Метод начальных параметров и метод прогонки

Гл. 7 посвящена методу сил. Делается попытка формализовать всю последовательность операций. Первоначально получено общее решение уравнений равновесия узлов и элементов. Это приводит к необходимости построить алгоритм выбора базисных столбцов для прямоугольной матрицы, затем формируются уравнения метода сил. Приводятся примеры, иллюстрирующие предложенную процедуру расчета. В заключение рассматриваются вычислительные аспекты рассматриваемых методов. Излагаются метод начальных параметров и метод прогонки. [c.5]

МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ И МЕТОД ПРОГОНКИ [c.183]

Выше метод начальных параметров и метод прогонки были применены к уравнениям (7.54), куда входили матрицы податливости. Вместо (7.54) можно использовать уравнения с матрицами жесткости [c.187]

Метод расчета, описанный в п. 3.2 и основанный на определении T i, принято называть методом начальных параметров. Практика расчета по данному методу показывает, что в ряде случаев результаты расчета при больших значениях независимой переменной оказываются неверными. Это явление имеет место в тех случаях, когда однородные решения изменяются по экспоненте, и объясняется в литературе тем, что с ростом независимой переменной убывающие однородные решения практически исчезают и матрица б становится линейно зависимой. Для преодоления этого недостатка метода начальных параметров были разработаны различные приемы, которые принято объединять под термином методы прогонки [8, 15]. [c.61]

Попытаемся вскрыть более глубоко причины, вызывающие неустойчивость метода начальных параметров, и установить условия, при которых отпадает необходимость обращаться к методам прогонки. [c.61]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Описанная выше операция составляет так называемую прямую прогонку. Теперь необходимые для определения искомых 2 функций, образующих столбец 5(2), 2п условий все отнесены к концу промежутка [0, /] и, таким образом, двухточечная краевая задача сведена к задаче Коши. Однако для получения вектора 8(2) мы не будем решать задачу Коши, поскольку и при этом решении происходит потеря точности, имеющая ту же природу, что и потеря точности при использовании метода начальных параметров. [c.278]

При небольших числах волн по окружности fe краевые задачи для уравнений (5.95). и (6.96) можно решать методом начальных параметров. При больш их fe эти уравнения имеют быстро растущие решения и следует применять для расчета методы прогонки или ортогонализации (см. гл. И), При расчете на ЭВМ можно исполь-вовать (с заменой формульной части) приведенную в приложении программу. [c.277]

Следует отметить, что метод начальных параметров обладает некоторыми серьезными недостатками, которых лишен метод прогонки. Первый из этих недостатков заключается в том, что алгоритм метода не осуществим в описанном простейшем виде, если одна из матриц с,- исходной системы особая (или вообще равна нулю). Эта трудность может быть преодолена ценой некоторого усложнения алгоритма [50] и, таким образом, не является принципиальной, однако она все же ведет к существенному усложнению логики расчета. Указанная ситуация будет при расчетах динамики роторов методом начальных параметров обязательно иметь место каждый раз, когда у ротора имеются промежуточные жесткие опоры поэтому при расчете таких роторов метод прогонки представляется более простым. [c.94]

Однако в тех случаях, когда нет основания опасаться указанного явления, метод начальных параметров весьма удобен для программирования и может с успехом конкурировать с методом прогонки. [c.94]

Другим приёмом, позволяющим свести реальную систему к системе с конечным числом степеней свободы, является метод прямой дискредитации. Чем больше число элементов, на которые разбита система при использовании этого метода, тем ближе расчётная схема к исходной системе. Вместе с тем, если элементы выбраны однотипными, то даже при большом их числе оказывается возможным реализовать расчёт колебаний, используя матричные методы с применением ЭВМ. Примерами таких методов являются метод начальных параметров в форме матриц перехода и метод прогонки. [c.220]

Методы матричной прогонки и начальных параметров [c.89]

