Потенциальная энергия в нормальных координатах

Подставляя выражения кинетической и потенциальной энергий в нормальных координатах, а также силы Pk t) в дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода, найдем [c.266]

В заключение заметим, что кинетическая и потенциальная энергии в нормальных координатах имеют вид [c.494]

Кинетическая энергия точки ( изгиба, кручения, сжатия, сдвига, растяжения, пластической деформации, относительного движения, твёрдого тела...). Кинетическая энергия в нормальных координатах ( в обобщённых координатах...). Энергия в конце удара. Потенциальная энергия поля силы тяжести ( поля центральных сил, пружины..,). [c.29]

В этом разложении колебательного процесса, совершаемого системой, на ряд простых гармонических колебаний и заключается, в применении к нашей задаче, физический смысл приведения кинетической и потенциальной энергии к нормальным координатам. [c.121]

Особенностью уравнений движения, записанных в нормальных координатах, является отсутствие членов, описывающих связи между системами. Соответственно в выражениях для потенциальной и кинетической энергий, записанных в нормальных координатах, отсутствуют члены с произведениями координат. [c.242]

Координаты Yy, в которых кинетическая энергия системы выражается в виде суммы квадратов обобщенных скоростей, а потенциальная энергия — в виде канонической квадратичной формы обобщенных координат, Называются нормальными координатами. Матрица v преобразования (5.29) является частным случаем модальной матрицы г, а нормальные координаты — частным видом главных координат. [c.159]

В нормальных координатах квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий приводятся к сумме квадратов [c.61]

Следовательно, в том случае, когда мы знаем выражение для живой силы и для потенциальной энергии выбранной нами системы в нормальных координатах, различные типы колебаний и соответствующие им периоды получить нетрудно. Если теперь в выбранной нами системе произвести малые изменения, то Фх, Фа, вообще говоря, не будут уже представлять собой системы нормальных координат, и, следовательно, в выражения для живой силы и для потенциальной энергии кроме квадратов координат и соответствующих им скоростей войдут еще и произведения их, а также могут появиться и новые координаты. При малых изменениях системы коэффициенты при новых членах будут также малыми, и на этом допущении основано определение периодов колебаний, соответствующих измененной системе. [c.26]

Это может быть доказано, если выполнить интегрирование и принять во внимание уравнение (9). Можно построить доказательство также иа том, что потенциальная энергия системы, выраженная в нормальных координатах, не должна заключать членов с произведением координат. [c.153]

Если прогиб стержня или пластинки выражен в нормальных координатах, то потенциальная энергия V представится однородной функцией второй степени, заключающей лишь квадраты координат. Пусть ф1, фг,. . . обозначают нормальные координаты. При заданных внешних силах величины Фь фг,. . . могут быть найдены из того условия, что производная от потенциальной энергии по какой-л ибо координате ф дает значение соответствующей обобщенной силы Ф . Таким образом, получаем систему уравнений вида [c.180]

Как и в молекуле, где ядра не успевают сместиться из положения равновесия во время электронного перехода (принцип Франка — Кондона), в кристаллической решетке ионы во время электронного перехода также не успевают сместиться из положения равновесия. В случае изолированной молекулы этот факт быстрого перехода электрона означает, что должна учитываться также энергия колебания системы, зависящая от взаимного положения потенциальных кривых в конфигурационных координатах нормального и возбужденного состояний молекулы. В ионном кристалле фотоэлектрон связан не с одним только узлом, а со всей решеткой в целом. Поэтому на электронный переход реагируют не только непосредственно участвующие партнеры, как в случае молекулы, но все узлы решетки выводятся из электростатического равновесия, в котором находились до электронного перехода. В связи с этим энергия поглощенного кванта затрачивается не только на первичный электронный переход, но и на последующие вслед за переходом вторичные явления, связанные с переходом решетки в новое равновесное состояние. [c.121]

Поступательная энергия 532 Потенциальная поверхность 219, 220 движение центра тяжести 220 Потенциальная функция из наблюденных значений колебательных частот 159 (глава И, 46) наиболее общая квадратичная форма 167, 202, 219, 246 неизменность для изотопических молекул 178, 246 Потенциальная энергия в валентно-силовых координатах 186, 193 в координатах симметрии 166 в нормальных координатах 86, 107, 222, 403 [c.620]

Нормальные координаты обладают еще одним важным свойством квадратичные формы (43.4), (43.6) для потенциальной и кинетической энергии системы в нормальных координатах приводятся к каноническому виду, т. е. к суммам квадратов новых обобщенных координат 0а и скоростей 0 . Но прежде чем обратиться к доказательству этого утверждения, покажем, что имеют место следующие равенства [c.241]

