Автоморфизм гиперболический

У-диффеоморфизмы и У-потоки (вместе У-системы) возникли как естественное обобщение алгебраических автоморфизмов тора и геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [Аи]. С другой стороны, подкова Смейла [17] и ее разнообразные обобщения [С] послужили стимулом для выделения более широкого класса динамических систем, обладающих гиперболическими свойствами, класса систем, удовлетворяющих так называемой аксиоме А Смейла, илн класса А-систем (диффеоморфизмов и потоков). [c.214]

Гиперболические автоморфизмы тора [c.56]

Гиперболические автоморфизмы тора представляют собой довольно естественный обратимый аналог растягивающих отображений Е . Они имеют весьма схожие свойства, и их анализ даст нам возможность испробовать некоторые важные методы, используемые в теории гиперболических динамических систем. [c.56]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ АВТОМОРФИЗМЫ ТОРА [c.57]

Конструкция примера из этого раздела может быть обобщена, например, так. Пусть L R R — некоторая целочисленная (гтг х т)-матрица с определителем + 1 или —1 и без собственных значений, по модулю равных единице, т. е. гиперболическая матрица. Тогда LZ = Z и отображение L обратимо на Z , так что L определяет обратимое отображение т-тора которое имеет свойства, очень сходные с рассмотренными ранее свойствами Fj . Мы будем называть такое отображение гиперболическим автоморфизмом тора. Если опустить ограничение на определитель L, возникающее в результате отображение все еще может рассматриваться как отображение тора, хотя и не обратимое. Такие отображения называются гиперболическими эндоморфизмами тора. Для m = 1 это просто растягивающие отображения окружности. [c.60]

Вычислите число Р (Н) периодических точек периода п произвольного гиперболического автоморфизма тора Я. Покажите, что для некоторого А >О существует т Р (Я)/А . [c.60]

Чтобы подчеркнуть различие между эквивалентностью и орбитальной эквивалентностью потоков, заметим, что в обоих случаях образ периодической орбиты потока есть периодическая орбита его образа. Однако даже из С -эквивалентности потоков следует, что период такой орбиты сохраняется, в то время как при орбитальной эквивалентности может произойти изменение этого периода. Например, типичная замена времени изменяет период данной орбиты, и такие изменения могут производиться независимо для различных орбит. Таким образом, периоды периодических орбит являются модулями даже для С -эквивалентности потоков, и в случаях типа надстройки гиперболического автоморфизма тора F имеется бесконечно много таких модулей. Взаимоотношения между этими модулями и модулями, соответствующими собственным значениям линеаризации этого отображения, далеко не тривиальны. [c.79]

Рассмотрим гиперболический автоморфизм тора из 1.8. Каждая периодическая орбита определяет единственную периодическую орбиту любого специального потока, построенного по Р . Выберем любое конечное семейство О ,.периодических орбит. Покажите, что для любых положительных действительных чисел существует такая положительная функция на класса С , что орбита специального потока на (Т ) , соответствующая О , имеет период а = 1,..., т. [c.80]

По-настоящему интересные и, возможно, несколько неожиданные примеры— растягивающие отображения из 1.7 и гиперболические автоморфизмы тора из 1.8. Эти отображения имеют сложную структуру орбит (см. предложения 1.7.2, 1.7.3, 1.8.1 и 1.8.4), и сохранение такой структуры при возмущениях, несомненно, показательно. В следующем параграфе мы перейдем к исследованию устойчивости этих примеров, а также некоторых взаимоотношений между ними и символическими системами. На самом деле мы сделаем даже больше, чем просто установим структурную устойчивость отображений Е -. мы покажем, что степень дает полную топологическую классификацию большого класса отображений, который включает С -возмущения Е . [c.83]

Устойчивость гиперболических автоморфизмов тора [c.99]

УСТОЙЧИВОСТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ АВТОМОРФИЗМОВ ТОРА 101 [c.101]

