Операции симметрии вращение

Точечные группы Та, Oh и Ih содержат все операции симметрии вращения, отражения и вращения-отражения правильного тет- [c.43]

Поликристаллы, не подвергавшиеся воздействию внешних полей (упругих, электрических, магнитных), в среднем изотропны и элементов симметрии не содержат. Однако при воздействии на поликристалл упругих, электрических или магнитных полей характер симметрии поликристалла изменяется. В нем появляются элементы симметрии, вызванные внешним воздействием. Каждому элементу симметрии соответствуют определенные операции симметрии отражения н плоскостях симметрии, вращения вокруг осей симметрии и др. Уравнения, описывающие различные явления, происходящие в поликристаллах, должны быть инвариантны относительно соответствующих операций симметрии. Мысленно выделим в поликристалле шарик, в пределах которого можно пренебречь изменением интенсивности намагничения. До намагничения шарик изотропен, т. е. все направления в шарике равноправны. При воздействии магнитного поля шарик перестает быть изотропным, в нем выделяется направление, [c.247]

В заключение отметим, что в ряде применений различие между свойствами операции свертки и корреляции может оказаться полезным. Например, комплексно-сопряженное изображение в первоначальной схеме микроскопа Габора можно подавить, если использовать источник такой формы, которая не обладает двукратной симметрией вращения [c.155]

Книга адресована читателю, серьезно изучающему молекулярную спектроскопию, и хотя предполагается, что он знаком с основными постулатами квантовой механики, теория групп рассматривается здесь из первых принципов. Идея группы молекулярной симметрии вводится в начале книги (гл. 2) после определения понятия группы, основанного на использовании перестановок. Далее следует рассмотрение точечных групп и групп вращения. Определение представлений групп и общие соображения об использовании представлений для классификации состояний молекул даны в гл. 4 и 5. В гл. 6 рассматривается симметрия точного гамильтониана молекул и подчеркивается роль перестановок тождественных ядер и вращения молекулы как целого. Чтобы классифицировать состояния молекул, необходимо выбрать подходящие приближенные волновые функции п понять, как они преобразуются под действием операций симметрии. Преобразование волновых функций и координат, от которых волновые функции зависят, особенно углов Эйлера и нормальных координат, под действием операций симметрии подробно описывается в гл. 7, 8 и 10. В гл. 9 рассматриваются определение группы молекулярной симметрии и применение этой группы к различным системам. В гл. 11 определяется приближенная симметрия и описывается применение групп приближенной симметрии (таких, как точечная группа молекул), а также групп точной симметрии (таких, как группа молекулярной симметрии) для классификации уровней энергии, исследования возмущений, при выводе правил отбора для оптических [c.9]

Я надеюсь, что эта книга поможет читателю понять роль групп молекулярной симметрии и их связь с точечными группами молекул и группами вращения при применении теории групп к проблемам молекулярной спектроскопии. Для облегчения понимания материала в книге приводится много примеров применения развиваемых здесь идей и много рисунков, показывающих действие операций симметрии, а также задачи с решениями. Читатель может сам регулировать темп чтения этой книги, либо опуская задачи и решения, либо решая задачи по мере их появления и сравнивая их с решениями, приведенными в тексте, либо просто читая задачи и решения как составную часть текста. [c.10]

Для более точного определения симметрии вращения объекта введем понятия оси симметрии и операции симметрии вра- [c.39]

Си — вращение на 2я/3 рад по часовой стрелке вокруг оси d (при этом верщина 1 занимает место 3) и d — вращение на 4я/3 рад по часовой стрелке вокруг оси d. Добавляя к этим пяти операциям операцию тождественного преобразования Е, которая не производит вращения, и определяя умножение операций как их последовательное применение, получим группу симметрии вращения D3 [c.40]