В нормальных координатах д , нормированных как указано выше, потенциальная энергия равна V22 rЗг Отсюда следует, [c.564]

Очень упрощаются выражения кинетической и потенциальной энергий в том случае, когда система отнесена к ее нормальным координатам. В самом деле, положим, что в координатах р , Р2, [c.458]

Рассмотрим систему, лишенную потенциальной энергии, в ко торой координату 4 г заставляют изменяться, действуя гармонической силой пропорциональной Другие координаты могут быть выбраны произвольно в частности, удобно выбрать их так, чтобы их произведения не входили в выражения Т и Г. Эти координаты действительно были бы нормальными координатами системы, если предположить, что принуждена (с помощью подходящей силы ее же собственного типа) оставаться равной нулю. Выражения Т п Р принимают, таким образом, следующую форму [c.181]

Переход к нормальным координатам можно рассматривать и осуществлять как преобразование координат, дающее кинетическую и потенциальную энергии в виде формул (26.11). Этот путь и реализуется на практике. [c.225]

Координаты в которых кинетическая и потенциальная энергии выражаются суммами квадратов, называются нормальными координатами системы. В нормальных координатах уравнения малых колебаний приобретают особенно простую форму. В самом деле, подставив выражения Г и П в уравнения Лагранж получим [c.120]

Координаты 9 (/= ,..., ) также представляют собой обобщенные координаты системы. Обобщенные координаты Qj,. .., 0 , в которых кинетическая и потенциальная энергии имеют вид (46) и (47), называются главными (или нормальными) координатами системы. В силу указанной выше теоремы линейной алгебры для [c.237]

Рассмотрим особую систему обобщенных координат, в которой кинетическая и потенциальная энергии системы аналитически выражаются положительно определенными квадратичными формами, приведенными к каноническому виду. Такие координаты называются нормальными, или главными. Напомним, что в аналитическом выражении, которым определяется квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, нет членов с произведениями переменных. В этом случае положительно определенная квадратичная форма является суммой квадратов. [c.242]

В системе нормальных координат ви кинетическая и потенциальная энергии определяются равенствами [c.265]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Пример 5.2А. Простой маятник. Тяжелая точка движется без трения по окружности радиуса а в вертикальной плоскости. Система голономна с одной степенью свободы. В качестве лагранжевой координаты возьмем угол 0, отсчитываемый от наинизшей точки окружности. Заданной силой здесь является вес частицы, а реакцией связи — нормальная реакция проволоки (если представить, что бусинка скользит по гладкой проволоке) или натяжение стержня (если считать, что частица закреплена на конце невесомого стержня, другой конец которого шарнирно закреплен в неподвижной точке). Потенциальная энергия равна mgz, где z — высота частицы относительно центра окружности. Уравнение энергии имеет вид [c.61]

Мы видим, что потенциальная энергия квадратична по Qj, так что можно применить теорию малых колебаний, развитую в первом параграфе этой главы. Можно воспользоваться известными методами из теории определителей для определения собственных значений и, следовательно, нормальных координат. Однако более удобно воспользоваться тем обстоятельством, что следует ожидать нормальные колебания с длинами волн, начиная от периода решетки до удвоенной длин кристалла. Исходя из этих соображений, мы введем совокупность координат, определенных следующим образом [c.89]

Если система окружена абсолютно проводящей оболочкой — совершенно замкнутой — то в ней могут происходить свободные незатухающие колебания, так как согласно нашему допущению нет никаких внутренних сопротивлений. Теория этих колебаний имеет обычный вид. Вводя нормальные координаты системы r/i, [c.134]

Распределение Больцмана позволяет найти плотность вероятности для любой обобщенной координаты и любого обобщенного импульса. Особенно просто выглядят эти распределения, если ввести так называемые нормальные координаты, в которых, как известно (см,, например, [6]), квадратичные формулы для кинетической и потенциальной энергий приводятся одновременно к диагональному виду [c.213]

Как известно, после перехода к нормальным координатам энергия системы взаимодействующих частиц представляется в виде суммы несвязанных слагаемых, относящихся к разным нормальным колебаниям (при условии, что в разложении потенциальной энергии взаимодействия частиц мы ограничиваемся квадратичными относительно смещений членами). [c.256]

