ТМЦ — топологическая марковская

В. И. Арнольда, Ю. Мозера, Я. Г. Синая и др. Именно в рамках этого круга идей возникли понятия полного перемешивания, теория Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM) о наличии интегральных торов у гамильтоновых динамических систем, понятия энтропии динамической системы и символическое описание ее движений, топологической марковской цепи, открывающие пути к статистическому описанию детерминированных динамических систем. [c.82]

Подкова Смейла и ее аналоги, с одной стороны, н введенное Я- Г. Синаем понятие марковского разбиения, с другой, вновь вызвали к жизни методы символической динамики. На сей раз обнаружилось, что эти методы являются эффективным средством анализа таких классических систем, как алгебраические автоморфизмы тора, нелинейные колебания и небесная механика. Можно надеяться, что в скором времени такие понятия, как символическая модель , топологическая марковская цепь и т. п., станут для изучающих конкретные системы столь же привычными, как инвариантный тор , разложение в ряд Фурье , показатели Ляпунова . [c.6]

Динамическая система (2 , сг) называется односторонней топологической марковской цепью. —Прим. перев. [c.19]

Это определение корректно, так как, 5,я(5) ==п а(5)) (именно такие отождествления мы делаем при построении пространства Л (а, /)). Мы хотим, чтобы символический поток был гиперболическим. Вообще говоря, это не так, поскольку (Л, а) не является топологической марковской цепью. Чтобы добиться этого, следует выбрать семейство специальным образом. [c.115]

Определение. Топологической марковской цепью с матрицей переходов А называется символическая динамическая система (Ел.а), где [c.205]

Теорема 4.1 (о спектральном разложении ТМЦ). Пусть (Ел, 0) — топологическая марковская цепь, k= 1,. .., s,— ее классы эквивалентных возвратных состояний, — матрица переходов, отвечающая классу Тогда [c.206]

Рассмотрим совокупность С = /р. .., / отрезков, лежащих в I, с попарно непересекающимся внутренностями. Отношение —+ задает ребра ориентированного графа — графа Маркова, ассоциированного с С, вершины которого — отрезки из С. Пусть А —О - 1-матрица, определенная этим графом (см. п. 1.9 в), и <Тд —односторонний топологический марковский сдвиг, определенный матрицей А. Мы будем говорить, что матрица А ассоциирована с совокупностью С. Следующий факт устанавливает кодирование на подковообразных компонентах для одномерных отображений. [c.493]

Допустим, что мы отмечаем не только сам факт изменения текущего состояния квазислучайного процесса — скажем, было а,-, стало aj, — но что этот переход из Ot в а, может происходить как бы несколькими способами, которые мы различаем. Такая ситуация описывается с помощью матрицы 8= bij), в которой bij равно числу различных способов перехода из а< в а ее (ситуацию и матрицу) можно отобразить также с помощью ориентированного (мульти) графа с вершинами Оь. .,, Оп, в котором из ai в aj ведет Ьц ребер. Состоянию ДС (которая по-прежнему называется топологической марковской цепью) по-прежнему соответствует бесконечный путь в графе, идущий по ориентированным ребрам отличие от предыдущего случая состоит в том, что теперь этот путь не определяется заданием одних только вершин х , проходимых при движении по этому пути, а надо указывать также и проходимые ребра. Чисто символическая формализация сказанного очевидна. [c.161]

По существу, здесь никакого обобщения нет. Действительно, от топологической марковской цепи в этом смысле можно [c.161]

Каждая рхр-матрица П = из нулей и единиц определяет замкнутое инвариантное подмножество С условием [а ] = ш П 7Га а +1 = 1 ДЛЯ всех п. Ограничение Г П называется топологической марковской цепью (т. м. ц.) с р состояниями и матрицей переходов П. [c.147]

Основное достоинство марковского разбиения состоит в том, что образ 1 )(Л) оказывается топологической марковской цепью (ТМЦ) (2А, а) с матрицей переходов Л = (а у), где [c.145]

Конечно, рассчитывать на то, что тр будет гомеоморфизмом (в этом случае и сдвиг а были бы топологически сопряжены), вообще говоря, ие приходится, хотя бы потому, что пространство последовательностей вполне несвязно, а в наиболее интересных случаях X — гладкое многообразие, Все же при удачном выборе прибора , т. е. множеств < , соответствие (1.2) может дать важную информацию о свойствах каскада /" . В частности, основные результаты данного сборника связаны с том, что для некоторого класса динамических систем удается выбрать множества Ей , Ет так, чтобы онн образовали марковское разбиение . В этом случае рассматриваемая динамическая система обладает свойствами, [c.197]

Необратимые отображения. Метод марковских разбиений может быть использован при изучении с топологической и метрической точек зрения некоторых динамических систем, формально не являющихся А-системами. [c.235]

Постройте марковское разбиение и опишите соответствующую топологическую цепь Маркова для автоморфизма, где 2 1 ) [c.99]

Более общий класс инвариантных мер для ЛГ-сдвига и топологических цепей Маркова — марковские меры. Пусть П = 7Г ( у о —такая [c.167]