Первостепенную роль в теории колебательных спектров играют свойства симметрии и операции симметрии молекул. Поскольку атомы в молекулах (точнее, ядра атомов) расположены в определенном порядке и образуют вполне определенную конфигурацию, то, очевидно, можно говорить о той или иной симметрии молекул. Характеризуется симметрия молекул так же, как и любое другое геометрическое тело, одним или несколькими элементами симметрии, а именно осью, плоскостью и центром симметрии. Каждому элементу симметрии соответствует операция симметрии — такое перемещение системы (отражение или вращение), которое не приводит к изменению конфигурации и свойств молекулы. Например, молекула воды (рис. 557) имеет две плоскости симметрии одна из них проходит через все три атома молекулы Н,0, а другая перпендикулярна к плоскости молекулы и проходит через биссектрису угла, образованного связями О—Н. Зеркальное отражение всех атомов в этих плоскостях не меняет ни структуры, ни свойств молекулы воды. Операция отражения во второй плоскости меняет местами атомы водорода. Однако вследствие их тождественности никакого изменения в системе не произойдет. По, разумеется, последний элемент симметрии будет отсутствовать, если один из атомов водорода будет заменен на какой-либо другой атом. [c.754]

Молекула, точно так же, как и любое другое геометрическое тело или фигура, может обладать одним или несколькими элементами симметрии, такими, как плоскость симметрии, центр симметрии и ось симметрии. Каждому элементу симметрии соответствует операция симметрии — преобразование координат (отражение или вращение), которое приводит к конфигурации атомов, неотличимой от первоначальной конфигурации. Рассмотрим более подробно различные возможные элементы симметрии. [c.12]

Если молекула является симметричным волчком вследствие наличия оси симметрии более высокого порядка, чем второй, то следует учитывать добавочные свойства симметрии вращательных собственных функций, так как определенные вращения являются операциями симметрии, в зависимости от того, к какой точечной группе относится рассматриваемая молекула. Все операции симметрии точечной группы, которые эквивалентны вращениям, образуют вращательную подгруппу. Например, в точечной группе Сз. вращения вокруг оси симметрии третьего порядка принадлежат к вращательной подгруппе однако в эту подгруппу не входят отражения в трех плоскостях симметрии. Поэтому вращательная подгруппа обозначается символом С3. Аналогичным образом, в других случаях во вращательную подгруппу входят все оси симметрии порядка р рассматриваемой точечной группы, но не входят никакие другие элементы симметрии. Таким образом, вращательной подгруппой точечной группы >3 является вращательной подгруппой группы вращательной подгруппой группы — Т, и т. д. [c.435]

Можно отметить, что а многоатомных молекулах все элементы симметрии точечных групп, отличные от осей бесконечного порядка (б оо), обусловлены наличием одинаковых ядер. Поэтому соответствующие операции симметрии (геометрические) можно заменить подходящими перестановками этих одинаковых ядер или перестановками в комбинации с инверсией. Однако эти перестановки не составляют полной перестановочно-инверсионной группы для п ядер, которая, за исключением случая, когда п равно 2 или 3, имеет гораздо больше элементов (а именно 2 -л ), чем любая геометрическая точечная группа с и одинаковыми атомами. Это объясняется тем, что в геометрические точечные группы включаются только такие перестановки, которые можно осуществить жесткими вращениями и отражениями. [c.13]

Имеются, кроме того, операции вращения и отражения, называемые точечными операциями симметрии. Операции вращения и отрал<ения можно применить в районе произвольных точек решетки или особых точек внутри элементарного параллелепипеда, в результате ч его кристаллическая структура перейдет сама в себя . Точечные операции симметрии являются дополнением к трансляционным операциям. Возмол<ны еще и другие, сложные симметричные преобразования, которые состоят из комбинации операций трансляции и точечных операций. Предназначением кристаллографического языка является главным образом краткое описание операций симметрии. [c.23]

Кристаллические решетки могут быть приведены в самосов-мещение не только в результате трансляционных преобразований, но и в результате различных точечных операций симметрии. Типичной операцией симметрии является вращение вокруг оси, проходящей через какую-нибудь точку решетки. Существуют решетки, имеющие оси вращения первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка, которые соответствуют поворотам на углы 2я, 2я/2, 2я/3, 2я/4 и 2я/6. Оси вращения иначе называются поворотными осями. Они обозначаются цифрами [c.27]

