Вековое уравнение координатах

Все корни Г[ векового уравнения — действительные числа. Если обе формы, приводимые к сумме квадратов, являются положительно определенными, как в рассматриваемом случае, то все числа Г положительны. Это доказывается в линейной алгебре, но можно установить и непосредственно — в противном случае форма (47) не была бы положительна в малой окрестности начала координат, а это свойство должно сохраняться при преобразованиях координат (45). [c.237]

В нормальных координатах это колебание осуществляется, когда все 6,- = О при 1ф j изменяется только координата 6у.) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты Xj = (iij удовлетворяет уравнению частот. Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для q не существует, то Ij — uij (У=1,. .., л) — все корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется здесь р раз, то ему соответствуют р линейно независимых амплитудных векторов Иу, определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа. [c.243]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Во многих простых случаях о главных осях твердого тела можно судить непосредственно по его виду. Часто, например, встречаются случаи, когда рассматриваемое тело представляет-собой тело вращения, а начало подвижной системы координат лежит на его оси симметрии. Тогда все направления, перпендикулярные к оси симметрии, будут, очевидно, равнозначными, что указывает на наличие двойного корня векового уравнения. Главными осями будут в этом случае ось симметрии и две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии. [c.176]

Собственные частоты и главные координаты. В предыдущем параграфе мы видели, что решения вида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не при одном значении частоты со, а в общем случае при п различных значениях. Поэтому решение уравнений движения представляет суперпозицию нескольких колебаний с частотами соь. , Эти частоты, являющиеся решениями векового уравнения, называют частотами свободного колебания или собственными частотами системы. [c.359]

Для определения вековых возмущений необходимо лишь вместо Q подставить непериодическую часть этой функции, т. е. первый член разложения О в ряды синусов и косинусов углов, зависящих от средних движений возмущаемой и возмущающих планет. Действительно, так как 9 является только функцией эллиптических координат этих планет, которые всегда —по крайней мере в том случае, когда эксцентриситеты и наклонения незначительны — могут быть разложены в ряды синусов и косинусов углов, пропорциональных аномалиям и средним долготам, то функцию 9 можно разложить в ряд подобного же вида, и тогда первый член, не содержащий синуса и косинуса, будет единственным, который может дать вековые уравнения. [c.114]

Вейерштрасса признак равномерной сходимости интеграла 1 (1-я)—170 Вековые уравнения — см. Уравнения характеристические Вектор главный 1 (2-я)—13 Векторная алгебра 1 (1-я)—190 Векторное поле 1 (1-я)—192 Векторный анализ 1 (1-я)—190 Векторы — Аффинные координаты 1 (1-я) — 194 [c.31]

Можно показать, что все три корня векового уравнения — вещественные. Они называются главными значениями тензора напряжений. Их значения определяются характером внешней нагрузки и не зависят от первоначальной ориентации системы координат. Поэтому при повороте осей должны оставаться неизменными и значения коэффициентов Ji, J2, J3 в вековом урав- [c.25]

Обозначим через в2, три корня уравнения (8) и упорядочим их таким способом, чтобы > 2 > е . В тензорной алгебре доказывается, что для симметричного тензора второго ранга корни векового уравнения (Ю) являются действительными. Эти корни не зависят от изменения системы координат Хг. Коэффициенты являются инвариантами, поскольку они как коэффициенты уравнения (Ю) являются элементарными симметрическими функциями корней е, (главных значений тензора деформаций) и однозначно выражаются через эти корни [c.25]

Хотя подстановка этих соотношений в (2,93) и (2,96—102) и упрощает их существенно, получающееся уравнение для частот все же является кубическим относительно X, что сильно затрудняет получение аналитического выражения для частот как функций от силовых постоянных. Дальнейшее уменьшение порядка векового уравнения в данном случае может быть достигнуто, если опять ввести новые координаты (см. ниже). [c.164]

Вековое уравнение распадается на множители независимо от того, выбираются ли координаты [c.167]

В данном случае очень легко найти соотношение между координатами и 8цг и координатами симметрии и составить вековое уравнение. Мы ограничиваемся выписыванием окончательных результатов для основных частот [c.198]

Прямое произведение 148 Прямоугольные координаты, решения векового уравнения 159 [c.621]

