Куэтта устойчивость

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Гидродинамическая неустойчивость реальных потоков была впервые упомянута в печати Хагеном в 1839 г. и подтверждена экспериментально им же в 1854 г., а затем независимо от него Рейнольдсом в 1883 г. Четыре года спустя Кельвин рассмотрел задачу устойчивости плоского потока Куэтта и плоского потока Пуазейля п заключил, что оба потока устойчивы к малым возмущениям. Хотя позднее Релей подверг сомнению его доказательство, все-таки следует признать, что Кельвин первым использовал метод малых возмущений для анализа устойчивости и тем самым дал начальный толчок к изучению этих трудных проблем. [c.232]

Устойчивость течений вязкой жидкости. С проблемой единственности тесно связаны более сложные вопросы гидродинамической устойчивости. Рассмотрим движение жидкости, заполняющей объем S8, с заданным распределением скорости на границе этого объема. В большинстве задач указанного типа область 23 ограничена твердыми стенками и граничные условия определяются движением этих стенок (например, течение Куэтта). Предположим теперь, что рассматриваемое поле скоростей получает в начальный момент I = О малые возмущения. Естественно поставить вопрос [c.233]

Как показывает предыдущий анализ, при больших величинах вязкости все течения с одинаковым распределением скорости на границе после достаточно долгого времени будут одинаковы. С другой стороны, при малых значениях вязкости (или, эквивалентно, при больших числах Рейнольдса) наблюдаемые течения уже не стремятся к единственному предельному течению. Указанные факты легко проиллюстрировать на простых примерах течений Куэтта и Пуазейля, для которых устойчивый ламинарный режим возможен только при малых числах Рейнольдса. Исходя из экспериментальных результатов, Хопф ) высказал предположение о существовании класса решений уравнений Навье — Стокса, соответствующих течениям, наблюдаемым после достаточно долгого промежутка времени, когда влияние начальных данных уже не сказывается. При больших величинах вязкости этот класс исчерпывается одним решением при уменьшении вязкости таких решений становится все больше и больше. При фиксированном V класс Хопфа выделяет устойчивое многообразие в фазовом пространстве всех возможных решений. В работе Хопфа, на которую мы ссылались выше, это предположение сформулировано более четко и подтверждено интересной математической моделью уравнений Навье — Стокса, решения которой можно выписать в замкнутом виде. [c.238]

Аналогичным образом можно провести исследование устойчивости течения между двумя вращающимися цилиндрами (течение Куэтта). Если внутренний и наружный цилиндры имеют радиусы и и вращаются с угловыми скоростями Й5(>0) и 2 соответственно, то поле скоростей течения Куэтта имеет вид [c.241]

Возникает сложная проблема определения реализующегося в действительности горизонтального масштаба периодических движений, а также их структуры. Эта проблема (упорядоченные структуры, возникающие в результате неустойчивости основного состояния) не составляет специфики только конвекции в горизонтальном слое, подогреваемом снизу. Аналогичная задача отбора надкритических движений возникает при исследовании других ситуаций, среди которых назовем устойчивость плоскопараллельных потоков и кругового течения Куэтта между вращающимися цилиндрами устойчивость поверхности раздела, в частности, поляризующихся жидкостей во внешних полях устойчивость фронта пламени различные виды поверхностной турбулентности и т. д. [c.146]

В работах [ ] и р], в которых изучалось влияние течения Куэтта на конвективную устойчивость, для решения амплитудной краевой задачи использовались разные приближенные методы. В [ ] амплитуды скорости и температуры разлагались по полным системам базисных функций в р] уравнения решались численно методом конечных разностей. Результаты обеих работ полностью согласуются. Поскольку случай к = О, как указывалось выше, не приводит к изменению критического числа Рэлея, основное внимание было уделено случаю к фО, / 2 = О (плоские возмущения, периодические в направлении невозмущенного движения — у-валы ). В этом случае нейтральное значение числа Рэлея зависит от к К = К(/ 1). Минимизация этой зависимости дает критическое число Кт как функцию остальных параметров — чисел Рейнольдса и Прандтля. Основные результаты представлены на рис. 103. Как видно, для всех видов возмущений, кроме л -валов к = 0), движение с профилем [c.270]

Более сложно обстоит дело в случае течения Пуазейля. Существенное отличие от течения Куэтта состоит в следующем. Изотермическое течение Куэтта, как известно, устойчиво относительно малых возмущений при любых скоростях потока. Неустойчивость может наступить лишь при подогреве снизу и имеет конвективную природу. В случае же течения Пуазейля кроме конвективной неустойчивости, обусловленной подогревом снизу, при достаточно большой скорости потока наступает неустойчивость гидродинамической природы. При произвольных значениях чисел Рэлея и Рейнольдса (т. е. при произвольных значениях вертикального градиента температуры и скорости продольного течения) имеет место взаимодействие обоих механизмов неустойчивости — конвективного и гидродинамического. [c.271]

