Матрица марковская

Матрица переходных вероятностей марковской цепи имеет вид [c.182]

Состояния могут быть транзитивными, т.е. такими, в которые можно попасть и из которых можно выйти, либо поглощающими, попав в которые, процесс далее перейти уже никуда не может. (Заметим, что это могут быть не изолированные состояния, а подмножества связанных между собой состояний.) Переходы из состояния в состояние могут быть не обязательно детерминированными. Так, если из состояния Sj возможны переходы в несколько соседних состояний, то выбор направления перехода может осуществляться в соответствии с некоторым случайным механизмом. Если вероятность перехода за один шаг из s, в Sj, обозначаемая р,у называемая переходной вероятностью, зависит только от индексов этих состояний и не зависит от всей предыстории развития процесса до попадания в состояние 5,, то соответствующий дискретный случайный процесс называется марковской цепью. Таким образом, марковская цепь задается матрицей переходных вероятностей р = p-j , /, у =1, N. [c.161]

Марковские цепи характеризуются множеством состояний S, матрицей вероятностей переходов из одного состояния в другое и начальными условиями (начальным состоянием). Удобно представлять марковскую цепь в виде графа, в котором вершины соответствуют состояниям цепи, дуги — переходам, веса дуг — вероятностям переходов (если время дискретно) или интенсивностям переходов (если время непрерьшно). [c.128]

Максвелла распределение I 255 Марковский процесс II 18 Матрица плотности (фон Неймана) 62. [c.393]

При вычислении интеграла столкновений в кинетическом уравнении (4.1.19) мы должны, вообще говоря, учесть, что эволюция операторов определяется гамильтонианом который включает взаимодействие частиц с внешним полем. Если внешнее поле не является настолько сильным, чтобы существенно влиять на процессы столкновений, то можно считать, что эволюция операторов определяется гамильтонианом свободных частиц Я в отсутствие поля. В этом приближении влияние поля учитывается только в левой части уравнения (4.1.19) через матрицу П. Итак, кинетическое уравнение (4.1.19) для одночастичной матрицы плотности в марковской форме (4.1.23) можно записать в виде [c.255]

Вообще говоря, это кинетическое уравнение включает эффекты памяти, но в линейном приближении по концентрации примесей его можно записать как марковское. В самом деле, интеграл столкновений уже имеет множитель rii и, следовательно, зависимость матрицы g t — T) от г описывается уравнением нулевого порядка (4.2.81). Поэтому exp irL f t) и уравнение (4.2.82) принимает вид [c.279]

Так как вычисление корреляционной функции сводится теперь к вычислению средних значений с квазиравновесным статистическим оператором Qq t), который зависит от одночастичной матрицы плотности, взятой в тот же момент времени уравнение (4.4.2) приводится к марковскому виду ). [c.298]

В рассматриваемом приближении полный гамильтониан в (4.5.41) следует заменить на Следует отметить, однако, что сказанное справедливо только в борновском приближении. В более высоких приближениях (скажем, в приближении Т-матрицы) корреляционный вклад в интеграл столкновений остается и в марковском пределе. Это видно, например, из формулы (4.3.58) для квантового аналога интеграла столкновений Энскога. [c.321]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Стохастический подход основан на представлении г как непрерывного или дискретно изменяющегося марковского процесса. Матрица Xft (i), характеризующая интенсивность этого процесса, определяется соотношением [c.730]

Иногда получаемую оценку называют марковской, в отличие от оценки классического МНК, при вычислении которой предполагается некоррелированность отсчетов сигнала (белый шум). Таким образом, при использовании марковской оценки нужно априорно знать ковариационную матрицу помех при работе с обычным МНК знание этой матрицы не требуется [хотя оптимальными свойствами полученные оценки будут обладать только при гауссовско (в первом случае) и белом (во втором случае) шуме]. Этим и объясняется широкое распространение оценок МНК. [c.45]

С. В. Серенсен и В. П. Когаев (1965) на основе рассмотрения процесса усталости как однородного во времени марковского процесса с конечным множеством состояний и непрерывным временем проанализировали и количественно охарактеризовали статистические закономерности накопления усталостных повреждений при программном нагружении. Функции распределения долговечности при этом получаются методом перемножения стохастических матриц и методом Монте-Карло. [c.410]

Программирование марковского процесса для такой матрицы (pij) производится точно таким же образом, как и для асимметрической матрицы. Различие заключается в том, что здесь случайное число 5 сравнивается с величиной u (i)/[u (i) + гг (t)], а не с отношением u (i)/u (t). [c.282]