Ячейки Вигнера —Зейтца отличаются тем свойством, что они инвариантны ко всем операциям симметрии решетки ко всем вращениям, зеркальным отражениям, к инверсии, если средняя точка остается закрепленной и решетка остается инвариантной. В реальном кристалле симметрия ячейки Вигнера — Зейтца не должна сохраняться. Расположение атомов внутри вигнер-зейтцев-ской ячейки —базис-может ограничивать эту симметрию. Все операции симметрии, к которым инвариантен идеальный бесконечный кристалл, объединены в пространственные группы. Пространственная группа содержит, наряду с примитивными трансляциями (15.1), вращения, отражения, зеркально-поворотные преобразования вокруг заданных узлов решетки и осей, инверсии, далее винтовые оси и плоскости скольжения. Последние операции симметрии являются комбинацией зеркально-поворотного преобразова- [c.73]

Помимо трансляций существуют еще и другие операции симметрии, которые переводят кристалл в себя. Инверсия решетки Бравэ относительно любого узла оставляет ее инвариантной и может преобразовывать кристалл в себя. Всевозможные вращения, отражения или зеркальные повороты также могут переводить кристалл в себя. Совокупность всех операций — вращений, отражений, трансляций, зеркальных поворотов и их комбинаций — называется пространственной группой кристалла. Пространственная группа содержит все операции симметрии, которые переводят кристалл в себя. [c.18]

Как будет показано ниже, операции симметрии кристалла образуют группу (в математическом смысле). Благодаря требованию трансляционной симметрии выбор точечных групп для кристалла резко ограничен по сравнению с группами, возможными для отдельных молекул. Так, например, можно показать, что кристалл может обладать симметрией относительно вращений лишь на углы 60 , 90 и кратные им. [c.19]

Выше МЫ показали, что, зная представление, которому принадлежат собственные состояния, можно судить о степени их вырождения. Кроме того, если известны представления, то можно кое-что сказать и о свойствах симметрии волновых функций. Например, для гамильтониана, имеющего симметрию треугольника, мы знаем, что любое собственное состояние, принадлежащее представлению А1, под действием любых операций симметрии группы треугольника не изменяется. Отсюда следует, что волновая функция этого состояния обладает симметрией треугольника. Если состояние принадлежит представлению Аг, то оно не изменяется при вращениях, но меняет знак при отражении. Мы можем заключить, что волновая функция обращается в нуль вдоль высот треугольника. Упомянутые волновые функции схематически представлены на фиг. 13. Наконец, известно, что собственные состояния, принадлежащие представлению Аз, преобразуются так же, как р-состояния, т. е. как координаты. В двумерном случае такие состояния образуют пары, их конкретный вид будет найден после обсуждения колебаний молекул. В случае группы треугольника мы не ожидаем появления трехкратного вырождения, поскольку нет трехмерных неприводимых представлений группы. Ниже будет показано, каким образом можно убедиться, что мы нашли все неприводимые представления этой группы. [c.40]

В качестве примера рассмотрим треугольную молекулу, помещенную в магнитное поле, перпендикулярное ее плоскости. Рассмотрим сначала операции симметрии измененной задачи. Отражения меняют направление магнитного поля на противоположное, поэтому если гамильтониан зависит от магнитного поля, то он может быть неинвариантным при отражениях. С другой стороны, вращения вокруг оси, направленной вдоль магнитного поля, не изменяют гамильтониан. Поэтому в данном случае подгруппа состоит из преобразований Е, Су и С . Пользуясь полученными выше правилами, основанными на соотношении ортогональности, заключаем, что подгруппа имеет три одномерных неприводимых представления и является абелевой группой. Заметим далее, что все элементы этой группы можно представить как степени одного из ее элементов С , С и С. Группа, обладающая таким свойством, называется цик.гической группой. Любая циклическая группа, очевидно, является абелевой. Таблица характеров рассматриваемой группы, совпадающая в данном случае с таблицей неприводимых представлений, имеет вид [c.44]

Рассмотрим снова кристалл, обладающий некоторой группой поворотов и отражений, которая преобразует кристалл, а следовательно, и гамильтониан сам в себя. Пусть Я — одна из операций симметрии этой группы. Будем считать, что мы нашли волновую функцию электрона фк, соответствующую некоторому волновому вектору к в зоне Бриллюэна. Предположим, что операция Я вращает волновую функцию. Но при вращении волновой функции точно таким же образом должен вращаться и волновой вектор, т. е. [c.102]

