Фазовый ансамбль Гиббса

Для определения макроскопических свойств системы в статистической физике рассматривается не одна конкретная система, а, следуя Гиббсу, совокупность таких систем в разных микросостояниях, которая называется фазовым ансамблем Гиббса. [c.185]

Фазовая траектория 185, 187 Фазовое пространство 185 Фазовый ансамбль Гиббса 185 [c.310]

Следовательно, статистический ансамбль Гиббса, задается плотностью вероятности микросостояния системы, или фазовой функцией распределения (11.3), которая нормируется на единицу [c.185]

Выражение для энтропии (2.4), введенное Гиббсом [8], имеет ясный статистический смысл. Величина S является мерой неопределенности, хаотичности состояния фазового ансамбля в момент времени t и характеризует неполноту наших сведений о процессах, протекающих на микроскопическом уровне. [c.40]

Для необратимых процессов энтропия неравновесного состояния возрастает со временем. Равновесное состояние изолированной системы характеризуется такими значениями своих параметров, при которых S = max [21 ]. Это свойство энтропии устанавливается на основе известной гипотезы Гиббса о перемешивании фазового ансамбля [8, 21 ]. Таким образом, переход к равновесному состоянию связан с возрастанием неопределенности и уменьшением объема информации об изучаемом процессе. [c.40]

К определению требует применения методов статистической термодинамики, например метода большого канонического ансамбля Гиббса. Вычисление фазового интеграла и частичных функций для внутренних образований типа пузырьков или капелек связано с введением модельных представлений и некоторых упрощающих допущений. Это влияет на точность конечных формул, но иногда позволяет избежать более крупных ошибок, которые могут возникнуть при непоследовательном применении результатов статистической термодинамики. [c.60]

Найдем соотношение между величинами Г и Г или закон изменения фазового объема ансамбля Гиббса. Учитывая, что действительное перемещение каждой системы ансамбля подчинено уравнениям движения, а следовательно, переменные д, р в момент 1 являются функциями этих же переменных, взятых в начальный момент объем Г в виде интеграла по [c.390]

Наконец, покажем, как с помощью скобок Пуассона формулируется одно из основных уравнений статистической механики. Вероятность пребывания механической системы в элементарном фазовом объеме бГ определяется как отношение числа систем ансамбля Гиббса, находящихся в бГ, к постоянному числу всех систем этого ансамбля, наверняка находящихся в некотором фиксированном фазовом объеме АГ. Соответственно плотность вероятности определяется как отношение вероятности к соответствующему фазовому объему бГ, т. е. [c.397]

I. Рассмотрим больцмановский газ, состоящий из достаточно большого числа N частиц. Будем описывать движение газа в бЛ/ -мер-ном фазовом Г-пространстве, координатами которого являются ЗЛ декартовых координат частиц и 3N составляющих их скоростей, В этом пространстве система из N частиц изобразится точкой. Движение системы во времени изображается некоторой линией — фазовой траекторией системы. Следуя основной идее статистической механики, принадлежащей Гиббсу, будем рассматривать не одну систему, а целый ансамбль тождественных систем, распределенных по фазовому пространству в соответствии с Л -частичной функцией распределения [c.43]

Но нетрудно видеть, что полученный таким образом реальный ансамбль совершенно непригоден для интерпретации распределений результатов будущих опытов, производимых над данной системой. В самом деле, понятие ансамбля служит в классической теории (в частности, в теории Гиббса) для того, чтобы из распределения систем ансамбля, в некоторый момент времени, заключать о распределении вероятностей для данной, соответствующей ансамблю системы, исходящей из неточно определенного начального состояния с областью АГ . Но в рассматриваемом нами реальном ансамбле уже через ничтожно малое время t после момента начального опыта распределение систем ансамбля (точнее говоря, распределение отображений их состояний на фазовое пространство данной системы) не будет иметь ничего общего с распределением для данной системы, получающимся через время t после начального опыта при том или ином распределении ее микросостояний в начальный момент (в частности, при том распределении, которое совпадает с распределением отображений начальных состояний систем реального ансамбля). Иначе говоря, траектории, проходимые в фазовом пространстве данной системы отображениями состояний систем реального ансамбля (движущихся по своим собственным механическим траекториям), чрезвычайно быстро расходятся с механическими траекто- [c.87]

