Градиенты деформации. Градиенты перемещения

Градиенты деформации. Градиенты перемещения [c.116]

Тензоры градиентов деформации и перемещения [c.24]

Если в правой части выражения (1.4) пренебречь нелинейными членами, т. е. произведениями компонент тензора-градиента перемещения ди 1дх , получим линеаризованные представления деформаций через перемещения (см. 2.1). Деформация тела - удлинения (1.1) и сдвиги (1.2), а также повороты линейных элементов (1.3) полностью определяются компонентами градиента перемещения. Поэтому не обязательно вводить нелинейные соотношения (1.4). Однако линейно [c.70]

В заключение отметим, что если в материале отсутствуют внутренние положительные источники энергии, то однозначная зависимость напряжений от градиента перемещений (частным случаем которой является однозначная зависимость от деформации) влечет за собой существование потенциальной энергии. Действительно, предположим противное. Тогда в пространстве компонент градиента перемещений существует некоторый замкнутый путь, на котором энергия получает ненулевое приращение. Меняя направление обхода того же пути на обратное, обнаруживаем такое же по модулю приращение энергии, но другого знака, так как в любой точке контура компоненты сохраняются, а приращения компонент градиента перемещений изменяют знаки [см. формулу (1.9)]. Отсюда следует, что существует такой замкнутый путь, при обходе которого по определенному направлению происходит выделение энергии. Такое тело, если бы оно существовало, могло бы служить основным элементом вечного двигателя. [c.78]

Предположим, что градиенты перемещений < ,7(Зх/<С 1, dui/dxj< l. Тогда из (3.16) получаем тензор малых деформаций Коши [c.72]

Один из способов достижения этой цели состоит в том, чтобы свести задачу к двумерной. Для композитов, армированных длинными волокнами, разумно предположить, что градиенты напряжений и деформаций в осевом направлении (направлении оси 3 на рис. 5, а) пренебрежимо малы по сравнению с градиентами этих величин в плоскости поперечного сечения. Это предположение приводит нас к классической задаче о плоском напряженном состоянии или о плоской деформации. В первом случае предполагается, что напряжение в направлении, перпендикулярном интересующей нас плоскости (компонента Озз, нормальная плоскости осей / и 2 на рис. 5, а), равно нулю данная гипотеза обычно принимается при исследовании поведения тонких пластин (тонких в направлении оси, 9), на которые действуют силы, лежащие в плоскости этих пластин. Однако в слуг чае армированного непрерывными волокнами слоя, изображенного на рис. 5, а, размер изделий в направлении армирования, (направлении оси 3) обычно очень велик, что лучше соответствует условиям плоской деформации, когда перемещения в направлении оси 3 принимаются равными нулю. Поскольку это предположение влечет за собой отсутствие градиентов перемещений в направлении оси 3, деформации и соответствующие им скорости 8,3 равны нулю, т. е. [c.221]

Здесь под перемещениями срединной поверхности слоя заполнителя и нормальными составляющими градиентов перемещений понимаются их представления в виде (5.60). При использовании в расчетах осредненных значений деформаций поперечного сдвига компонентами вектора и(3) можно пренебречь. [c.220]

В 1.2.4 определен тензор градиента деформации F. С помощью полярного разложения (1.33) этого тензора процесс деформирования можно наглядно представить или в виде искажения окрестности материальной точки действием тензора U с последующим поворотом ее действием тензора R, или в виде поворота этой окрестности при действии тензора R с последующим искажением ее действием тензора V. Как отмечено в 1.2.4, тензор градиента деформации F, а следовательно, и тензор градиента перемещения Н полностью характеризуют деформирование материальной частицы. [c.34]

Для произвольной малой деформации материальной частицы в выражениях тензоров деформаций Е и через тензоры градиентов перемещений Н и "Н в (см. (1.47)) и в определениях их компонент (1.50) нельзя опускать нелинейные члены. Это можно делать только в том случае, когда рассматривается бесконечно малая деформация материальной частицы, характеризуемая выполнением равенств [c.39]

Из (1.47) получим выражения для материальной производной тензора деформаций Грина — Лагранжа в виде однородных функций материальных производных тензоров градиента деформации Р и градиента перемещения Н (= Р) [c.42]

Здесь предполагается, что материальные производные компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа выражены через материальные производные компонент тензора градиента перемещения формулой (1.62). [c.119]

В настоящем разделе приводятся общие определения и формулировки единственности и устойчивости решений нелинейных задач по деформированию тел из упругих и упругопластических материалов. Используются первый тензор напряжений Пиола — Кирхгофа и тензор градиента перемещения. Исследование поведения решения уравнений с использованием других тензоров напряжений и деформаций проводится аналогично. Точно так же исследуется поведение решений для уравнений, сформулированных в текущей конфигурации. [c.131]

Выражения компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа через компоненты тензора градиента перемещений приведены в (1.50). В обозначениях (5.5) имеем [c.194]