Исследованию гидродинамической устойчивости изотермических плоскопараллельных стационарных течений посвящена обширная литература (см. [ ]). Обычно интерес исследователей сосредоточен на выяснении вопроса об устойчивости нескольких изотермических течений — Куэтта, Пуазейля и течения, в пограничном слое. Нас в дальнейшем будет интересовать задача исследования спектра нормальных возмущений и определения границы устойчивости конвективного течения. Специфическим свойством этого течения является нечетность профиля. Это обстоятельство, как будет видно, приводит к появлению некоторых характерных особенностей спектра возмущений. Неустойчивость -конвективного течения наступает при числах Рейнольдса, гораздо меньших, чем, например, в случае течения Пуазейля. Это связано со структурой течения — наличием двух встречных потоков, взаимодействие между которыми приводит К потере устойчивости при сравнительно малых скоростях, [c.305]

Этот базис был предложен Г. И. Петровым им же доказана сходимость метода Галеркина в применении к краевой задаче Орра — Зоммерфельда "]. Базис применялся для расчета устойчивости течения Пуазейля и спектра возмущений течения Куэтта [ ]. [c.312]

Качественная перестройка из-за неустойчивости может происходить и в других течениях, для которых имеет место вырождение собственного спектра. Так, кратность собственного значения приводит к множественности вторичных режимов и в течении Куэтта между вращающимися цилиндрами. Судя по результатам работы [6], при определенных зазорах и скоростях вращения цилиндров устойчивыми оказываются тоже спиральные автоколебания. Там они должны приводить к появлению спонтанного осевого потока с ненулевым расходом. [c.31]

Во всех перечисленных работах, как и практически во всех других надежных исследованиях, были обнаружены только устойчивые волновые возмущения поэтому в настоящее время уже никто не сомневается в том, что неустойчивых волновых возмущений в течении Гагена—Пуазейля вообще не существует и что такое течение устойчиво по отношению к любым бесконечно малым возмущениям. (Заметим, что эта устойчивость не следует автоматически из отсутствия возрастающих волновых возмущений уравнение для осесимметричных возмущений здесь имеет особенность в точке / = 0, и из-за этого такое произвольное возмущение не может быть разложено в ряд по собственным функциям соответствующей краевой задачи.) Убеждение, что ламинарное тече-Бие в трубе должно быть линейно устойчивым, подкрепляется также наличием ряда общих черт у задач о такой устойчивости для течения Пуазейля в трубе и для плоского течения Куэтта (для которого устойчивость была строго доказана) однако строгое доказательство устойчивости к малым возмущениям ламинарного течения в круглой трубе пока, по-видимому, отсутствует. [c.122]

Наиболее детальные иллюстрации перечисленных выше сценариев были получены при специальных измерениях потери устойчивости кругового течения Куэтта (в зазоре между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами) и нагреваемого снизу слоя жидкости (развития термической конвекции). [c.139]

О потере устойчивости течения Куэтта при различных числах Россби. Докл. АН СССР, 281, № 3, 548—551. [c.619]

Об устойчивости плоскопараллельного течения Куэтта. Прикл. матем. [c.633]

Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта. Докл. АН СССР, 196, No 5, 1049—1051. [c.667]

Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта. Функциональный анализ и его приложение, 7, № 2, 62—73. [c.667]

А. Устойчивость течений несжимаемой жидкости с параллельными линиями тока. Устойчивости параллельных течений посвящено много работ (см., например, обзор С. А, Регирера, 1966). Рассматривались задачи об устойчивости течений несжимаемой жидкости между покоя-щимися стенками под действием градиента давления (течения Пуазейля и Гартмана), течения между параллельными стенками, когда одна из них движется (течение Куэтта), и некоторых других течений, [c.455]

Переходя к рассмотрению конкретных плоскопараллельных течений, начнем с плоского течения Куэтта с линейным профилем скорости U z)=Az, Первые попытки его изучения, предпринятые (с помощью не очень строгих математических методов) около 1910 г. рядом авторов (Орр, Зоммерфельд, Мизес, Хопф и др.) привели к выводу, что это течение является устойчивым при всех числах Рейнольдса. С одной стороны, этот вывод казался довольно естественным (так как Орром (1906—1907) было доказано, что при отсутствии вязкости течение Куэтта устойчиво,, а действие вязкости, естественно, предполагалось стабилизирующим) однако, с другой стороны, он явно противоречил эмпирическим фактам о турбулизации всех известных течений при достаточно больших числах Рейнольдса. [c.104]