В этом разделе = Ль. г Ят) будет обозначать марковское разбиение базисного множества Определим матрицу переходов А — А Щ, положив [c.71]

Определение. Топологической марковской цепью с матрицей переходов А называется символическая динамическая система (Ел.а), где [c.205]

Теорема 4.1 (о спектральном разложении ТМЦ). Пусть (Ел, 0) — топологическая марковская цепь, k= 1,. .., s,— ее классы эквивалентных возвратных состояний, — матрица переходов, отвечающая классу Тогда [c.206]

По данной стохастической матрице П и вектору pea- мы можем определить марковскую меру на il [c.168]

Рассмотрим совокупность С = /р. .., / отрезков, лежащих в I, с попарно непересекающимся внутренностями. Отношение —+ задает ребра ориентированного графа — графа Маркова, ассоциированного с С, вершины которого — отрезки из С. Пусть А —О - 1-матрица, определенная этим графом (см. п. 1.9 в), и <Тд —односторонний топологический марковский сдвиг, определенный матрицей А. Мы будем говорить, что матрица А ассоциирована с совокупностью С. Следующий факт устанавливает кодирование на подковообразных компонентах для одномерных отображений. [c.493]

Обозначим через А марковскую матрицу, ассоциированную с графом Маркова такого отображения / относительно совокупности С = 1 0 к < [c.496]

Следующая основная лемма показывает, что по крайней мере один интервал JeE покрывается многими интервалами I под действием отображения или, точнее, что марковские матрицы / на J имеют существенную долю блоков из единиц вокруг диагонали. [c.498]

Доказательство. Будем считать, что период р минимален, и рассмотрим отображение / =/ . Заметим, что по лемме 15.3.3 граф Маркова / относительно разбиения, индуцированного периодической орбитой, содержит подграф (15.3.1). По теореме 15.1.9 и теореме Перрона — Фробениуса 1.9.11 достаточно показать, что энтропия (15.3.1) равна наибольшему корню многочлена х — 2х — 1. Таким образом, мы должны вычислить характеристический многочлен марковской матрицы, ассоциированной с (15.3.1), т. е. нам нужна формула для нахождения наибольшего собственного значения (п х п)-матрицы [c.506]

Некоторые из этих примеров уже были исследованы довольно подробно. Например, для гиперболического автоморфизма двумерного тора, определенного матрицей мы установили топологическую транзитивность н плотность множества периодических точек, вычислили их количество (предложение 1.8.1), в п. 2.5 г построили марковское разбиение [c.532]

Марковская матрица имеет вид 1 О 1 I, так что энтропия является логарифмом [c.740]

Выразите стороны прямоугольников марковского разбиения через собственные значения н собственные векторы L. Используйте тот факт, что ненулевые собственные значения матрицы L и нашей марковской матрицы равны. [c.742]

Магнитные ловушки 110, J1I, 386. 490 Малые знаменатели см. Резонансные знаменатели Марковский процесс 318 Матрицы 207 — 209, 214 — 220. 296 [c.524]

Полумарковский процесс. В этом случае переходы процесса определяются поведением марковской цепи с матрицей переходных вероятностей р Ц, а перемены состояний осуществляются через случайные интервалы времени, распределение которых (t) зависит [c.162]

В обоих случаях вероятность состояния к началу /-го межпроверочного промежутка зависит только от состояния к началу предыдущего промежутка и не меняется от любых дополнительных сведений о состоянии технологической системы к началу всех промежутков, предшествоваших (/ — 1)-му. Таким образом, перед нами марковская цепь с матрицей перехода я , элементами которой являются в (5.11) или (5.12). [c.110]

Задача, которую нам предстоит решить с помощью схемы марковской цепи, в практическом плане выглядит следующим образом. Для вычисления вероятности брака и ожидаемых затрат на настройку необходимо знать, каким будет распределение а (u J входного отклонения после многочисленных повторений межпроверочных промежутков при условии, что настройки производятся только при нарушении границ регулирования, а исходная наладка выполнена в отдаленном прошлом. Ответ на этот вопрос легко получить, не прибегая к итерационному процессу (аналогично вычислениям в пп. 5.1, 5.3) или к статистическому моделированию (метод Монте-Карло), а воспользовавшись описанными ниже способами. В зависимости от особенностей матрицы перехода эти способы рассмотрены применительно к четырем случаям. Случай 1 описан ниже. Случаи 2 и 3 — в п. 5.5, а 4 — в п.5.6. [c.110]