Использование уравнения (111.59) может быть сопряжено с большой погрешностью при наличии высокого градиента перемещений. Это связано с вычислением деформаций через конечные разности. Такая погрешность снижается с уменьшением сегмента. [c.74]

В заключение отметим, что, несмотря на значительные успехи, в проблеме определяющих соотношений имеется много неясного. Так, все еще не сформулированы физически обоснованные положения теории ползучести, нет единого правила выбора статических и кинематических параметров при больших градиентах перемещений, которые представляли бы обобщенные напряжения и деформации в определяющем соотношении, и т.д. [c.93]

Если деформации малы, т. е. малы перемещения и их градиенты (квадратами градиентов можно пренебречь по сравнению с самими градиентами), лагранжевы координаты совпадают с эйлеровыми, причем [c.638]

Особенно полезна такая форма I лагранжева и эйлерова тензоров конечных деформаций, когда эти тензоры представлены в виде функций градиентов перемещения. Тогда, если дх дХ, из (3.24) подставить в (3.37), то после некоторых простых алгебраических преобразований лагранжев тензор конечных деформаций примет вид [c.119]

Так называемая теория малых деформаций в механике сплошных сред имеет своим основным условием требование малости градиентов перемещения по сравнению с единицей. Основной мерой деформации служит разность [йх) — (йХ) , которую можно выразить через градиенты перемещения, подставляя (3.40) и (3.41) в (3.36) и (3.38) соответственно. Если градиенты перемещения малы, то тензоры конечных деформаций в (3.36) и (3.38) сводятся к тензорам бесконечно малых деформаций, а результирующие соотношения представляют малые деформации. [c.120]

Вывести формулу (3.72), выражающую изменение угла между координатными направлениями Х2 и Хз в случае конечной деформации. Доказать, что если градиенты перемещений малы, то эта формула сводится к (3.65). [c.154]

Для поля перемещений задачи 3.50 найти градиент деформации Р и, воспользовавшись полярным разложением Р, определить тензор поворота В и правый тензор коэффициентов длины 8. [c.155]

Учитывая выражения для компонент деформации (2.1), внутреннюю энергию U eij,S) можно рассматривать как функцию компонент тензора градиентов перемещения dwk/dxi и энтропии 5. Тогда соотношение (2.12) можно заменить двумя эквивалентными ему уравнениями состояния [c.123]

Для задач с плоскими волнами заменим в формуле (2.25) компоненты тензора деформаций к1 на компоненты тензора градиентов перемещений ду)к/дх1 согласно равенствам (2.1). При этом исключим поворот тела как целого около оси х, т.е. положим [c.136]

Такой прием учета, предложенный Каудерером (Н. Каис1егег, 1958), получил распространение в ряде публикаций. Здесь он сопоставляется с построениями эффектов второго порядка , в которых сохраняются все слагаемые, квадратичные по градиенту деформации вектора перемещения Vu. [c.249]

Во многих задачах механнки, когда градиенты перемещений точек деформируемого тела малы (смысл этого иредиоложения определяется точностью, которую необходимо получить в расчетах), нелинейными слагаемыми в определении тензоров деформации г9. и tf. пренебрегают в этом случае имеем [c.9]

В контактной. 5адаче наиболее ин( )ормативной частью относительно влияния начального напряженного состояния является характер дс-(1)ормирования поверхности в окрестности отпечатка. Распределениям деформаций и перемещений в этой зоне характерны локальность и высокие градиенты изменения. В связи с этим в качестве способа измерения используется голографическая интерферометрия с регистрацией нормальной компоненты вектора перемещения, а в качестве исходной информации, соответственно, нормальные деформационные перемещения. [c.65]

Способность легко перемещаться внутри кристалла без к.-л. его нарушений является одной из интересных особенностей ЭДК, отличающей их от любых др. макроскопич образований и демонстрирующей их квантовую природу С этой особенностью связаны мн. свойства Э.-д. ж. Высо кая подвижность ЭДК наиб, наглядно была продемонст рирована в экспериментах с неоднородно деформирован ными кристаллами Ge. Ширина запрещённой зоны и следовательно, энергия покоящейся ЭДП) зависит от де формации, поэтому в неоднородно деформированных крис таллах энергия каждой ЭДП различна в разных точках Это эквивалентно наличию нек-рой потенц. энергии, про порциональной локальной деформации, или сил, пропор циональных градиенту деформации. При сравнительно не высоких одноосных неоднородных деформациях удаётся наблюдать перемещение ЭДК на расстояние до 10 м со скоростями, приближающимися к скорости звука в кристалле. В то же время при тех же условиях дрейф отдельных ЭДП и экситонов практически отсутствует. Высокая подвижность объясняется ещё одной удивительной особенностью капель Э.-д. ж. При своём движении макроскопич. ЭДК обладают очень малым трением о кристаллич. рещётку. Взаимодействие с колебаниями решётки сопряжено с изменением энергии электрона, а поскольку электроны и дырки в ЭДК вырождены, то в процессе рассеяния на фононах из общего числа носителей может участвовать лишь небольшая часть электронов и дырок, энергия к-рых близка к энергии Ферми. [c.558]