Такое течение реализуется в слое между двумя плоскостями, одна из которых движется в направлении оси л при наличии продольного градиента давления dpidx при а = 0 оно обращается в течение Пуазейля, а при а = 2 — в течение Куэтта. Устойчивость плос- кого течения Пуазейля—Куэтта по отношению к бесконечно малым возмущениям исследовали Поттер (1966), Рейнольдс и Поттер (1967), Хейнс (1967), получившие близкие результаты. Согласно этим авторам, при возрастании значения а > О значение Reer быстро возрастает и, по-видимому, обращается в бесконечность уже при а 0,55 — задолго до обращения течения в течение Куэтта при а = 2. [c.108]

Некоторые прежние исследования устойчивости/ После Рэйли при исследовании устойчивости сначала ограничивались рассмотрением исключительно течения Куэтта, т. е. течения между двумя параллельными стенками с линейным распределением скоростей (рис. 1.1). Очень тщательные исследования, выполненные А. Зоммерфельдом [ ], Р. Мизесом и Л. Хоп-фом с полным учетом вязкости, показали, что течение Куэтта устойчива при всех числах Рейнольдса и при возмущениях с любой длиной волны. Этот результат, полностью противоречащий опыту, привел к тому, что метод малых колебаний стали считать непригодным для решения проблемы перехода ламинарной формы течения в турбулентную. Однако впоследствии выяснилось, что такой взгляд на метод малых колебаний не оправдан, так как течение Куэтта явля- ется неподходящим примером, по-скольку оно не дает возможности ввести в расчет кривизну про-филя скоростей между тем, со-гласно сказанному в предыдущем параграфе, кривизна профиля скоростей играет настолько важную роль, что пренебрегать ею недопустимо. [c.431]

Поэтому здесь вполне можно ограничиться изучением обычной задачи на собственные значения для уравнения Орра — Зоммерфельда (2.28). Первые попытки такого изучения, предпринятые (с помощью не очень строгих математических методов) около 1910 г. рядом авторов (В. Орр, А. Зоммерфельд, Р. Мизес, Л. Хопф и др.) в применении к плоскому течению Куэтта с линейным профилем скорости, привели к выводу, что это течение является устойчивым при всех числах Рейнольдса. Этот вывод казался, с одной стороны, довольно естественным (так как Орром (1906—1907) было доказано, что при отсутствии вязкости течение Куэтта устойчиво, а действие вязкости, естественно, предполагалось стабилизирующим) но, с другой стороны, он явно противоречил эмпирическим фактам о турбулизации всех известных течений при достаточно больших числах Рейнольдса. В начале 20-х годов Прандтль (1921) и Тить-енс (1925) рассмотрели вопрос об устойчивости течений с профилем скорости, составленным из отрезков прямых, и пришли к совсем неожиданному выводу, что при наличии вязкости такие течения будут неустойчивыми при любых (в том числе и сколь угодно малых) числах Рейнольдса. В те же годы появилась большая работа Гейзенберга (1924), посвященная исследованию с помощью метода малых колебаний устойчивости плоского течения Пуазейля. В этой работе с помощью тонкого исследования 1асимптотического поведения решения соответствующего уравнения ОрраЗоммерфельда при большом Ке (т. е. малом V) был получен казавшийся в то время парадоксальным (но оказавшийся тем не менее правильным) результат о том, что течение Пуазейля, которое при отсутствии вязкости будет устойчивым по отношению к малым возмущениям, в случае вязкой жидкости при достаточно больших числах Рейнольдса становится неустойчивым. Результат Гейзенберга, однако, долго вызувал серьезны сомнения, и доказательства устойчивости [c.125]

Следует отметить, что вопрос о переходе ламинарного режима течения в турбулентный на сегодня окончательно не решен, несмотря на большое теоретическое и практическое значение. Так, в 1971г. советский ученый В.А.Романов установил фундаментальный факт, что так называемое гшоскопараллельное течение Куэтта (см. подраздел 5.3.2) никогда, ни при каких возмущениях не теряет устойчивости, оставаясь ламинарным при сколь угодно больших числах Рейнольдса. В рассматриваемом случае область течения ограничена двумя параллельными пластинами, между которыми находится вязкая жидкость. Пластины движутся параллельно друг другу с постоянными и противоположными по направлению скоростями, увлекая за собой прилегающие к ним слои жидкости. Устойчивость плоского течения Куэтта носит исключительный характер, привлекая к себе внимание теоретиков и экспериментаторов, т.к. все остальные ламинарные течения вязкой жидкости при некотором значении числа Рейнольдса теряют устойчивость, приобретая турбулентный характер. Турбулентный режим течения является устойчивым. Экспериментально этот факт подтвержден до значений числа Рейнольдса порядка 10 . [c.85]