Поэтому реальный ансамбль не може служить для той цели, для которой служит идеальный ансамбль в классической теории (в частности, в теории Гиббса) распределение систем реального ансамбля изменяется со временем так, что за интересующие физическую статистику промежутки времени оно делается совершенно иным, чем распределение для данной системы при том же самом, как в реальном ансамбле, начальном распределении. Если мы предположим, что системы, исходящие из начальных положений, отмеченных отображениями реальных систем на фазовое пространство данной системы, движутся по м е х а н и ч е с к о и траектории данной системы, то мы потеряем самую идею реал ь- [c.88]

Цель статистического подхода заключается в том, чтобы связать развитие ансамбля так, как оно представляется в фазовом пространстве, с поведением соответствующей макросистемы. Нетрудно видеть, что имеющаяся информация недостаточна для того, чтобы выполнить это прямым способом, предложенным Гиббсом и с тех пор общепринятым, несмотря на весьма серьезную критику [101. [c.28]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

Локально-равновесное распределение служит вспомогательным распределением для определения понятия Э. неравновесного состояния, но не описывает необратимых переноса явлений. Потоки энергии и импульса, вычисленные с помощью/)(0, соответствуют потокам этих величин в идеальной гидродинамике. Неравновесная ф-ция распределения может быть получена как формальное решение ур-ния Лиувилля с нач. условием локального равновесия в нек-рый момент времени to f(t o) = exp[-r L(r-ro)]yi((o). Оператор Лиувилля L определяется через скобки Пуассона iLf= H, / . Это решение зависит от нач. состояния, к-рое реальная система должна забывать из-за корреляций между элементами среды. Можно считать, что пучок фазовых траекторий с различными to(—ос<Го<0 реализует ансамбль Гиббса для неравновесных состояний. Предполагая, что нач. состояния распределены с экс1Юненщ1альной вероятностью Г ехр[ — ( — о)/Г] (гипотеза об априорных вероятностях), получим неравновесную ф-цию распределения [c.618]

К классическому пределу, можно обосновать метод классических ансамблей Гиббса. Следует также напомнить, что определение безразмерного элемента фазового пространства drдг, включающее множитель 1/М и минимальный размер фазовой ячейки (27r/i) , можно обосновать только в рамках квантовой статистики. [c.28]

Недавно Райс и Катц [58] пришли к заключению о несостоятельности поправки Лоте — Паунда. Частичные функции для групп (кластеров) из двух молекул появляются, например, при выводе уравнения состояния слабо неидеального газа [59] методом вычисления классического фазового интеграла. Эти функции не содержат множителей от поступательных и враш ательных степеней свободы кластеров. Интегралы для больших кластеров-капелек слишком сложны, чтобы можно было надеяться на точное решение. Райс и Катц методом большого канонического ансамбля Гиббса приближенно получили следую-ш,ую формулу для равновесного распределения капелек по размерам [c.61]

Основываясь на том, что область фазового пространства ансамбля неравновесных систем, оставаясь по теореме Лиувилля неизменной по величине, существенно изменяет свою форму, растягиваясь постепенно в тонкую длинную нить, равномерно (в среднем) заполняющую все доступное пространство в тонком энергетическом слое .E (рис. 14), Гиббс ввел вместо истинной фазовой плотности р(р, р, /) усредненную крупноструктурную фазовую плотность [c.124]

Понятие классвческого ансамбля в фазовом пространстве было впервые введено Гиббсом в его книге [c.71]

В ответ на последнее возражение заметим, что для получения огрубленных средних значений динамических переменных нужно совершить два предельных перехода обычный термодинамический предельный переход V оо N/V = onst) и предельный переход АГ 0. Нет оснований полагать, что результат не будет зависеть от порядка, в котором совершаются эти предельные переходы. Огрубление функций распределения имеет смысл, если сначала вычисляется предел К оо, а уже затем АГ О, причем сходимость не является равномерной. Интересно, что Гиббс [13], проводя аналогию между стремлением классического статистического ансамбля к равновесию и перемешиванием в несжимаемой жидкости, вводил, по существу, процедуру огрубления фазовой функции распределения и отмечал отсутствие равномерной сходимости. [c.49]

