Периодические решения неподвижной точки

Мы видели, что вблизи резонанса фазовые траектории сильно возмущены. Тем не менее внутри резонанса существуют замкнутые периодические траектории (неподвижные точки на рис. 1.10, б и г). Устойчивость линеаризованного вблизи них движения также связана со стохастичностью. Линейная устойчивость решений в окрестности периодической траектории приводит к регулярному движению, которое может быть разрушено слабым нелинейным возмущением только за большой промежуток времени. Неустойчивые решения приводят к экспоненциальной расходимости траекторий, скорость которой можно принять за меру стохастичности (см. гл. 5). Можно ожидать, что в той области фазового пространства, где все или почти все периодические решения линейно неустойчивы, движение будет хаотическим. [c.63]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Изучение основного периодического режима сводится к исследованию неподвижных точек преобразований (или П ). Опуская само исследование, приведем основные результаты. Для обычно применяемых в демпферах значений j, < 1 область пространства параметров, соответствующая основному режиму, значительной своей частью расположена вблизи резонансной частоты (о = 1. Это позволяет разложить решение уравнений (15) и (5) i (t) в ряд по Дсо = = 1 — со. Разлагая затем полученное выражение в ряд Фурье, получаем следующие значения амплитуд гармоник колебаний массы [c.242]

Выясним подробнее структуру поверхности Нд. Пусть 5 —топологическое преобразование уд на окружность С, тогда 57 о5 будет топологическим и сохраняющим ориентацию преобразованием окружности С на себя. По предположению система (14.1) при е = 0 имеет на Нд периодические решения. Следовательно, на уд существует точка р, неподвижная относительно преобразования То- Будем предполагать, что к — наименьшее такое число, т. е. что если, [c.220]

Рассмотрим периодическое решение x = fJ t), у = фу(0. лежащее на Ец с одним положительным характеристическим показателем. Пусть др — точка с координатами д ==ср (0), у = фДО), тогда точки g =T g o (/ = 0, 1,. .., к ) будут различными неподвижными точками преобразования Го Сделаем в системе (14.1) при е = 0 замену х= х — срД/) у = у — получим [c.222]

Таким образом, доказано, что если через точку р, неподвижную относительно преобразования То, проходит периодическое решение, имеющее положительный характеристический показатель, то для всякой точки д, лежащей на в достаточной близости от р, выполняется соотношение (14.3). Такие точки р будем называть неустойчивыми. [c.224]

Предположим, что на Но располагается т различных периодических решений с отрицательными характеристическими показателями, тогда на о лежит кт устойчивых неподвижных точек Рц (/=1, 2.....т, 1 = 0, 1,..., к — 1) [c.224]

В третьей главе исследуются плоские смешанные задачи для упругих тел, усиленных кольцеобразными накладками и тонкостенными включениями. Здесь дано решение задачи о передаче нагрузки от кольцеобразной накладки к упругой бесконечной пластине. Исследуется задача о напряженном состоянии упругой плоскости с круглым отверстием, усиленным по обводу кольцеобразными накладками. Показано, что такое усиление благоприятно влияет на концентрацию напряжений в окружном направлении. Изучено напряженное состояние тяжелого круглого диска, усиленного кольцеобразными накладками и подвешенного нерастяжимыми лентами к одной неподвижной точке. Далее, решаются задачи о контактном взаимодействии прямоугольных тонкостенных включений конечной и полубесконечной длин, а также двух одинаковых или периодически расположенных включений с упругой плоскостью. Предлагается способ определения осевых усилий на концах включений, основанный на использовании выражений коэффициентов интенсивности осевых напряжений в плоскости, содержащей разрезы соответствующих форм. [c.12]

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ В ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ [c.77]

Таким образом, построено частное периодическое решение в задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой в поле притяжения двух неподвижных центров. Работа [1] и данная статья могут рассматриваться как первое приближение к решению задачи о движении твердого тела в поле осесимметричной вращающейся планеты. [c.81]

Иевлев В. Е. Построение периодических решений в задаче о движении твердого тела с одной неподвижной точкой в поле притяжения двух неподвижных центров. — Сборник научно-методических статей по теоретической механике. М., 1979, вып. 9, с. 77—82. [c.127]