Рассмотрим теперь другой тип комбинированного течения, а именно будем считать, что вьшужденное течение создается за счет движения границ слоя в себе по вертикали с одинаковыми по величине и противоположными по направлению скоростями. Получающееся при этом течение есть суперпозиция конвекции, создаваемой поперечной разностью температур, и сдвигового течения Куэтта, обусловленного увлечением жидкости дви-жуцдимися границами. Качественное отличие от задачи предьщущего параграфа состоит в том, что теперь вынужденная компонента течения (поток Куэтта) сама по себе является устойчивой. Можно поэтому ожидать, что добавление устойчивой компоненты приведет к стабилизации конвективного течения. Этот эффект в общем действительно проявляется на гидродинамической моде неустойчивости. Что же касается тепловой моды, то здесь ситуация оказывается значительно более сложной. В зависимости от соотношения параметров возможна как стабилизация, так и дестабилизация течения более того, при определенных условиях появляется и становится наиболее опасным новый тип неустойчивости, связанный с развитием монотонных (стоячих) тепловых возмущений. [c.97]

Пусть условие симметрии причин выполнено, т. е. симметричное решение допускается уравнениями. Тогда несимметричные решения гидродинамических уравнений нри симметричных условиях могут возникать только после потери устойчивости основного режима вследствие бифуркации. Как правило, эстафета устойчивости передается именно несимметричному режиму, который в этом случае и реализуется в природе или опыте. При мягком характере потери устойчивости иногда может быть прослежен целый каскад бифуркаций, сопровождаюпцийся последовательным уменьшением симметрии, как это наблюдается, например, в течении Куэтта — Тейлора. Угадать заранее без анализа устойчивости форму вторичного режима практически невозможно. Наиболее неожиданные и интересные физические эффекты проявляются, когда спектр линей-Н011 задачи устойчивости является кратным. [c.29]

Может оказаться, что при этом одновременно будет а (Rei r) = ==0, так что и в целом X (Rei r)=0, значит, A t) = и и(х, t) = = fo(x), т. е. возмущенное поле скорости Uo(x)+u(x, /)=uo(x)-b + fo(x) описывает новое стационарное течение тогда говорят, что при Re = Rei r происходит бифуркация смены устойчивости. Такая бифуркация наблюдается, например, при развитии термической конвекции в слое жидкости, подогреваемом снизу (где из состояния покоя uo(x)=0 сначала образуется стационарная конвекция в виде роликов или ячеек Бенара), а также в течении Тэйлора,, т. е. круговом течении Куэтта между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами (где из стационарного ламинарного течения образуются стационарные тороидальные роликовые вихри Тэйлора). Эти течения мы подробно рассмотрим ниже. [c.97]

Вернемся теперь к обсуждению результатов, относящихся к плоскому течению Куэтта. Выше уже указывалось, что ряд исследований устойчивости этого течения был выполнен еще в начале настоящего века, причем уже эти ранние нестрогие работы создавали впечатление, что указанное течение, по-видимому, устойчиво по отношению к малым возмущениям при всех значениях Re. В 50-е годы и позднее появилось много дополнительных расчетов устойчивости плоского течения Куэтта, в которых чаще всего использовались асимптотические разложения для изучения, решений соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда при больших значениях Re и прямые численные методы решения в случае малых и умеренных Re (см., например, Вазов (1953), Гроне [c.106]

Re / ) —это обстоятельство объясняет, почему при Re = oo (в слу чае идеальной жидкости) плоское течение Пуазейля оказывается устойчивым по отношению к любым возмущениям. Гроне (1954) обнаружил также, что уравнение Орра—Зоммерфельда для плоского течения Куэтта имеет и высшие моды собственных чисел и функций, которым отвечают только затухающие возмущения эти высшие моды позже детально исследовались многими авторами (см. Бетчов и Криминале (1967), Гольдштик и Штерн (1977) и Дразин и Рид (1981)). [c.108]

Некоторые результаты нелинейной теории устойчивости течений Пуазейля—Куэтта (в первую очередь тех, для которых линейная теория указывает, что Несг = °о) можно найти в статье Каули и Смита (1985). [c.111]

Расчетам устойчивости более общего кругового течения Пуазейля—Куэтта, возникающего в зазоре между вращающимися концентрическими цилиндрами при наличии направленного вдоль их оси градиента давления, уделено много внимания в книгах Джозефа (1981), Гольдштика и Штерна (1977). [c.142]

Устойчивость плоского течения Куэтта. Ж. приклад, мех. и техн. физ., No 5, 117—119. [c.688]

Подробное исследование устойчивости плоских течений около искривленных стенок выполнил Г. Шлихтинг на примере течения внутри вращающегося цилиндра. Для течения в промежутке между двумя коаксиальными цилиндрами, из которых внутренний неподвижен, а внешний вращается, так же, как и для течения Куэтта между двумя параллельными стенками, из которых одна покоится, а другая движется, не существует предела устойчивости (Рвкр = оо, см. 3 главы XVI). Поэтому была исследована устойчивость [c.470]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...