Граничные условия для метода прогонки

Абрамов А. А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки). — Журнал вычислительной математики и математической физики , 1961, т. 1, Ne 3, с. 542—545. [c.485]

Таким образом, имеем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными Ti.s+i, Tz.k+i, Ta.h+i и Ti,h+i. Для определения температурного поля в рассматриваемом простейшем случае необходимо решить эту систему уравнений. С уменьшением шага интегрирования по координате, а также в случае плоских или пространственных температурных полей число уравнений в системе (2-136) возрастает настолько, что для ее решения необходимы соответствующие приемы (например, метод разностной факторизации — прогонки ). В общем случае порядок системы равен числу узлов сетки, в которых аппроксимируется данное дифференциальное уравнение и граничные условия, за исключением граничных условий первого рода. При сравнительно небольшом числе узлов (10—15) используются, как правило, прямые методы решения. В более сложных случаях система уравнений решается только каким-либо методом итераций (Л. 52]. [c.105]

Коэффициенты osg, Ра. з. Рз и t. Д. наХодят последовательно по формулам (3.56). Особенность расчета методом прогонки состоит в том, что при определении коэффициентов при прямом ходе (рис. 3.3) необходимо их запоминать ., чтобы впоследствии по формуле (3.53) найти значение wi- Для граничного условия на правом конце = О при [c.80]

Разрешающая система уравнений для конструкции, состоящей из Л/оболочек, составляется из Л/систем(II. 19). К граничным условиям на торцах конструкции присоединяется N — 1 условие сопряжения оболочек (11.23). Сформулированная нелинейная краевая задача может быть сведена к системе нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений и к задаче Коши для начального вектора. Однако в силу жесткости задачи Коши подобный алгоритм решения нелинейных задач неустойчив. Более эффективно применение итерационного процесса, на каждом шаге которого решается линейная краевая задача в сочетании с устойчивым численным методом прогонки [30, 90, 134, 1861. В практике решения [c.36]

Определив узловые перемещения конструкции, вычисляем перемещения W5 и W торцов каждого оболочечного элемента. Далее методом ортогональной прогонки решаем краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9.1) с граничными условиями [c.145]

Для решения полученной системы используем метод прогонки. Представим левое граничное условие в виде [c.286]

Как уже отмечалось метод Абрамова эффективен при решении задач устойчивости и колебаний, при которых главной целью является обычно определение собственных чисел (критических нагрузок, частот собственных колебаний). В этом случае дифференциальные уравнения и граничные условия являются однородными и вектор г тождественно равен нулю. Для определения собственных значений достаточно выполнить лишь прямую прогонку по формуле (77). После этого проверяется одновременное выполнение т условий Н (О у (/) = О и п — т) граничных условий при X = I. Равенство нулю определителя соответствующей системы уравнений свидетельствует о том, что расчет проведен при критическом значении параметра. [c.36]

Для решения дифференциального уравнения (7) применим метод прогонки, который позволяет при решении краевых задач граничные условия на одном конце интервала перевести к другому его концу. [c.9]

Уравнение (9. 13) решалось численно методом прогонки [21] для трех значений а (2.000, 1.335, 1.175) и четырех значений числа Пекле (Ре=50,100, 300, 500). Решение проводилось при следующих граничных условиях [c.136]

Изложены алгоритмы определения частот и форм колебаний для упругих оболочек и оболочечных конструкций, основанные на двух методах методе ортогональной прогонки и методе конечных разностей. С помощью разработанных алгоритмов проведено систематическое исследование ряда конкретных задач об определении частот для оболочек вращения. В большинстве рассмотренных задач детально исследованы влияния граничных условий, основного напряженного состояния оболочек, момент-ности этого состояния н ряда других факторов. [c.7]

Таким образом, градиенты функции ф при у и ум связаны через решение задачи для вихря (г/) и их нельзя задавать независимо в качестве граничных условий. Если градиент д /ду у удовлетворяет равенству (А.28), то формула (А.24) приводит к неопределенности W = 0/0. Такая неопределенность приводит к невозможности проводить вычисления методом прогонки, но [c.512]

Процесс решения методом прогонки состоит из двух этапов прямой и обратной прогонки. Сначала вьшолняется прямая прогонка, в процессе которой граничные условия переносятся на узел со следующим номером. Для произвольного узла / возьмем граничных условия и г аппроксимационных уравнений [c.336]

Эта конечно-разностная схема соответствует методу переменных направлений и благодаря поочередной аппроксимации вторых производных явным и неявным способами приводит к возможности использования эффективного метода разностной факторизации (прогонки) для решения системы двухмерных конечно-разностных уравнений. Разностные уравнения для граничных узлов сетки составляются путем использования условий теплового баланса. [c.265]

Система (5.42) решаемся методом аналогичным изложенному в предыдущем параграфе. Для аппроксимации производных используют формулы (5.38) — (5.40), а на крайнем луче — формулу (5.41). Отличие состоит в том, что вектор Z содержит теперь четыре компоненты и в верхних граничных узлах лучей т) = onst используется не условие непротекания, а условие Гюгонио на ударной волне. Систему линейных уравнений решают методом прогонки. [c.144]

Разностные уравнения (5.27) — (5.31) связывают значения сеточной функции в двух соседних сечениях по оси z с номерами (т —1) и т. При известных значениях Un,m-i ( . Л г) эти уравнения образуют систему N уравнений относительно значений сеточной функции в сечении z z - Система уравнений имеет трехдиагональную матрицу и может быть решена методом прогонки, которая проводится поперек трубы . Таким образом, построенная разностная схема аналогична неявной схеме для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, с тем отли-чием, что роль временных слоев играют поперечные сечения 2 . В первом сечении (т = 1) температуры задаются граничным условием (5.32), а далее последовательно для каждого сечения решается методом прогонки система разностных уравнений (5.27)—(5.31) относительно неизвестных (п = 1,. .., Nr) и определяются тем- [c.165]