В ходе размешивания начальной области ДГ все большие и большие макроскопические области становятся наиболее вероятными вплоть до установления более или менее равномерного распределения частей области АГ по всей поверхности заданной энергии, при котором с подавляющей вероятностью мы получим в результате измерения наибольшую из макроскопических областей — равновесное состояние (см. 5). Этот процесс соответствует возрастанию энтропии до максимума. Именно такое представление имел в виду Гиббс, когда он писал о перемешивании краски в жидкости [7] и об установлении равномерного окрашивания для наблюдателя с ограниченной разрешающей силой . Если задать некоторый ансамбль непрерывно распределенных в фазовом пространстве систем, то, как известно, точная ( тонкая по Эренфесту [1] или, как иногда говорят, микроскопическая ) плотность в каждой данно1г движущейся точке не изменяется, грубая же ( макроскопическая ) плотность стремится стать равномерной. [c.38]

Действительно, как уже отмечалось в 7, точная (или <<тонкая , по Эренфесту) плотность р ансамбля изолированных систем в Г-пространстве в каждой данной движущейся точке фазового пространства не изменяется с течением времени. Поэтому интеграл но всему фазовому пространству от любой функции плотности р также не будет зависеть от времени. Из-за этого обстоятельства Гиббс от рассмотрения тонкой плотности перешел к рассмотрению плотности грубой и изучению величины In где Рл— среднее значение тонкой плотности в ячейке с номером X. Это выражение является, как легко видеть, с точностью до мноя ителя ДГд конечной суммой по малым и равным ячейкам ДГх, пределом которой является интеграл Jp In рб/Г. В то же время очевидно, что эта сумма (обозначаемая Гиббсом наряду с интегралом через г) изменяется во времени и стремится к минимуму при стремлении к равномерному перемешиванию в фазовом пространстве (в том смысле, в каком говорилось в 5). Эречфест вводит для In Р специальное обозначение 2. Следует отметить, что ячейки АГл, по которым производится суммирование, должны быть равными по величине, и, следовательно, эти ячейки совершенно не являются теми макроскопическими областями, которые соответствуют различным возможным исходам макроскопического опыта (см. 7). В этом случае ДГх не были бы равны по величине, и, следовательно, сумма 1пР . не отличалась бы от суммы, апроксимирующей интеграл Jplnpf/r, лишь постоянным множителем. Также, нанример, [c.43]

Как уже упоминалось выше, для наших целей достаточно лишь небольших усовершенствований теории Гиббса. Однако тщательный анализ идей Гиббса, необходимый для установления этих изменений, приводит к одному побочному результату несколько неожиданной природы, который вызывает существенное изменение идейной основы теории и оказывается справедливым как для обратимых, так и для необратимых процессов. Основная идея Гиббса состоит в том, что данная термодинамическая система макросистема) сравнивается с некоторым ансамблем чисто механических систем микросистемы) и что движение этого ансамбля интерпретируется как течение в фазовом пространстве. Обычно предполагается, что это течение подчиняется уравнению неразрывности. Однако основания для такого предположения вызывают некоторые сомнения, поскольку это течение не представляет собой течения действительной среды. С другой стороны, легко видеть, что, для того чтобы объяснять произвольные термодинамические процессы, следует отказаться от этой гипотезы и заменить уравнение неразрывности уравнением переноса. Эта операция вопреки тому, что кажется на первый взгляд, согласуется с теоремой Лиувилля. Она опирается только на представление о том, что движение в фазовом пространстве не является чистой конвекцией или течением (как в случае действительной жидкости), но представляет собой налолчение на это явление процесса переноса, или потока (того типа, который встречается в теплопередаче). Различие между этими двумя типами движения тесно связано с различием между изэнтропическими и более общими процессами. В самом деле, легко видеть, что в отсутствие потока теорема Лиувилля исключает все неизэнтропические процессы. Новый [c.11]

В литературе по статистической механике ([11,331 и т. д.) можно найти пространные обоснования уравнений (3.3) и (3.4). Можно найти также принадлежащее Гиббсу доказательство того факта, что каноническое распределение (3.4) лишь слабо отличается от микроканонического распределения, определяемого ансамблем, все системы которого имеют одинаковую энергию П. Другими словами, фазовые точки ансамбля, распределенного согласно (3.4), остаются практически сконцентрированными внутри непосредственной окрестности одной поверхности энергии. На первый взгляд это утверждение представляется несогласующпмся с тем фактом, что, в силу (3.4), вероятность монотонно возрастает при пересечении поверхности энергии в направлении убывающих значений Н. На самом деле между этими двумя утверждениями нет противоречия. Рассмотрим семейство эквидистантных поверхностей энергии, разделяющих фазовое пространство на слои. Перемещаясь от слоя к слою, мы находим, что фазовая плотность меняется монотонно. Поскольку объем последовательных слоев изменяется в противоположном [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...