Теорема 2.6.3. Любой гиперболический линейный автоморфизм двумерного тора С -сильно структурно устойчив. [c.102]

Покажите, что доказательство С -структурной устойчивости гиперболических линейных автоморфизмов двумерного тора может быть проведено для любого гиперболического линейного автоморфизма пг-мерного тора, т 2. [c.102]

В этой главе мы видели, что несколько различных задач сводятся к решению линейного функционального уравнения специального вида. Так обстояло дело с уравнениями (2.2.6), (2.2.7) и с (2.2.8), когда мы изучали замены времени для потоков с уравнениями (2.6.4) и (2.6.5), возникшими при доказательстве топологической устойчивости гиперболических автоморфизмов тора (теорема 2.6.1, см. также доказательство предложения 2.6.2) и в линеаризованном уравнении (2.8.3) для сопрягающего отображения при использовании метода Ньютона. В случае дискретного времени все эти уравнения могут быть представлены в виде [c.111]

В заключение отметим, что для гиперболического автоморфизма тора Fj Т , Fi(i, у) = (2х -Ь у, i -ь у) (mod 1), мы имеем [c.119]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Легко видеть, что ни один из примеров в первой части нашего обзора (повороты окружности, сдвиги тора, линейные потоки на торе, вполне интегрируемые гамильтоновы системы и градиентные потоки) не является разделяющим. С другой стороны, оказывается, что все примеры из второй части (растягивающие отображения окружности, топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора) обладают этим свойством. [c.136]

Системы с различным асимптотическим поведением для различных начальных условий, неустойчивостью асимптотического поведения относительно начальных условий и высокой (экспоненциальной) степенью роста сложности глобальной структуры орбит, представляемой, например, экспоненциальным ростом числа периодических орбит и положительной топологической энтропией. В эту группу входят растягивающие отображения окружности ( 1.7), гиперболические автоморфизмы тора ( 1.8) и транзитивные топологические цепи Маркова, включая полный сдвиг ( 1.9). [c.156]

Теперь мы приведем другое доказательство строгой эргодичности сдвигов тора. Оно состоит из двух частей. Сначала с использованием соображений из анализа Фурье мы докажем эргодичность. Соображения такого рода весьма полезны при анализе многих динамических систем алгебраического происхождения, включая растягивающие отображения и гиперболические автоморфизмы тора. В случае сдвига доказательство эргодичности по существу содержится в нашем доказательстве топологической транзитивности (предложение 1.4.1). [c.157]

Предложение 4.2.12. Любой гиперболический автоморфизм дв мерного тора эргодичен и является перемешиванием относительно м ры Лебега. [c.164]

Неравенство h (F) log A вытекает также из вариационного принципа (теорема 4.5.3). Другой способ вычисления энтропии гиперболического автоморфизма тора содержится в упр. 4.4.6 и 4.4.7. [c.187]

Используя упражнения 4.4.2 и 4.4.7, строго сформулируйте и докажите утверждение периодические точки гиперболического автоморфизма тора Р равномерно распределены относительно меры Лебега . [c.188]

Весьма естественен вопрос об условиях единственности такой меры. Очевидно, можно брать объединение нескольких непересекающихся копий одной и той же разделяющей системы, которое представляет собой разделяющую систему, или объединение нескольких различных систем с одинаковой энтропией, и по второму утверждению предложения 3.1.7 и второму утверждению предложения 4.3.16 мера с максимальной энтропией тогда не будет единственной. Не помогает и добавление условия топологической транзитивности (упражнение 4.5.2). Однако, как мы увидим в 20.1, для большого естественного класса разделяющих динамических систем, который, в частности, включает все транзитивные топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора, подковы, растягивающие отображения и т д, инвариантная мера с максимальной энтропией единственна. [c.191]

Самый простой пример гиперболического множества — гиперболическая периодическая орбита. Гиперболический автоморфизм двумерного тора [c.269]