Пользуясь нормальными координатами, мы без особых затруднений можем получить уравнение изогнутой оси в том случае, когда опертый по концам стержень по всей длине своей лежит на упругом основании. К подобной задаче приходим мы, когда приходится рассчитывать балку, лежащую на ряде равноудаленных поперечных балок. Обозначим через р коэффициент, характеризующий жесткость основания, тогда y-dx будет реакция упругого основания, приходящаяся на элемент dx балки. Оставляя для большей общности продольную силу Т, получим для потенциальной энергии системы такое выражение [c.191]

Здесь г, z — цилиндрические координаты в предварительно деформированной среде, и, W — компоненты вектора перемещений соответственно в радиальном и вертикальном направлениях, q — добавочное нормальное напряжение в горизонтальных сечениях цилиндра, П = — И е, е2, з) — функция удельной потенциальной энергии деформации, определяющая упругие свойства материала. В рассматриваемом случае = 2 = , 3 = где (е - 1) — относительное удлинение горизонтальных волокон в начальном деформированном состоянии. [c.80]

При этом Bbipaxierine потенциальной энергии приобретет каноническую ( )орму. Предположим, что потенциальная энергия в нормальных координатах имеет следующий вид [c.247]

Согласно (6.1.25) матрицы (Н АН) и (Н СН) являются диaгQнaJ ьными. Следовательно, выражения кинетической и потенциальной энергией в нормальных координатах не содержат произведений различных обобщенных скоростей и координат. [c.323]

Равенства (И. 190) можно рассматривать как формулы линейного преобразования координат У]. Функции 0д рассматриваются при этом как новые обобиценные координаты. Покажем, что новые координаты являются нормальными. Для этого нам придется рассмотреть выражения кинетической и потенциальной энергий в новых координатах. [c.243]

Таким образом, выражение для энергии в нормальных координатах не содержит перекрестных квадратичных членов, но в пего входят перекрестные члены третьей п четвертой степени, и, следовательно, оно уже не янлнется суммой энергий независимых (хотя бы и ангармонических) осцилляторов. При отсутствии у молеку.ты симметрии все коэфициенты и отличны от ну,тя п симметричной молекуле некоторые из пих могут быть равны пулю. Последнее обусловлено тем, что потенциальная энергия не должна изменяться при любых операциях симметрии, соответствующих точечной группе молекулы. По этой причине антисимметричные нормальные координаты в (2,263) могут встречаться только в четных степенях. Так, например, в молекуле Н 0 коэфициенты а,] , а , а,., и ag.,, при кубических членах должны равняться пулю, так как в противном случае происходило бы изменение потенциальной энергии при отражении в плоскости симметрии. Аналогичные условия имеют место и для некоторых коэфициентов при членах в четвертой степени. Дальнейшее упрощение ангармонической части потенциальной функции можно получить только в том случае, если сделать некоторые предположения, соответствующие предположениям о системе валентных сил при гармонических колебаниях (см. Редлих [727]). [c.223]

Случай кратных корней уравнения частот при исследовании движения системы с двумя степеЕшми свободы отличается тем, что при приведении выражения кинетической энергии к каноническому виду (е) оказывается, что и выражение потенциальной энергии П приобретает каноническую форму и переход от системы координат Xi к 0,- становится лишним. При этом существует бесконечное множество систем нормальных координат. Геометрически это можно объяснить так если Jn Ф Х2, то, приравнивая П константе, мы получим в плоскости Ох[Х2 эллипс (рис. 35). Его оси симметрии будут совпадать к осями системы координат 00102- Если A,i = Х2, эллипс превращается в окружность. Тогда осями 0i и 02 могут быть два произвольных взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. [c.247]

Нормальные колебания. Рассмотрим сначала возбуждения, связанные с колебаниями решетки, которые встречаются во всех твердых телах. Точно оннсать состояния всех атомов очень трудно, так как нотенциальная энергия такой системы зависит от разно( ти координат каждой нары атомов. Однако для малых амплитуд колебаний около положений равновесия силы, действующие между атомами, можно ириближенно рассматривать как гармонические. Тогда координаты отдельных атомов можно заменить их линейными комбинациями (называемыми нормальными координатами), подобранными таким образом, чтобы выражения для кинетической и потенциальной энергий содержали только квадраты нормальных координат и их производных по времени. Поскольку в этом случае выражения для энергпп уже не будут содержать произведений координат разных атомов, такую систему можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов. Число таких осцилляторов для кристалла, содержащего N атомов, будет равно 37V, что соответствует трем степеням свободы каждого атома. [c.317]