Основные соотношения классической теории упругости Линейиая классическая теория базируется на ряде гипотез, основными из которых являются предположения о сведении системы сил, действующих на элементарную площадку, только к рав недействующей (отсутствие моментов), о малости градиентов перемещений (линей пая связь между деформациями и перемещениями), об идеальной упругости материала (линейная связь между напряжениями и деформациями) [c.137]

Для получения уравнений, описывающих температурные поля и напряжения в деформируемом теле, в дальнейшем рассматриваются малые перемещения и градиенты перемещений. В этом случае вектор перемещения и с компонентами Н рассматривается как некоторое векторное поле, тензор деформаций с компонентами Еу - как тензорное поле, определенные в действительном векторном пространстве [75]. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений соотношениями Коши .у=(ди1/дХу+диудх,)/1 (здесь и далее /, / = 1, 2, 3, а также везде в формулах подразумевается суммирование по повторяющимся латинским индексам). Тогда из уравнения неразрывности (закона сохранения массы) [19] [c.182]

Мы говорим здесь о больших деформациях, т. е. о компонентах градиента перемещений dufdx, dujdy н т. д. Прн этом не имеется в виду величина перемещений или деформаций сама по себе, перемещения не могут быть ни большими, ни малыми, деформации могут быть большими (по сравнению с единицей), вращения предполагаются большими (опять-таки по отношению к единице). В теории малых деформаций последние всегда <1. В то же время в литературе можно встретить ссылки на теорию больших деформации, что может иметь или не иметь смысла, и на теорию больших перемещений, что смысла не имеет. [c.332]

Полное решение краевой задачи теории упругости включает построение трех взаимосвязанных поле1. Поле деформаций е предсгавляс собой симметричную часть тензорного поля градиентов перемещений и [c.50]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

Рассмотрим еще один вариант уравнений динамики оболочек, который-можно применять в случаях, когда поверхностные и контурные внешние цагрузки не зависят от самого вектора перемещений И, но зависят от градиента деформации поверхно- -сти Р. Точнее говоря, интенсивность поверхностной F или кон-г [c.130]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши е, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши сг. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении этого условия назовем геометрически линейной или бесконечно малой . Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций е и напряжений сг назовем геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При этом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. [c.65]

Путем наложения некоторых связей в уравнениях обобщенного вариационного принципа можно получить сформулированные относительно скоростей уравнения вариационного принципа Хилла для упругих и упругопластических тел при произвольной величине деформаций [47, 73, 78, 79, 81]. Рассмотрим уравнения (3.6). Предположим, что варьируемые поля скоростей перемещений й принимают заданные значения на границе qSu, т.е. выполнены кинематические граничные условия в (3.6). В этом случае исчезает последний член в правой части (3.8). Далее предполагаем, что материальная производная тензора градиента деформации не является произвольной варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента перемещения с помощью четвертого равенства (3.6). Тогда исчезает второй член в правой части (3.8). Предположим также, что материальная производная первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа не является независимой варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента деформации с помощью последней формулы (3.6), т.е. определяющие соотношения предполагаются заданными. В этом случае вариационное уравнение (3.7) преобразуется в следующее [c.117]

Компоненты тензора деформаций Коши eij и их приращения вьфажаются через компоненты тензора градиента перемещения и их приращения [c.170]

При формулировке уравнений в текущей конфигурации (в момент времени t) в качестве меры деформации удобно использовать тензор деформаций Альманси. Выражения компонент этого тензора деформаций через компоненты тензора градиента перемещений приведены в (1.50). Запишем эти выражения в обозначениях настоящей части [c.195]

Частное дифференцирование вектора перемещения по координатам приводит либо к материальному градиенту перемещения ди дХ,, либо к пространственному градиенту перемещения дщШх). При помощи формулы (3.13), которая представляет через разность координат, эти тензоры выражаются через градиенты деформации в лагранжевых (материальных) переменных [c.117]

Если как градиент перемещения, так и само перемещение малы, то разница между материальными и пространственными координатами частицы среды очень мала. Поэтому компоненты материального градиента ди дХ и компоненты пространственного градиента ди 1дх1 почти равны и эйлеров и лагранжев тензоры бесконечно малых деформаций можно принять равными. Таким образом, если и перемещения, и их градиенты достаточно малы, то [c.120]

Дано поле перемещений и = Х Х + Х Хгег + Х1Х . Определить независимо материальный градиент деформации Р и материальный градиент перемещения Л и удостовериться в правильности формулы (3.24) Л = Р — I. [c.136]

При предположении малости градиентов перемещения единичные векторы направлений, полученных при деформации из V и л, в силу (3.47) имеют соогвет- [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...