До сих пор предполагалось, что все корни векового уравнения являются простыми. Однако вышеизложенное мало меняется в случае, когда среди корней векового уравнения есть кратные корни. При этом сохраняется общий вид решения задачи (43.20) и число членов, составляющих это решение. Единственное различие состоит в том, что коэффициенты соответствующие кратным частотам, не являются минорами определителя (43.16) и должны быть определены особо. При составлении общего решения (43.20) следует также иметь в виду, что каждой кратной частоте отвечает столько различных нормальных координат, каков ее порядок кратности. [c.243]

Если некоторый корень (скажем, р ) векового уравнения (7) равен нулю, то соответствующие члены в (5) приводятся к постоянным. Из (7) также следует, что результант уравнений (8) равен нулю, так что или уравнения (8) не являются независимыми, или значения а, Р,. .. не являются столь малыми, что можио пренебречь их квадратами. В первом случае та часть решения (5), которая зависит от р, принимает другую форму. Полагая О = а - - Л/, ф = р - - В/,. .., приходим к тем же самым уравнениям (8), что и раньше, а также к системе, получаемой из (8) в результате подстановки А, В,. .. вместо а, Р,. .. и нулей вместо В , Вз,. .. Если координаты были выбраны так, что в выражении для и имеем В О, Ва = О, то эти две системы уравнений дают Л/а = В/р =. .. Однако независимо от того, был ли сделан такой выбор или нет, из этих 2 уравнений, вообще говоря, только 2га — 2 являются независимыми и они определяют 2 — 2 постоянных а, Р,. .., А, В,..., оставляя две, скажем А и а, неопределенными. Поэтому решение содержит полное число постоянных. [c.401]

Равные корни векового уравнения. Когда некоторые из корней уравнения, служащего для определения равны, то из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что или 1) в выражениях для 0, ф,. .. появляются члены вида At - --f В) sin pt, или 2) в этих выражениях имеется неопределенность в коэффициентах М, N,. .., определяемых на основе п. 455. Относя систему к главным координатам, принимающим нулевые значения в положении равновесия, на основе результатов п. 460 видим, что, вообще говоря, первое предположение исключается. Если два значения равны, скажем Ьц и >22. то тригонометрические выражения для и т] имеют равные периоды, однако они не включают членов, содержащих i в качестве множителя. Физическая особенность этого случая состоит в том, что система имеет более одной совокупности главных или гармонических колебаний. Так, очевидно, что, не вводя в выражения для Г или U каких-либо членов, содержащих произведения координат, можно заменить I, r на какие-либо другие координаты t]i, для которых -f т 2 = r J, При этом остальные координаты. .. остаются без изменения. Например, можно положить = х os а -f т х sin а и I1 = Il sin а — 1 1 os а, где а имеет любое желаемое значение. Очевидно, что эти новые координаты х. > 1х, являются главными координатами в соответствии с определением в п. 459. [c.409]

Итак, для определения главных компонент тензоров деформаций следует составить в данной системе координат вековое уравнение (5.32) с коэффициентами (5.33) и найти его корни. [c.74]

Для того чтобы из оставшихся шести координат построить нормальные координаты, надо решить вековое уравнение второго порядка для матрицы потенциальной энергии (см. главу V, с. 64). [c.90]

УРАВНЕНИЕ ЧАСТОТ, ИЛИ ВЕКОВОЕ УРАВНЕНИЕ. В практической постановке задача об интегрировании системы дифференциальных уравнений малых колебаний сводится к нахождению частных решений, соответствующих главным колебаниям. Именно с этими колебаниями связаны критические резонансные) состояния системы. В предыдущем разделе была установлена форма т ких частных решений когда система совершает одно из главный колебаний, все координаты q изменяются по одному и тому же гармоническому закону [c.122]

Ограничимся рассмотрением вековых эффектов. Исследование будем проводить в переменных 0 и Я — аэродинамических координатах вектора кинетического момента. Посмотрим, какие бесконечно малые изменения углов 0 и X вызывает бесконечно малое изменение положения орбиты в пространстве вследствие влияния сжатия Земли. Складывая затем эти бесконечно малые изменения углов 0 и X с бесконечно малыми изменениями, вызванными влиянием возмущений на вращательное движение спутника, и переходя к мгновенным угловым скоростям, получим систему дифференциальных уравнений движения вектора кинетического момента с учетом всех рассматриваемых факторов. [c.252]

Уравнения Шх -Ь тш2 = О (т 6 2), где i = 1, 2) — частоты невозмущенной задачи, определяют на плоскости /2 прямые линии, проходящие через начало координат. Соответствующие коэффициенты в разложении возмущающей функции не зависят от переменных действие, и среди них есть бесконечно много, не равных нулю. Поэтому вековое [c.24]