Задачи температурных режимов элементов конструкций. Этот класс задач объединяет стационарные и нестационарные, плоские и пространственные задачи распространения теплоты в твердых телах при наличии фильтрации при существовании фронтов реакций, источников и стоков теплоты и массы при произвольных граничных условиях на поверхности. Наиболее широко для решения задач данного класса используется метод конечных разностей в сочетании с методом прогонки и методом расщепления [44, 1051. Подробно эти методы рассмотрены выше. Существующие аналитические решения стационарных и нестационарных задач данного класса охватывают только канонические формы (пластина, цилиндр, шар). Нестационарные решения таких задач содержат ряды с использованием тригонометрических функций, функций Бесселя, Грина и др. Такая форма представления решений для определения численных значеннй температурного поля требует использова1н, я [c.188]

При решении контактной задачи в качестве исходного приближения выбирается решение линейной бесконтактной задачи. Эффективность подобного подхода при решении контактных задач нелинейной теории оболочек продемонстрирована в работах [121,127, 1291. Линейные краевые задачи решаются методом ортогональной прогонки С. К. Годунова. Коэффициенты матрицы [С] и вектора [D] (11.27) получаем численным интегрированием по формулам Ньютона — Котеса четвертого порядка. Уравнения (11.24) — (11.29), дополненные граничными условиями (П. 12) и условиями сопряжения (11.23), полностью определяют НДС осесимметрично нагруженной конструкции из оболочек вращения на п-т приближении итерационного процесса. Если необходимо получить ряд решений при пошаговом изменении нагрузки q, то начальное приближение для находим экстраполяцией по решениям для. ... .. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда модуль максимального относительного расхождения компонент yt вектора решения Y для каждой точки ортогона-лизации меньше наперед заданного значения [c.39]

Метод прогонки. Этот метод применяется не к интегральному, а к дифференциальному уравнению переноса. Значительная трудность при его решении создается тем обстоятельством, что задаются не начальные, а граничные условия, так что надо решать не задачу Коши, а краевую задачу, что всегда сложнее. После дискретизации дифференциального уравнения по глубине, углам и частотам получающееся разностное уравнение решается сначала от верхней границы в сторону возрастающих глубин, а затем обратным ходом. Однако в первом случае не известна интенсивность излучения, идущего вверх, а во втором — вниз. Поэтому при прямом проходе находится решение не с определенным граничным значением интенсивности выходящего излучения, а рассчитываются обратные матрицы на случай как бы произвольных ее значений, причем заданных для всех значений углов. Затем решение выбирается так, чтобы удовлетворить условию на нижней границе [45]. После этого вычисляется интенсивность восходящего излучения. В теории переноса такая процедура, которая применяется для расчета как рассеяния в линии, так и при монохроматическом рассеянии, носит название метода Фотрие. [c.201]

Основной недостаток метода матричной прогонки связан с необходимостью на каждом шаге расчета прогоночных матриц (6.8) обращать матрицу [ —ЛгС ], что в общем случае приводит к очень большому объему вычислений. В данной задаче, учитывая специфику матрицы [Сг—Л С ] —матрицы третьего порядка (из девяти коэ ициентов четыре равны нулю), удается преодолеть этот недостаток, записывая коэ( х )ициенты обратных матриц в явном виде. Для начала расчета по формулам (6.8) необходимо знать коэффициенты матриц Ох и С 1, которые определяются из граничных условий при Я = Яв- Начиная вычисления по формуле (6.9), необходимо знать WfJ. Коэффициенты определяются из граничных условий при Я = Яе, которые в общем случае могут быть записаны как [c.209]

Эймс [1969, с. 147] указал, что при Ах = Аг/->0 число итераций, необходимое для сходимости решения при расчетах по методу полинейной последовательной верхней релаксации, ъ J2 раз меньше, чем при использовании метода поточечной последовательной верхней релаксации. Однако здесь на выполнение каждой итерации требуется больше времени, так как для решения используется неявный метод (прогонка). В численных экспериментах, выполненных Бао и Догерти [1969], был достигнут небольшой выигрыш в скорости вычислений по методу полинейной последовательной верхней релаксации, не окупавший дополнительных трудностей, связанных с методом прогонки. Дорр [1969] получил оценки для величины шо в случае применения метода полинейной последовательной верхней релаксации для решения уравнения Пуассона с граничными условиями Неймана. [c.186]

Решение разностных уравнений. Естественным методом решения разностных уравнений является прогонка, которая дпя хорошо обусловленной системы является устойчивой. Ввиду того что l<7i I < 1, а 1<7г1 > О, на каждом конце рассматриваемого интервала [xq, x j] должны быть сформулированы граничные условия. Эти условия являются обычными условиями для трехточечпых неявных схем и определяются спецификой [c.25]

При решении разностных уравнений с граничными условиями = 1, = 0 (граница х - Nh выбиралась достаточно далеко от начала координат) использовались все перечисленные выше методы трехточечная прогонка для линеаризованной системы, бегущий счет при обращении двухдиагональных матриц, решение нелинейных (квадратных) уравнений в каждом узле. Во всех случаях применялись итерации для получения с заданной точностью малых невязок нелинейных уравнений при [c.34]

Для решения этой системы используется метод прогонки, алгоритм которой построен таким образом, что граничные условия лереносятся с узла / на узел / +1. [c.336]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...