Автор никак не называет динамическую систему (2д, а). Мы будем иногда использовать ее название, принятое з советской математической литературе,— топологическая марковская цепь (сокращеано ТМЩ —Прим. перев. [c.16]

В этой статье марковские разбиения используются для изучения минимальных множеств диффеоморфизмов, принадлежащих к некоторому классу, введенному Смейлом [9]. В [I] (или [15, ЗС]. — Ре5.) мы построили марковские разбиения базисных множеств 2 диффеоморфизмов f, удовлетворяющих аксиоме А (см. [9]), обобщив метод, примененный Синаем к диффеоморфизмам Аносова ([7], [8], [П]). При помощи этих разбиений удается представить f = f QsKaк факторсистему неприводимой топологической марковской цепи с конечным числом состояний [1, 4] (нли [15, теорема 3.18]. — Ред.) при этом отображение факторизации л эквивариантиым образом сопоставляет точкам некоторые последователь- ности символов. [c.92]

Для диффеоморфизмов все соответствующие гипотезы справедливы. Моделью в этом случае служит топологическая марковская цепь, которая устроена проще, чем гиперболический символический поток поэтому программа примеиеиня методов символической динамики осуществлена в большей степени для диффеоморфизмов (см. [3]. [4], [12] 2)), чем для потоков. [c.108]

Особый ннтерес для исследования динамических систем, обладаюш.их свойством гиперболичиостн, представляет специальный класс символических систем— топологические марковские цепи (сокращенно ТМЦ). С одной стороны, топологические и эргодические свойства ТМЦ легко выражаются в алгебраических терминах, что делает их удобным инструментом исследования, а с другой, многие понятия и явления, характерные для общих гиперболических систем, проявляются в ТМЦ в очень прозрачной форме, облегчающей понимание сути дела. [c.204]

Большая часть успехов символической динамики связана с тем, что а диаграмме (7.3) удается заменить (2 , а) топологической марковской цепью, а отображение я сделать гомеоморфизмом нли по крайней мере почти гомеоморфизмом (обратимым иа дополнении к тощему множеству первой категории). В этом случае различные свойства, описанные в п. 4, которыми обладает ТМ.Ц, переносятся иа систему (X,f), и тем самым мы получаем богатую информацию о ее топологических и эргодическнх свойствах. [c.217]

Заметим, что после сведения к топологически перемешивающему случаю мы использовали только свойство спецификации. Таким образом, мы показали, что для разделяющих отображений со свойством спецификации (определение 18.3.8) топологическая энтропия равна скорости роста числа периодических орбит. Полезно отметить, что, хотя локально максимальные гиперболические множества диффеоморфизмов представляют собой основной пример разделяющих отображений со свойством спецификации, существуют и другие важные классы таких преобразований. Отметим в этой связи транзитивные топологические марковские цепи, а также более общие классы символических систем типа софических систем (см. упражнение 20.1.2). [c.585]

Для N, meN постройте такую топологическую марковскую цепь <г из trjf, что р(<г) = = log N/m. С помощью этих чисел аппроксимируйте t и затем с помощью счетных объединений и компактификации получите нужную систему. [c.740]

Пусть некоторые пары символов из А объявлены допустимыми . Всевоеможные последовательности для которых при всех t пары (xuxa+i) допустимы, образуют некоторое замкнутое подмножество i2 rQ , которое а-инвариантно, т. е. aQ = i. (Оно может оказаться пустым при неудачном выборе множества допустимых пар подразумевается, что последнее выбрано удачно , т. е. й ф0.) Это — важнейший пример замкнутого ст-инвариантного подмножества I2n. Динамическая система в 2, порожденная сдвигом a il, называется топологической марковской цепью. Множество допустимых пар можно задать с помощью матрицы В= Ьц), где Ьц=1, если пара (0 , aj) допустима, и Ьц=0 в противном случае. (Тогда можно писать Qg вместо 2. ) Можно также задать его с помощью ориентированного графа с п вершинами — обозначим их тоже через ai.....а , — в котором тогда и только тогда имеется ориентированное ребро (притом единственное), идущее из Ot в Oj, когда пара аи aj) допустима. Вершины графа отвечают состояниям квазислучайного процесса (приставка квази связана с тем, что в топологическом варианте у нас нет понятия вероятности) состоянию xj ДС соответствует бесконечный путь в графе, идущий по ребрам в положительном направлении— из Xi в Xi+i. [c.161]

По аналогии с теорией вероятностей гомеоморфизм Г называется топологической марковской цепью (ТМЦ), а матрица П = (TTij) — матрицей допустимых переходов этой цепи. [c.58]

Нашей конечной целью является построение семейства решений уравнения (1), исследование которого можно проводить методами символической динамики. Поскольку, однако, в предыдущей части речь шла лишь об отображениях, первым нашим шагом должно быть построение секущей поверхности в смысле Пуанкаре и соответствующего отображения (функции последования) 5. При этом используются лишь самые общие свойства функции Я, сформулированные ниже как основные предположения . При выполнении еще и дополнительных предположений для отображения 5 удается построить инвариантное множество достаточно сложной структуры, на котором действие 3 изоморфно топологической марковской цепи . Переходя обратно от отображения 3 [c.73]