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ — свойство кристаллов совмещаться с самим собой путём нек-рых преобразований, наз. операциями симметрии отражения, вращения, параллельных переносов (либо комбинации этих операций). Симметрич. преобразования можно разделить на два типа конечные, или точечные, при к-рых хотя бы одна точка фигуры остаётся на месте, и бесконечные, или пространственные, при к-рых не остаётся на месте ни одна точка фигуры. Конечные симметрич. преобразования соответствуют симметрии идеальных кристаллич. многогранников, бесконечные — симметрии структур. [c.321]

СИММЕТРИЯ МОЛЕКУЛЫ, хар-ка молекулы, определяемая совокупностью возможных операций точечной симметрии для её равновесной конфигурации. Четыре операции точечной симметрии (вращение вокруг оси на нек-рый угол, меньший или равный 360° отражение от плоскости инверсия в точке вращение вокруг оси с последующей инверсией в точке, лежащей на этой оси) приводят к след, элементам симметрии молекулы ось симметрии п-го порядка (ось вращения п-го порядка), если при повороте вокруг этой оси на угол 360°/п п — целое число) она совмещается сама с собой зеркальная плоскость, или плоскость симметрии, если такое совмещение наблюдается при отражении от плоскости центр инверсии, или центр симметрии, если молекула совмещается сама с собой при проектировании её атомов по линиям, проходящим через центр симметрии в положение, находящееся на противоположной стороне от него и на том же расстоянии, что и исходный атом зеркально-поворотная ось п-го порядка, когда молекула совмещается сама с собой в результате поворота её вокруг нек-рой оси с последующей инверсией в точке, лежащей на этой оси. Так, элемен- [c.685]

Нетрудно показать также, что существование продольно поляризованных нейтрино тесно связано с несохранением четности в слабых взаимодействиях. В самом деле, в случае справедливости закона сохранения четности волновая функция частицы при зеркальном отражении (или, что то же самое, при операции инверсии, т. е. замене правой системы координат на левую) либо не меняется (для четной частицы), либо умножается на —1 (для нечетной), а частица переходит сама в себя. Это возможно в том случае, когда частица симметрична относительного правого и левого. Продольное нейтрино не обладает симметрией, так как при отражении в зеркале правый винт переходит в левый (направление вращения от х к у, например, сохраняется, а направление движения оси винта меняется на обратное). Частица не переходит сама в себя, а изменение соответствующей ей волновой функ- [c.645]

Выполняя операцию вращения векторов и, г и / вокруг оси симметрии и учитывая, что характер зависимости (6) не должен изменяться при операции вращения, получим следующие соотношения [c.249]

Структурную симметрию как молекул, так и макроскопических тел можно описать, используя представления об осях вращения и плоскостях отражения. Например, молекула метала и тетраэдр имеют одну и ту же структурную симметрию. Эту симметрию можно определить, относя молекулу к некоторой точечной группе, состоящей из определенного набора операций вращения и отражения (или элементов), для молекулы метана такая группа обозначается символом Та. В физике молекул симметрия широко используется для классификации уровней энергии молекул. В этой книге подробно рассматриваются различные виды симметрии, поскольку точечная группа симметрии — не единственный вид симметрии, присущий молекулам. Рассматривается также применение различных групп симметрии для классификации состояний молекул и для изучения молекулярных процессов. [c.11]

На рис. 3.4 изображена пирамида с равносторонним треугольным основанием используем ее для введения понятия точечной группы. Пирамида имеет симметрию вращения 3-го порядка вокруг оси d, а также симметрию отражения в плоскостях ad, bd и d. Операция симметрии отражения трехмерных объектов является отражением объекта в плоскости (плоскость симметрии отражения), которое оставляет объект в эквивалентной пространственной ориентации. Плоскость должна проходить через центр масс объекта, и эта точка центра должна быть общей для всех осей симметрии вращения и плоскостей симметрии отражения (отсюда и название точечная группа). Точечная группа трехмерного объекта содержит все операции симметрии вращения, все операции симметрии отражения и все возможные произведения таких операций (хотя индивидуальные операции вращения и отражения, которые составляют операцию симметрии произведения вращения-отражения, не обязательно должры быть операциями симметрии). Точечная группу [c.42]

Действие операций симметрии вращения на координаты молекул будет детально рассмотрено в гл. И после определения осей, фиксированных в молекуле, вокруг которых и происходит пращенпе. Здесь, однако, есть одно исключение, касающееся [c.45]