Рассмотрим теперь поведение решений в окрестности исследованных периодических решений. Наглядной характеристикой автономной системы с одной степенью свободы является ее фазовый портрет. Для неавтономной системы с периодическими коэффициентами аналогичную роль играет стробоскопическая картина, образуемая точками фазовых траекторий в дискретные моменты времени, отличающиеся друг от друга на величину, кратную периоду системы. Сдвиг времени на период определяет преобразование точек фазовой плоскости. Периодическому решению отвечает неподвижная точка такого преобразования. Периодическое решение будет устойчивым, если образ достаточно малой окрестности неподвижной точки остается малым при произвольном числе последовательных преобразований при этом стробоскопическая картина фазовых траекторий, близких к периодическим, дает замкнутые кривые, окружающие неподвижную точку. [c.101]

В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике. [c.2]

Согласно теореме 3 вековое множество совпадает с множеством 9 резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, которые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. Ниже будет показано, что как раз рождение большого числа невырожденных периодических решений уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой несовместимо с интегрируемостью этой задачи. [c.97]

Указанным в теореме неподвижным точкам отображения Пуанкаре соответствуют устойчивые периодические решения периода 2тг/ исходной задачи. Поведение системы вдоль этих решений следующее фазовая точка начинает движение при г = О в области G3, затем пересекает сепаратрису, попадает в область С или С2 затем вновь пересекает сепаратрису и возвращается в G3. [c.195]

Первая проблема состоит в построении периодических движений. Обычный метод ее решения связан к переходу к отображению Пуанкаре и отысканию его неподвижных точек. Для этого используются либо топологические методы (теоремы Брауэра и Банаха), либо асимптотические методы типа метода малого параметра Пуанкаре. Обзор методов построения периодических решений гладких систем можно [c.243]

Прежде чем обсудить методы исследования устойчивости, коснемся кратко специфики понятия устойчивости в системах с ударами. Имеется два подхода к его определению. Первый из них связан к переходу к неподвижным точкам отображения Пуанкаре. Такой метод является наиболее распространенным, и принято считать, что устойчивость (ляпуновская или асимптотическая) неподвижной точки отображения эквивалентна устойчивости соответствуюгцей периодической траектории х ( ). Оказывается, что в системах с несколькими ударными парами это условие недостаточно, так как здесь может отсутствовать непрерывная зависимость решения от начальных условий. Соответствующий пример построен в [24. [c.243]

В число особенностей фазового потока входят, в частности, неблуждающие фазовые точки (т. е. такие, что любая их окрестность пересекается с некоторой фазовой траекторией по меньшей мере дважды). К числу таких точек относятся, в частности, неподвижные точки, соответствующие стационарным решениям уравнений гидродинамики, и периодические точки, лежащие на замкнутых траекториях, соответствующих периодическим по времени решениям. Далее, к ним относятся предельные точки траекторий о)< [c.95]

Теорема. 1) Точка есть неподвижная точка отображения А Ахо = Жо) тогда и только тогда, когда решение с начальным условием X (0) = Хо периодическое с периодом Т. [c.104]

Периодическое решение х Ь) устойчиво по Ляпунову асимптотически устойчиво) тогда и только тогда, когда неподвижная точка Хо отображения А устойчива по Ляпунову асимптотически устойчива) ). [c.104]

Таким образом, вопрос о существовании периодических решений задач динамики сводится к вопросу о неподвижных точках сохраняющих площади отображений кольца на себя. [c.384]

Д. Применения к отысканию неподвижных точек и периодических решений. Рассмотрим теперь гомологичное тождественному симплектическое преобразование того специального вида, который возникает в интегрируемых проблемах динамики, т. е. вида [c.390]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Используя 1-3, можно показать, что й является знакопостоянной функцией, т. е. эти решения в случае 1-2 описывают асимптотические движения к периодическому решению, а в случае 3 — к неподвижной точке. (Аналитические квадратуры в случае О являются более громоздкими [72].) [c.120]

Исчерпывающий учебник с большим количеством нодроб-ностей. Том I — орбиты, баллистические траектории, уравнения Лагранжа и Гамильтона и вариационные принципы для частицы. Том II — твердое тело, имеющее неподвижную точку или катящееся ударные импульсы, общие лагранжевы и га мильтоновы методы, метод периодических решений. [c.441]