А.П.Владзиевским в многими другими авторами принимается, что время между отказами агрегатов и время настройки их при отказах представляет собой случайную величину с экспотенциальным распределением. Это предположение позволяет рассматривать процесс работы линии, как процесс марковский, который описывается стохастической матрицей. [c.25]

Таким образом, в общем случае для того, чтобы полностью описать марковскую цепь с г возможными состояниями, необходимо задать некоторую стохастическую квадратную матрицу вероятностей переходов г-го порчдка и некоторый вероятностный г-,мерный вектор—начальное состояние цепи (если это начальное состояние детерминировано, то одна из компонент соответствующего вектора равна 1, а остальные равны 0). [c.256]

В теории марковских цепей с поглощеииед матрицу Т называют фундаментальной матрицей цепи. Определим компоненту фундаментальной матрицы Т. [c.256]

Резюмируем полученные результаты.. Пусть известна (лХл)-матрица Р вероятностей перехода, характеризующая марковскую цепь с поглощением образуем из матрицы Р (п—т)(п—т) матрицу Q вычеркиванием строк и ст.олбцов, отвечающих поглощающим состоя ия.м образуе.м из. матрицы Р (п—т)т. мапри-цу R вы.чвр ива.нием строк, отвечающих поглощающим состояниям, и столбцов, отвечающих непоглощающим состояниям. Образуем, наконец, еще фундамеиталь- [c.258]

Область О состоит из одних нулей, (п—т)(п— т) — матрица Q описывает переходы между непоглощающ пмц состояниями (п—т)т — матрица R характеризует переходы от непоглощающих к поглощающим состояниям тт — матрица S характеризует процесс после достижения поглощающего состояния. Согласно опредетению марковской цепи с поглощением >мы видим, что матрица 5 — это единичная матрица m-ro порядка. Таким образом, каноническая форма матрицы Р записывается в виде [c.259]

Переходя к кинетической теории плотных квантовых систем с сильным взаимодействием между частицами, мы должны иметь в виду, что динамику многочастичных корреляций и эволюцию одночастичной матрицы плотности теперь приходится описывать, по существу, на одной и той же шкале времени ). Если в начальном состоянии отсутствуют корреляции между частицами, то для восстановления всех долгоживущих корреляций требуется значительное время. Иначе говоря, квантовая кинетическая теория, основанная на граничном условии, которое вводится с помощью квазиравно-весного статистического оператора (4.1.32), будет существенно немарковскощ т. е. в кинетическом уравнении для одночастичной матрицы плотности важную роль будут играть эффекты памяти. Решать немарковские кинетические уравнения очень сложно. В большинстве задач эффекты памяти удается учесть только в первом приближении, т. е., фактически, для слабо неидеальных систем ). Поэтому кажется разумным попытаться сохранить марковский вид уравнений эволюции, расширив набор базисных динамических переменных. В контексте классической кинетической теории эта идея уже обсуждалась в разделе 3.3.4. Теперь мы хотим распространить ее на квантовые системы. [c.288]

Неравновесные корреляции, связанные с сохранением энергии. Мы уже говорили в разделах 3.3.4 и 4.3.3, что закон сохранения энергии в кинетической теории требует особого внимания, поскольку, с одной стороны, энергия является интегралом движения и поэтому должна быть включена в набор базисных динамических переменных, но, с другой стороны, среднее значение энергии зависит как от одночастичной, так и от двухчастичной функции распределения. Иначе говоря, баланс энергии определяется не только эволюцией одночастичной функции распределения, но и динамикой корреляций. Напомним, что учет корреляций, связанных с сохранением энергии, является, по существу, основной идеей кинетической теории Энскога для плотных и сильно взаимодействующих систем. На первый взгляд кажется, что для слабо неидеальных газов учет неравновесных корреляций не столь важен, во всяком случае, — в борновском приближении для интеграла столкновений. В марковском режиме эта точка зрения подтверждается нашим анализом, проведенным в разделе 4.3.4. Действительно, мы видели, что интеграл столкновений (4.3.58) совпадает с интегралом столкновений Улинга-Уленбека, если пренебречь вкладом корреляций в двухчастичную матрицу плотности. Как выяснится позже, в немарковском режиме ситуация меняется и корреляции, связанные с законом сохранения энергии, дают вклад в интеграл столкновений уже в борновском приближении. Более того, мы покажем, что именно учет корреляций обеспечивает существование равновесного решения немарковского кинетического уравнения ). [c.314]

