ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод прогонки из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 " Значит по принципу Вольтерра напряжения в упругой и наследственно-упругой балках с одинаковой геометрией и внешней статикой будут одинаковыми. [c.273] Эту краевую задачу можно сформулировать в других терминах, перейдя от одного дифференциального уравнения порядка 2п к системе порядка 2п, состоящей из 2п дифференциальных уравнений, каждое из которых, будучи первого порядка, разрешено относительно производной от одной из искомых функций. Такая форма системы называется нормальной формой Коши. Разумеется,, что при указанном переходе подвергаются соответствующей модификации и граничные условия (12.202). Выполняется это следующим образом. [c.274] Сопоставляя (12.208) с (12.206) и (12.209) с (12.207), легко понять, что понимается под символами 8, А, ё. В, Ь, С, с. [c.275] При 2 = 0 условие (12.215) должно совпадать с (12.213), откуда следует, что Ь(0)=Хо и г(0) = Го. [c.276] Матрицы Ь (г) и г (2) подлежат отысканию. Их найдем из условия, что 8 (2) удовлетворяет (12.215), а 8 6(2) удовлетворяют однородному условию, соответствующему (12.215) (т. ё. условию (12.215) при г(г) О). [c.276] Так как матрица Ь (г) л-го порядка, уравнение (12.219) эквивалентно системе п ди( )ференциальных нелинейных уравнений, каждое из которых первого порядка и разрешено относительно производной от искомой функции. Эта система уравнений может быть решена при помощи того или иного численного метода. В приведенном ниже примере использован предложенный нами метод итераций. [c.277] Таким образом, выполнено выдвинутое выше требование переведения ( прогонки ) граничного условия (12.211)1 с конца г = 0 промежутка [0, /] к концу I. Отсюда и название метода метод прогонки). [c.278] Описанная выше операция составляет так называемую прямую прогонку. Теперь необходимые для определения искомых 2 функций, образующих столбец 5(2), 2п условий все отнесены к концу промежутка [0, /] и, таким образом, двухточечная краевая задача сведена к задаче Коши. Однако для получения вектора 8(2) мы не будем решать задачу Коши, поскольку и при этом решении происходит потеря точности, имеющая ту же природу, что и потеря точности при использовании метода начальных параметров. [c.278] И уравнение относительно 82, с учетом (12.215), приобретает вид. [c.279] В нулевом приближении принимаем й ( ) = й ( ) = о 22 ( ) — 0. [c.281] Результаты вычислений приведены в табл. 12.11. Итерация прекращена при получении в соседних приближениях Li щести одинаковых значащих цифр в десятичной системе. Такой результат достигнут после двадцати итераций при разбиении промежутка интегрирования на тридцать равных частей. В табл. 12.11 приведены значения L j (г) через 1/10 промежутка интегрирования. [c.281] В нулевом приближении принимаем У ( (2)=0. Результаты вычислений приведены в табл. 12.12. Итерация прекращена при получении в соседних при- влижениях У 1 шести одинаковых значащих цифр в десятичной системе. Такой результат доетигнут после тринадцати итераций при разбиении промежутка интегрирования на тридцать равных частей. В табл. 12.12 значения У приведены через 1/10 промежутка интегрирования. [c.282] После отыскания (г) и Я (г) из (12.228) и (12.223) находим столбец (У) О (У) УИ (У) (2 (У) . [c.282] Переходим к обратной прогонке, для чего интегрируем уравнение (12.224).. в промежутке [О, 1 от г = 1 к 2=0. [c.283] Результаты вычислений помещены в табл. 12.13. [c.284] В нулевом приближении принимаем Q(z) = Q(i) Итерация прекращена яри получении в соседних приближениях () и М семи одинаковых значащих цифр в десятичной системе. Число итераций в программе было принято априорно равным 41, что в четыре раза превысило количество необходимых итераций для получения указанной выше точности. [c.284] После выполнения указанных в (12.241) операций получаем значения п (г) и (2), приведенные в табл. 12.14. [c.284] Приведенная выше информация для функций Q я М о точности, дости-гаемой в итерационном процессе, и о числе итераций относится и к функциям и и О. Как и при вычислении у и при отыскании значений функций Q, Л4, I/ и 0 промеж, ток интегрирования разбивался на тридцать равных частей. В табл. 12.13 и 12.14 даны результаты для аргументов, взятых через 1/10 промежутка интегрирования. [c.284] Вернуться к основной статье