если и — собственнице частоты одного рода, и I (Оу — о>й I /М, если со и со — собственные частоты разного рода (здесь N — произвольное целое число). Указано, каким образом определяется род собственных частот. В. А, Якубовичем (1958) получены формулы для границ областей динамической неустойчивости, позволяющие, в частности, классифицировать указанные выше критические значения по степени их опасности . [c.37]

Для нижней критической частоты главного параметрического резонанса и для соответствующего ей значения амплитуд колеба- [c.386]

При меньших значениях амплитуд имеет место неравенство АЕ >А , т. е. в этом случае расходуется больше энергии, чем поступает извне и, следовательно, колебания затухают наоборот, если амплитуда превышает предельное значение, определяемое формулой (4.30), то справедливо противоположное неравенство, а это означает, что колебания нарастают. Очевидно, что здесь мы имеем дело с осциллятором, который является устойчивым в малом и неустойчивым в большом. Для того чтобы происходили параметрически возбуждаемые колебания, необходимо такое начальное возмущение, при котором амплитуда фо превышает критическое значение ф2. [c.162]

Следует заметить, что с практической точки зрения эти замечания не являются обременительными. Действительно, нас редко интересуют критические значения параметра внешней нагрузки, имеющие номер выше первого, в то же время порядок матриц, которыми оперируют в расчетах, достаточно высок, так что возможности, представляемые правилами 1 и 2, по существу не используются. Что касается замечания о ложной основной системе, то здесь следует иметь в виду два обстоятельства во-первых, ложная основная система встречается достаточно редко, а во-вторых, нулевые значения неизвестных, которыми характеризуется ложная основная система, как правило, могут встретиться в том случае, когда рассматривается загружение чисто параметрической нагрузкой по терминологии А. Р. Ржаницына. В практических же задачах мы обычно сталкиваемся с загру-жением как параметрической, так и активной нагрузкой, поэтому и второе замечание нельзя отнести к категории обременительных. [c.152]

Сила Р является параметрической нагрузкой, и если она постоянна во времени, ее критическое значение можно найти при помощи формулы Эйлера. [c.163]

В данной работе выполнено первое параметрическое численное исследование тепловой гравитационной конвекции околокритической жидкости с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса в квадратной области с боковым подогревом. При изменении определяющих параметров - числа Рэлея и отклонения температуры от критического значения - изучены интенсивность и структура стационарного конвективного тепломассопереноса, в нестационарном режиме проведено подробное сравнение с совершенным газом. [c.143]

Штриховые линии на рис. 5.2 характеризуют потерю устойчивости моментных функций вида xiyTyT), х2уТу2), которые содержат фазовые переменные Хи в первой степени. Эти линии не определяют устойчивость стохастического решения, однако они могут быть использованы как оценки верхней грани выборочных значений критических сочетаний параметров. Для моментов указанного типа потеря устойчивости может происходить при чисто мнимых характеристических показателях i, а соответствующие частные решения могут иметь осциллирующий характер (участки кривых выше точек излома). На рис. 5.3 показаны аналогичные границы области устойчивости, построенные при других сочетаниях параметров. На этих графиках более четко выражены области побочных параметрических резонансов. [c.145]

Подставляя в (7.1.4) и (7.1.5) отношение У /Уз из (7.1.7), получим в параметрической форме зависимость с /[( 3 /-) (Уб/У ,)] от о7/о р, в которой величина 8кр соответствует критическому числу Рейнольдса Ке р = = УооОкр/ - Эта зависимость приведена на рис. 7.1.3 в виде графиков для различных значений формпараметра. [c.442]

В этом выражешш для скорости деформации (е,,) учтено, что = j -ь /, а вдоль JHiHHH = orist, согласно (2.12), при > =0 выполнен баланс импульсов в проекции на ОХ, Для фиксированною значения х вблизи критической точки формулы (2,16), (2,17), зависящие параметрически от /, дают возможность построить в плоскости "напряжение - деформация" петлю динамического гистерезиса. [c.47]

Для критического значения частоты возбуждения в области главного параметрического резонанса справедливо приблил<енное соотношение [c.16]

I Экспериментальные р, -данные, представленные в [55], уписаны степенной зависимостью Ар = (1,395 0,020) где 5=0,3554 0,0028, а ркр== 69,580 0,020 мг/см1 Описание Р, V, Г-данкых в рамках линейной модели уравнения состояния шестью подгоночными параметрами приводит к значениям <ритических показателей у= 1,743 0,005 и а=0,115 0,006. Лредложена также модифицированная параметрическая мо-1ель с большим числом подгоночных параметров, в которой критические показатели соответственно равны y=1,223 0,0017 и а=0,067 0,06. Отклонения от правила прямолинейного диаметра не обнаружены. [c.55]

Следует отметить, что значения комплексов критических айплитуд (3.48)—(3.52) зависят не только от критических показателей, но и в какой-то мере от формы асимптотического уравнения состояния. Так, для кубической модели параметрического уравнения состояния (3.30), (3.32), в котором коэффициенты Ьо и Со определяются выражениями [c.101]

Полученные в [162, 163] величины коэффициента выше чем по уравнению (3.57), на 6,6% [162] и 1,1 /о [163] сам же значения комплексов критических амплитуд практическ совпадают с их значениями в точке экстремума. Таким обра зом, варьирование всеми тремя коэффициентами а, к, Ь лиией ной модели параметрического уравнения состояния не докази вает и не опровергает универсальности приведенных выше ком плексов. [c.104]

Аналогичные эксперименты с двумя ньютоновскими жидкостями различных плотностей (при отношении объемов жидкостей, равном единице) проводились в цилиндрической полости [9]. Относительная плотность использованной пары жидкостей ИиоппеП РС722 - масло касторовое, р]/р2 = 1.75, несколько отличается от относительной плотности пары песок - этанол р /р2 = 2.3. Одна из жидкостей (касторовое масло) имеет высокую вязкость, что позволяет подавить параметрические колебания границы раздела. Результаты измерений приведены на фиг. 3, б (точки 4). Как и в случае плоского слоя, двумерный квазистационарный рельеф на границе раздела жидкостей возникает критическим образом при значении вибрационного параметра XV 0.2 и имеет определенную длину волны. При повышении МУ высота рельефа нарастает, однако длина волны увеличивается незначительно. Приведенная для сравнения нейтральная кривая (сплошная линия), построенная по (1.2) для плоского слоя, располагается ниже экспериментальных точек 1-3) в области небольших к, когда [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...