Топологические марковские цепи ( символическая динамика ). Почти во всех известных мне примерах квазислучайность динамической системы связана с существованием инвариантных марковских подмножеств. [c.147]

Теория систем Аносова, сохраняющих меру Лиувилля, изложена в монографии [4], представляющей собой первое систематическое и фундаментальное исследование в гиперболической теории. Общие результаты теории систем Аносова имеются также в книге [8] и обзорной статье [6]. Теория гиперболических множеств (топологические свойства, различные примеры) и связанные с ией пробл1емы (Л-оисгемьг и др.) освещены в иниге [86] (см. также [21], где приведено полное доказательство теоремы о семействах е-траек-торий). Символическая динамика для систем Аносова (марковские разбиения, равновесные состояния, меры с максимальной энтропией) построена к-[41] (см. также [40], [43]) обобщение на случай гиперболических множества осуществлено в серии работ Боуэна (см. [13]) некоторые дальнейшие обобщения имеются в [3] (там же дан краткий обзор по топологическим марковским цепям). Основы теории РЧГ-систем развиты в [14]. НПГ-снстемы введены в [31], где исследованы их локальные свойства и эргодические свойствас по отношению к мере Лиувилля (ом. также [70]). Обобщение на меры Синая дано в [75]. [c.227]

Общая теория динамических систем традиционно делится на две большие ветви — топологическую динамику и эргодическую теорию. Методы символической динамики работают и там, н там, ио в настоящем сборнике эргодическая часть все-таки преобладает. В первой статье читатель найдет построение марковского разбиения для ограничения диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, на множество не-блуждаюших точек и эргодическую теорию таких диффеоморфизмов. Существенное место здесь занимают термодинамический формализм , гиббсовские меры н вариационный принцип . Введенные Д. Рюэлем и Я- Г. Синаем по аналогии со статистической физикой эти понятия удачно вписались в традиционный для динамических систем круг. Это оживило эргодическую теорию гладких систем и уже принесло интересные результаты. Оказалось, например, что базисные множества диффеоморфизмов класса С , удовлетворяющих аксиоме А, имеют лебеговскую меру нуль. Замечательно, чю класс гладкости здесь нельзя понизить в пятой статье сборника описано построение толстой подковы Смейла , базисное множество которой имеет положительную лебеговскую меру. [c.6]

Один из возможных здесь путей — построение марковского разбиения. Сначала это сделали Адлер и Вейс [22] для автоморфизмов двумерного тора, затем Я. Г. Синай [15] для У-диффеоморфизмов (он же и ввел понятие марковского разбиения) и. наконец, Боуэи [Б1] —для ограничения А-диффеоморфизма на его базисные множества. В [Б1, 4] приведены эргодические, а в [Б2] — топологические следствия, вытекающие из существования марковского разбиения. В [Б3 и [Б4] аналогичная теория развивается дли потоков. Некоторые обобщения будут приведены далее во второй части этой статьи. [c.217]

Однако изучение дяпамической системы f Q с топологической точки зрения требует введения на границе dS более тонкой структуры. Такая структура вводится в [Б2] с помощью множеств J x), которые образуют нечто вроде стратификации базисного множества Q. В [20] показано, что страты 1 х) высших кратностей обладают такими же марковскими свойствами, что и исходные прямоугольники Е , и их можно рассматривать как состояния некоторой ТМЦ (2, о), для которой исходная ТМЦ (S,o), построенная по марковскому разбиению является подцепью. Из свойств ТМЦ (2,0) вытекает (см. [20]) следующее [c.226]

Предложение 11.1. Число топологически различных динамических систем, возникающих при факторизации (2, о) по отождествлениям на границе любого марковского разбиения Г, удовлетворяющего условию ard /г, конечно. [c.226]

П = 0 при всех n Z. Поэтому если для двух марковских разбиений ITi иа iaj н 2 на fig совпадают матрицы переходов соответствующих марковских цепей и матрицы ин-цидеиций соответствующих прямоугольников, то динамические системы (Qbfi) н (Q2./2) топологически сопряжены, [c.227]

Докажите, что не существует гомеоморфизма, удовлетворяющего (1.9.6), т. е. отображение 2 не является С°-эквивалентным или топологически сопряженным (см. определения 2.1.1 и 2.3.1 из следующей главы) какой бы то ни бьио марковской цепи. [c.69]

Естественно было бы назвать разбиение (Х ,..Х ), обеспечивающее полусопряжение топологической цепи Маркова с отображением /, взаимно однозначное на большом множестве, и определенное так, что отображение может быть описано некоторым марковским способом, марковским разбиением. Мы отложим детальное обсуждение и строгие определения до 15.1 и 18.7. Сейчас же опишем несколько конкретных ситуаций отличных от случая растягивающих отображений окружности, где марковское разбиение появляется вполне недвусмысленным образом. [c.93]

Покажите, что образ меры Лебега относительно полусопряжения гиперболического автоморфизма тора Р с топологической цепью Маркова Сд, задаваемой марковским разбиением из п. 2.5 г. — мера Цц. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...