В общем случае свертка (Т Т ) не равнадельта-функции, если только источник не обладает двукратной симметрией вращения относительно оптической оси (рис. 2 гл. 7). Таким образом, необходимо четко различать обычно полезную функцию автокорреляции источника (Гз Ts) от не всегда полезной свертки Т Та). Это различие иллюстрирует рис. 28, а. Верхнее изображение получается при помощи операции корреляции, и поэтому его размытие удается компенсировать. Нижнему изображению соответствует операция свертки, и оно остается размытым. [c.155]

В качестве примера рассмотрим группу операций симметрии, которые сохраняют ииззриантн лм охтаэдр, изображенный на рис. 106 (группа октаэдра), Этиив операциями являются четыре вращения вокруг оси г на 0 , 90°, 180°, 270° (элементы Е, А, А и Л ), вращение на 180° вокруг оси х (или оси у) (элемент В) и эти вращения с последующими вращениями на 90°, 180° или 270° вокруг оси г (элементы АВ, А В, А В). [c.363]

Рассмотрим, например, кристалл с кубической симметрией. В таком кристалле все вращения и отражения, переводящие куб в себя, отображают также и весь кристалл в себя. Направим кубические оси (ребра кубической ячейки) кристалла параллельно осям лабораторной системы координат. Разумеется, оси вращений и плоскости отражений необходимо определенным образом ориентировать относительно заданной системы координат, точно так же, как это делалось по отношению к кубической ячейке. Для определенности будем рассматривать операцию симметрии как реальный поворот кристалла, приводящий к соответствующему преобразованию нзора электропроводности. Преобразованный тензор электропроводности, выраженный в той же самой лабораторной системе координат, обозначим через а ц. [c.22]

Сначала покажем, как используются соображения симметрии для получения некоторой информации о собственных состояниях электрона. Изложение этого вопроса будет максимально приближено к более общему изложению, в котором используется теория групп. Рассмотрим структуру, для которой существует некая операция симметрии, обозначаемая символом Я. Такой операцией может быть вращение или отражение, преобразующее кристалл в себя. Очевидно, что гамильтониан также не должен изменяться под действием этого преобразования, или, что то же самое, операция Я должна коммутировать с гамильтонианом Н. Это утверждение можно записать в виде [c.25]

Группа есть совокупность элементов произвольной природы, например совокупность операций симметрии, преобразующих гамильтониан в себя. Для определенности мы будем, как и выше, считать, что преобразование симметрии действует на функцию, т. е. осуществляет вращение, отражение или трансляцию функции. [c.29]

Развитие понятия нарушения симметрии привело к необходи-мости включения в теорию скалярного поля (инвариантного по отношению к операциям трансляции, вращения и отражения координат). С этим полем ассоциируется частица с нулевым спином бозон Хиггса, появляющийся в теории на том же уровне элементарности, что и лептоны, и кварки. Если он существует, то должен заменить четыре калибровочных бозона электрослабого взаимодействия, приведенных в табл, 2.1. Теория предсказывает для бозона Хиггса массу, равную 10—50 ГэВ/с . Он может распадаться на пару кварков и антикварков, например bub, которые в свою очередь должны давать адронные струи. [c.71]

Для Босстановления право-левой симметрии пустого пространства Ландау предложил вложить право-левую асимметрию в заряд частицы. Согласно Ландау, в слабых взаимодействиях нарушается не только закон сохранения четности, но и принцип зарядового сопряжения. Это легко понять на том же примере с продольно-поляризованными нейтрино и антинейтрино. Дей-ствцтельно, если к левовинтовому нейтрино (правовинтовому антинейтрино) применить операцию зарядового сопряжения, то получится левовинтовое антинейтрино (правовинтовое нейтрино), которого, согласно теории продольных нейтрино, в природе не существует. В соответствии с этим теория оказывается несимметричной относительно замены всех частиц на все античастицы. Инвариантной является комбинированная операция, состоящая из инверсии координат Р и замены частицы на античастицу С. В этом случае говорят о сохранении комбинированной четности СР в слабых взаимодействиях . Введение понятия комбини ровацной четности позволяет рассматривать явления, связанные с несохранением четности, сохраняя право-левую симметрию пустого пространства (так как вращение связано с зарядом, т. е. с частицей). [c.646]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...