Вообще, любой гиперболический автоморфизм гг-мерного тора, определенный в конце 1.8, является диффеоморфизмом Аносова. В этом случае мы можем с помощью предложения 1.2.2 найти евклидову норму в К", в которой матрица L становится сжимающим отображением в пространстве E (L) и растягивающим в E L) (см. (1.2.4) и (1.2.5)), спроектировать риманову метрику, порожденную этой нормой, на Т" и рассмотреть инвариантное разложение в каждой точке на подпространства, параллельные Е+ Ь) и E L). Можно взять Л = г ( -( ,) + 5, м = г -Ь S [c.269]

Пусть Fj —линейный гиперболический автоморфизм. Покажите, что для [c.279]

Во-вторых, очень часто ситуации малых размерностей служат превосходными модельными случаями и наглядными пособиями для важных общих динамических явлений. Иногда мы сталкиваемся с этими явлениями в системах малой размерности в ясной форме, очищенной от технических осложнений (часто громоздких). Это дает возможность понять и показать сущность исследуемых явлений наиболее эффективным способом. В качестве примеров можно привести использование растягивающих отображений окружности, подков на плоскости и гиперболических автоморфизмов двумерных торов для демонстрации различных аспектов гиперболического поведения в динамике, которое мы начали исследовать систематически в гл. 6 и которое составляет тему части 4 этой книги. Другой пример — понятия степени и индекса, изучаемые в гл. 8. Степень отображения окружности, введенная в 2.4, и индекс неподвижной точки двумерного многообразия — это хорошие наглядные модели более сложного общего случая. [c.386]

В просто малоразмерной ситуации могут наблюдаться явления, характерные для общих динамических систем, например экспоненциальный рост числа периодических точек, положительность топологической энтропии (определение 3.1.3), нетривиальные гиперболические множества (определение 6.4.2) и присутствие большого количества инвариантных мер. Гладкие примеры из нашей второй группы, т. е. растягивающие отображения из 1.7, квадратичные отображения и двумерные подковы из 2.5 и гиперболические автоморфизмы двумерного тора ( 1.8) — представители этой категории. Имеются, однако, два различия между системами малых размерностей и ситуацией в динамике в целом. В первом случае некоторые сложные динамические явления появляются в упрощенной форме сравните, например, конструкцию марковского разбиения на параллелограммы для гиперболического автоморфизма двумерного тора, описанную в 2.5, с об- [c.388]

В случае когда ф --постоянная функция, является едннстоенной инвариантной мерой, максимизирующей энтропию (ф = 0 и ф имеют одно и то же равновесное состояние). Для гиперболического автоморфизма двумерного тора является мерой Хаара, а конструкция 4.1 принадлежит Адлеру и Вейсу [1], Эта статья играет важную роль в развитии предмета к хорошо читается. Еслн = ь С, мера t максимальной энтропией все же имеет следующий геометрический смысл периодические точки па Й равномерно распределены относительно [5]. К. Зигмунд [19] рассмотрел типичные свойства мер па i2j. [c.90]

Основной результат настоящей статьи состоит в том, что п сохраняет свойство минимальности и что все минимальные подмножества / нульмерны. Это, в частности, дает ответ на следующий вопрос Смейла [10] может ли гиперболический автоморфизм тора иметь одномерные минимальные множества Хирш [2] показал, что в этом примере пе может быть минимальных множеств коразмерности один. [c.92]

В некоторых случаях эта проблема решается с помощью естественных модулей, а именно периодов периодических орбит. Это верно, например, для спещ1альных потоков, соответствующих гиперболическому автоморфизму тора (см. п. 19.2 в). [c.79]