Численное решение уравнения (85) получаем при движении от уровня сетки t = 0. Значения температуры в узлах на этом уровне задается начальными условиями (88). Алгоритм расчета температурного поля шпинделя методом прогонки (рис. 89) включает задание параметров сетки разностной тепловой модели шпинделя длины I шпинделя, время 4 наблюдения, величин я h. Затем организуется внешний цикл по /С и внутренний цикл по t. При фиксированном К + 1 рассчитываются температуры по длине шпинделя при = А (/С + О- Сначала вычисляются все коэффициенты fl , f i, bi, по формулам (98), затем решается си- [c.137]

Краевая задача (6.12), (6.14) решается методом скалярной прогонки [18]. Найденные профили безразмерной функции тока /, скорости / и полной энтальпии g заносятся в предыдущие два сечения по s и затем находятся решения при новом значении s. Необходимо отметить, что небольшие погрешности в начальных профилях не влияют заметно на решение задачи после прохождения 5ч-10 шагов по координате s. Этот факт продемонстрирован на примере течения около пластины при числе Маха набегающего потока Моо = 3, Re Loo = Ю и 7 10 при различных начальных профилях для ламинарного и турбулентного режима течения в слое (рис. 6.2 и 6.3). Видно, что течение в пограничном слое быстро восстанавливается при увеличении координаты s. Поведение параметра g аналогично поведению функции тока /. [c.114]

О точности матричного метода расчета. Предлагаемая вычислительная процедура метода начальных параметров реализует вариант метода матричной прогонки, в котором как первая прогонка (вычисление коэффициентов Л , В ), так и вторая (вычисление неизвестных векторов Хо XJ) выполняются по рекуррентным формулам. Особенность данного варианта состоит в том, что независимо от числа элементов конструкции ре шается единственная система алгебраических уравнений четвертого порядка (4), а следующая за этим вторая прогонка выполняется не обратным ходом, а как и первая — прямым. Отсюда следует, что точность вычислений по формулам метода начальных параметров (1) — (3) с помощью разрешающего уравнения (4), сводя1цего краевую задачу для составной конструкции с заданными краевыми данными Z к задаче с начальными данными Xi, в значительной мере определяется точностью решения уравнения (4), дающего неизвестные краевые данные Z. Как будет показано ниже, выбор прямого хода для второй прогонки вызван тем, что при большой длине конструкции точность определения неизвестных краевых начальных данных (первые два элемента вектора Z) значительно выше точности определения неизвестных краевых данных на отдаленном краю (остальные два элемента вектора Z). [c.78]

Так же, как и П я непрерывном продолжении решения, рассмотрим сначала решение задата (3.2.6), (3.2.7) методом начальных параметров. Оно позволит выявить особенности, которые необходимо учесть при построении решения методом дискретной ортогональной прогонки. [c.88]

Один И подходов реализуется сочетанием метода начальных параметров, прогонок задач Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, с итера- [c.23]

Система уравнений в табл. 5.1 приведена в размерной форме. Для численного расчета нетрудно перейти к безразмерным переменным, введя соответствующие нормирующие множители. При этом может быть использован проетой прием введения линейного и еилового масштабов, рекомендованный в 16. Расчет, как правило, должен выполняться методом прогонки или методом ортогонализации (см. гл. 11), так как в связи с наличием быстро возрастающих решений метод начальных параметров оказывается обычно неприменимым. При использовании метода ортогонализации С. К. Годунова программа для расчета Л-го члена разложения отличается от приведенной в Приложении программы осесимметричной задачи только размерностью матриц. [c.265]

Структура этой системы уравнений аналогична квазитрехдиа-гональной, и к ней поэтому может быть применен как метод матричной прогонки, так и метод начальных параметров (первый из них в литературе по теории колебаний называется обычно методом динамических жесткостей). [c.102]

Исследовать данную математическую модель, т. е. получить решение дифференциального уравнения (1.1) прн заданных граничных условиях можно с помощью обобщенного метода начальных парамефов, метода Ритца, метода сеток, метода коллокацнй, метода конечных элементов и т. д. Выбор метода нсследования математической модели может существенно сказаться на устойчивости алгоритма — чувствительности результата решения к неизбежным погрешностям числовых операций. Например, прн расчете достаточно длинной балки, лежащей на упругом основании, использование метода начальных параметров может привести к числовой неустойчивости и большим погрешностям результатов. В то же время использование метода прогонки приводит к устойчивому числовому алгоритму. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...