Обратимся теперь к матрице функций памяти (5.3.30). Вообще говоря, для вычисления временных корреляционных функций, которые входят в выражения для ее элементов, необходимо задать в явной форме гамильтониан системы Я. Тем не менее, мы можем выяснить некоторые свойства уравнений (5.3.27) без явного вычисления корреляционных функций, если предположим, что эти функции затухают за микроскопическое время релаксации Гс, которое мало по сравнению с периодом изменения внешнего поля Т = 2тг/ш,т. е. если иотс С 1. Тогда в последнем члене уравнения (5.3.27) функции rria t — t ) и ha" t — t ) МОЖНО ВЗЯТЬ В момент времени t. Это соответствует марковскому приближению в теории магнитного резонанса [1,152]. Итак, в марковском приближении для проекций среднего магнитного момента получаем систему уравнений [c.378]

Теперь остается подставить выражение (9.1.45) для матрицы перехода в уравнение (9.1.35). Заметим, что при этом можно пренебречь эффектами запаздывания, поскольку производная функции распределения по времени имеет по крайней мере первый порядок по градиентам базисных перменных ). В результате несложных преобразований получаем марковское уравнение Фоккера-Планка [c.225]

Далее мы будем требовать, чтобы математическое ожидание квадратичного члена вида x (k)Qx(k), гдех(к)—марковский процесс с ковариационной матрицей X, было положительным, а X и Q были неотрицательно определенными матрицами. Воспользуемся [c.245]

При этом заметим, что прн решении уравнений Колмогорова для марковской модели эксплуатации изделия из матрицы интенсив-иостей переходов изделия из состояния в состояние можно найти отдельные показатели его надежностп. А это означает возможность установления связей этих показателей с характеристиками Р % и рО -О и тО [c.103]

Доказательство теоремы 4.1. Пусть — марковское разбиение на диаметр элементов которого ие превосходит 8, Л —матрица переходов для Я, а л — отобра- [c.76]

В марковском разбнелии = [Е],..., Ет) множества Et имеют непересекающиеся внутренности, их границы EiWniEi нигде не плотны и диаметр достаточно мал. Обсудим вкратце основные Иден конструкции. Прежде всего по S строится матрица переходов из нулей и единиц, в которой [c.217]

П = 0 при всех n Z. Поэтому если для двух марковских разбиений ITi иа iaj н 2 на fig совпадают матрицы переходов соответствующих марковских цепей и матрицы ин-цидеиций соответствующих прямоугольников, то динамические системы (Qbfi) н (Q2./2) топологически сопряжены, [c.227]

Так как имеется лишь счетное множество О — 1-матриц, топологическая энтропия топологических цепей Маркова может принимать только счетное множество значений, в то время как для тентообразного отображения согласно (15.2.6) может достигаться любое значение топологической энтропии. Таким образом, мы немедленно видим, что цепи Маркова не достаточны в качестве моделей для всевозможных отображений отрезка. Мы вернемся к этой теме в 15.5, но сначала покажем, что марковские модели достаточны для понимания того, как у отображений отрезка появляются периодические точки различных периодов. [c.502]

Пусть некоторые пары символов из А объявлены допустимыми . Всевоеможные последовательности для которых при всех t пары (xuxa+i) допустимы, образуют некоторое замкнутое подмножество i2 rQ , которое а-инвариантно, т. е. aQ = i. (Оно может оказаться пустым при неудачном выборе множества допустимых пар подразумевается, что последнее выбрано удачно , т. е. й ф0.) Это — важнейший пример замкнутого ст-инвариантного подмножества I2n. Динамическая система в 2, порожденная сдвигом a il, называется топологической марковской цепью. Множество допустимых пар можно задать с помощью матрицы В= Ьц), где Ьц=1, если пара (0 , aj) допустима, и Ьц=0 в противном случае. (Тогда можно писать Qg вместо 2. ) Можно также задать его с помощью ориентированного графа с п вершинами — обозначим их тоже через ai.....а , — в котором тогда и только тогда имеется ориентированное ребро (притом единственное), идущее из Ot в Oj, когда пара аи aj) допустима. Вершины графа отвечают состояниям квазислучайного процесса (приставка квази связана с тем, что в топологическом варианте у нас нет понятия вероятности) состоянию xj ДС соответствует бесконечный путь в графе, идущий по ребрам в положительном направлении— из Xi в Xi+i. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...