Вернемся к конструкции 1.7. В ходе доказательства предложения 1.7.2 мы в явном виде построили полусопряжение одностороннего 2-сдвига с отображением Е (см. (1.7.2)). Таким образом, Е2 является фактором сдвига. Эта конструкция, очевидно, обобщается на и Е для произвольного А , [А I > 1, и по теореме 2.4.6 мы можем заменить Е произвольным растягивающим отображением окружности степени к. Необратимость этого полусопряжения возникает из-за того, что любое двоично-рациональное число тп/2 имеет два различных двоичных представления, с нулями либо с единицами в конце. Полусопряжение к 5, сопоставляющее последовательности нулей и единиц ш число между О и 1, двоичное разложение которого задается последовательностью ш, очевидно, не является гомеоморфизмом это полусопряжение имеет счетное плотное множество точек, в которых оно перестает быть инъекцией. Это самый простой случай естественной полусопряженности между символической и гладкой системами. Другой, не столь самоочевидный случай, связанный с гиперболическими автоморфизмами двумерного тора, будет обсуждаться в следующем параграфе. [c.89]

Теорема 2.6.1. Любой гиперболический линейный автоморфизм F двумерного тора является фактором произвольного гомеоморфизма д, принадлежащего тому же гомотопическому классу. Полусопряжение определяется единственным образом и гомотопно тождественному отображению. Если гомеоморфизм д является -близким к то полусопряжение близко к тождественному отображению в -топологии. [c.100]

Метод кодирования, который мы впервые использовали в доказательстве топологической сопряженности произвольного растягивающего отображения окружности с линейным отображением той же степени (теорема 2.4.6). Мы применяли этот метод еще три раза в полулокальной ситуации в пп. 2.5 б, 2.5 в, при построении топологического сопряжения полного 2-сдвига с квадратичным отображением и отображением подковы на их инвариантных подмножествах и, наконец, в п. 2.5 г когда мы установили наличие полусопряженности топологической цепи Маркова с автоморфизмом тора. Этот метод очень эффективен в применениях к глобальным и полулокальным гиперболическим проблемам, т. е. к случаям, когда близлежащие орбиты расходятся с экспоненциальной скоростью, как это имеет место в упомянутых примерах (см. гл. 6, особенно определения 6.4.1 и 6.4.2). Одна из главных особенностей этого метода — его непосредственный характер. В частности, он не требует рассмотрения вспомогательного пространства кандидатов в сопряжения. С другой стороны, этот метод применим только к проблеме топологической (но не гладкой) сопряженности и полусопряженности. Метод особенно эффективен в ситуации малых размерностей, где он нередко работает без предположений гиперболичности (см. 14.5, 14.6, 15.4). [c.103]

Наконец, для гиперболического автоморфизма тора Р мы будем использовать тот же прием, что и в доказательствах топологической транзитивности (предложение 1.8.1) и отделенности периодических точек друг от друга (см. п. 3.2 д). А именно, если точки х,уеТ близки друг к другу, то имеет место одна из трех возможностей либо эти две точки находятся на одном и том же коротком отрезке растягивающейся прямой, либо на одном и том же коротком отрезке сжимающейся прямой, либо можно единственным образом указать минимальный прямоугольник, состоящий из отрезков сжимающихся и растягивающихся прямых, проходящих через х и у. В первых двух случаях ситуация очень похожа на то, что мы имели в случае растягивающих отображений. А именно, расстояние между положительными (соответственно отрицательными) итерациями точек х, у равно расстояний вдоль растягивающейся (соответственно сжимающейся) прямой и возрастет экспоненциально, до тех пор пока не превзойдет 1/(3 + у5) = 1/(2А). В по следнем случае можно использовать только что изложенное соображение заменяя у точкой г — пересечением неустойчивой прямой л с устойчивой прямой у — и используя неравенство треугольника. Расстояние между по ложительными итерациями жиг растет, пока оно не достигнет по крайне мере величины 1 /(2Л), в то время как расстояние между положительным итерациями г ч у равно расстоянию Шз1(2/, г) - Л"". [c.136]

Покажите, что образ меры Лебега относительно полусопряжения гиперболического автоморфизма тора Р с топологической цепью Маркова Сд, задаваемой марковским разбиением из п. 2.5 г. — мера Цц. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...