Рис. 48. Геометрический смысл нормальных колебаний они направлены в точки касания эллипсоида q-Aq= (Л — матрица коэффициентов кинетической энергии) с эллипсоидами из семейства q-Bq = onst (В — матрица Гесса потенциальной энергии). Изображен весьма часто встречающийся случай с двумя степенями свободы в первом из нормальных колебаний обе определяющие координаты растут и убывают одновременно, во втором — изменяются в противоположные стороны

Продолжение примечания с предыдущей страницы. Движение лиувиллевой системы (рис. 49) в проекции на каждую координатную ось имеет такой же колебательный характер, как движение в потенциальной яме (рис. 41). Таким образом, лиувиллева система сводится к двум системам с одной степенью свободы (но эти системы зависят, вообще говоря, от полной энергии исходной системы как от параметра, так что здесь нет такого тривиального распадения системы на одномерные, какое наблюдается при линеаризации после перехода к нормальным координатам иначе говоря, лиувнллева система в общем случае не является прямым произведением одномерных). Наконец, представление Пуансо (см. рис. 66) тоже можно рассматривать как сведение случая Эйлера к (ненатуральной) гамильтоновой системе с одной степенью свободы (см. рис. 74), [c.286]

Мы нашли, что в случае (I) оба значения % по./гожн-тельны (поскольку т <[х) в случаях (II) и (III) одно значение X положительпо, а другое отрицательно в случае же (IV) оба значения X, отрицательны. Этот результат находится в полном соответствии с рассуждениями в связи с (3.135). Очень поучительно взглянуть на нормальные координаты в с/учаях (I), (И) и (III). Мы найдем их из (3.136) и (З.ГИ). Второе из этих двух уравнений определяет норми ювку а если не принимать в расчет нормировку, мы обнаружим, что не обязательно приводят одновременно кинетическую и потенциальную энергию к виду (3.138) и (3.139). Очень просто найти отношения ai " и довольно утомительно добиваться их нормировки. Выпишем окончательный результат [c.78]

Для расчета коэффициента за теоретический расход будем принимать расход сжимаемой невязкой жидкости, текущей через кривоосный канал заданного профиля. Поток принимаем потенциальным и определяем коэффициент по формуле (387). В дальнейшем, следовательно, примем = i QLa . Рассчитаем потерю энергии и снижение расхода в пограничном слое потока, текущего через межлопаточный канал с криволинейной осью. Обозначим через и скорость потока в данной точке пограничного слоя. Пусть обозначает скорость на внешней границе слоя wy— координата, нормальная к контуру лопаточного профиля в данной точке. Тогда потеря кинетической энергии в пограничном слое определится по уравнению энергии, записанному для выходного сечения каналов решетки [c.212]

М, Л. Миллер, Е. В. Суворов, ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ (поверхность нотеациальной знергии) молекул — зависимость внутренней (потенциальной) знергни молекулы от координат её ядер или др. координат, описывающих колебания атомов в молекуле (нормальных координат, внутр. колебат. координат типа растяжения связей и деформации валентных углов). При решении Шрёдин-гера уравнения ДЛЯ молекулы В адиабатическом приближении П. п, получается как зависимость энергии данного электронного состояния от координат ядер. В общем случае многоатомной молекулы П. п. (ЗN — 6)-мерная (N — число атомов в молекуле), для линейных молекул П. п. (ЗiV—5)-мерная. Для двухатомной молекулы П. н. одномерная и наз. просто потенциальной ф-цией. В адпабатяч. приближении П. п. не зависит от изотопного состава молекулы. [c.91]

Режим стационарного движения для стойки с пневматиком будет осуществляться при значениях обобщенных координат 9, = 2 = 1 з = 4 = О При исследовании малых отклонений от этого стационарного движения величины qi, q , q , q считаем малыми Составляя выражения для кинетической и потенциальной энергий, а также вычисляя обобщенные силы, соответствующие нормальной реакции, которую принимаем постоянной, получаем линеарнзованные уравнения движения системы при малых отклонениях от стационарного состояния в виде [c.176]

Подставляя выражения для V ж Т ь дифференциальные уравнения движения (146), приходим к системе линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Особенно просто напишется эта система уравнений, если обобщенные координаты ф, ф,. .. выберем так, чтобы в выражениях для живой силы и потенциальной энергии системы пропали члены, содержащие произведения координат и соответствующих им скоростей. Выбранные таким образом координаты называются главными или нормальными координатами системы. В дальнейшем обозначим их через ф , фз,. .. Тогда живая сила и потенциальная энергия системы представятся так [c.320]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...