Если какая-либо точка М отображается сама в себя, т. е. М = М, го такая точка называется неподвижной. Очевидно, что неподвижным точкам соогветствуют замкнутые траектории, т. е. периодические решения системы. Замкнутые траектории соответствуют также н т-кратным неподвижным точкам, когда Т М = М, Т М + М при < < т. Знание точечного отображения позволяет иайти предельные циклы системы как его неподвижные точки. Более того, оно позволяет судить об устойчивости [c.92]

Для доказательства существования периодического решеиия системы (18.1) поступают обычно следующим обра-ЯОм, В фазовом пространстве выделяется гиперповерхность М (л—1)-го измерения, не имеющая контакта с полем направлений системы (18.1). На поверхности М выделяется (П— 1)-мерный симплекс 5. Предполагается, что если точка р лежит в 5, то при возрастании времени траектория Ф(р. Ь) системы (18.1), проходящая при = 0 через точку р, пересечет поверхность М в точке Ф(р, х), х > 0. Таким образом, получается преобразование Т симплекса 5 в гиперповерхность М, ставящее в соответствие точке р точку Ф (р, х). Обычно без особых затруднений удается показать, что преобразование это непрерывно. Если, кроме того, преобразо-пиние Т таково, что на 5 оно имеет неподвижную точку д, то ясно, что траектория Ф д, 1 ) замкнута, т. е. решение Ф((/, ) периодическое. [c.281]

Рассматривается вращение твердого тела с одной неподвижной точкой в поле тяготекня сжатой планеты, потенциал которой с высокой точностью аппроксимируется двумя неподвижными центрами, расположенными на комплексно-сопряженных расстояниях. Метилом Пуанкаре строятся периодические решения. Задача решается в переменных Лндy J ie, при этом используется аппарат гамильтоновых систем. [c.128]

Неподвижные точки 1 и 2 соответствуют периодическим решениям — вращениям вокруг меньшей оси инерции в противоположных па-Рис. 9 правлениях. Точки 3 и 4 тоже явля- [c.60]

Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательстве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периодических решений ( 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однозначных интегралов ( 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости уравнений динамики твердого тела. [c.129]

Замечание. В доказательстве теоремы (п. 5) рассматриваются по отдельности неподвижные точки, соответствующие периодическим решениям, проходящим через область С ж проходящим через область Для каждого из этих двух типов движений доказывается, что число неподвижных точек больше onst /е. [c.195]

Работы, основанные на методе неподвижной точки преобразования, также являются аналогом второго метода. Этот метод позволяет решить многие вопросы, например, доказать суш ествование периодических, ограниченных, почти-периодических решений. Примерами таких исследований являются многие работы М. Картрайт ), В. А. Плисса (1958, 1964), В. В. Немыцкого (1934, 1936). [c.76]

Пусть состояние равновесия лежит в области I. Тогда для периодического решения (5 = Зо) с увеличением 5о время Т убывает (до значения л/со1), время 9 возрастает (до значения я/сог) и производная (4) растет. Поэтому может существовать пе более двух точек пересечения функции последования с биссектрисой, причем неподвижная точка с меньшей координатой должна быть устойчива, а с большей — неустойчива. Так как, по предположению, состояние равновесия лежит в области I и является устойчивым фокусом, который не может охватываться устойчивым же циклом, то в областях I ж II может существовать не более одного, причем неустойчивого цикла. [c.410]

Рис. 55. Движение апексов главных осей тела в неподвижном пространстве в случае Пзрячева-Чаплыгина для устойчивого периодического решения, расположенного на ветви III рис. 46, при двух различных значениях энергии hi,h2 с разных точек зрения. Буквами Xi, гц, Zi, i = 1, 2 обозначены траектории соответствующих осей, относящихся к одной и той же энергии.

Рис. 63. Неустойчивость интегрируемого случая Ковалевской. Фазовый портрет (сечения плоскостью g = тг/2) возмущения случая Ковалевской при небольшом отклонении от динамической симметрии А = diag(l,o,2). Периодическое решение Бобылева - Стеклова сохраняется при любом значении а, на фазовом портрете ему соответствует неподвижная точка I = тг/2, L/G = 0. Значения интегралов энергии и площадей h = 4, с = 1. (Видна бифуркация удвоения периода.)

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...