Вместо алгебраического решения характеристического у равнения (1) можно использовать графический способ, известным под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензора второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформации в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривизны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графическую интерпретацию линейного преобразования любой симметричной матртЦ) или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени. [c.54]

Можно попытаться рзшить вековое уравнение (2,11) в прямоугольных координатах, либо ввести другие координаты, упрощающие вековое уравнение, либо, наконец, применить для решения задачи механические модели. [c.159]

Решение векового уравнения в прямоугольных координатах. Определитель векового уравнения (2,11) или (2,38), выраженный в прямоугольных координатах, имеет ЗЛГ строк и ЪЫ столбцов. Поэтому, раскрывая определитель, мы получаем уравнение степени ЗЫ относительно Х( = 4Л ), т. е. даже в случае трехатомной молэкулы порядок уравнения равен 9. Мы знаем, что вековое уравнение имеет шесть (или в случае линейных молекул — пять) нулевых решений, соответствующих шести (или пяти) ненастоящим колебаниям (поступательному движению и вращению молекулы в целом). Поэтому вековое уравнение должно содержать множитель X (или X ). Однако этот множитель нельзя сразу отделить в соответствующем определителе (2,38). [c.159]

Решение с помощью внутренних координат. Относительное положение атомов задается ЗЛ — 6 (или ЗМ—5) координатами. Вместо того чтобы следовать изложенному выше способу, можно выразить потенциальную и кинетическую энергию как функции этих ЗЛА —6 внутренних координат и таким путем получить непосредственно вековое уравнение порядка 3//—6, не содержащее нулевых решений. Имеется много возможностей для выбора внутренних координат (см. Вильсон и Кроуфорд [943]). Пожалуй, наиболее естественным в случае несимметричной молекулы является выбор в качестве координат ЗМ—6 междуатомных расстояний или, точнее, изменения Q ЪЫ—6 равновесных расстояний между атомами. Такие координаты также называют центрально-силовыми координатами (см., например, Шефер и Ньютон [778]), так как они лучше всего соответствуют центральной сис-теме сил (см. стр. 85). Вследствие того что при малых амплитудах эти координаты являются линейными функциями от прямоугольных координат смещений, потенциальная энергия является квадратичной функцией от координат (3,- и может быть записана в виде [c.161]

Наиболее удобной формой векового уравнения является не форма (2,96), а форма,, при которой X входит только в диагональные элементы. Такое уравнение может быть составлено, если исходить не из коэфициентов b j в (2,95), а обратных им коэфициентов, которые определяются гораздо легче, могут быть найдены в общем виде и сведены в таблицы [ИЮ, П02]. Вопрос о различных формах векового уравнения был рассмотрен В. М. Татевским [И66]. Л. С. Маянц исследовал свойства коэфициентов а,-у и и показал, что обратные им коэфициенты обладают инвариантностью относительно выбора всех координат, кроме рассматриваемой пары координат Qi и Qj (см. диссертацию Маянца Теория характеристических частот и некоторые ее применения, Москва, ФИАН, 1947 г.). Особенный интерес представляет инвариантность коэфициентов, обратных коэфициентам потенциальной энергии а,у. Этот вопрос требует дальнейшей разработки на конкретном материале. (Прим. ред.) [c.162]

Решение векового уравнения с помощью координат симметрии )- Лучшим методом нахождения нормальных колебаний в случае симметричных молекул оказался метод координат симметрии, впервые введенных Говардом и Вильсоном [462]. Несколько отличные координаты симметрии были введены Розенталем и Мерфи [750] и Редлихом и Томпа [733], однако мы здесь рассмотрим только координаты симметрии, введенные Говардом и Вильсоном (см. также Вильсон и Кроуфорд [943]), так как последние представляются наиболее удобными для реальных расчетов. [c.164]

Вопрос о введении координат симметрии был подробно рассмотрен М. А. Ельяшевичем [1099, 1101, 1102]. Им было показано, каким образом естественные колебательные координаты (изменения расстояний между атомами и углов между связями) выражаются через координаты симметрии, и даны таблицы коэфициентов симметрии для различных точечных групп, позволяющие легко произвести переход к координатам симметрии и сильно облегчающие составление вековых уравнений. (Прим. ред.) [c.164]

Во всех приведенных выше примерах рассматривались молекулы со сравнительно небольшим числом атомов и весьма высокой симметрией. В случае молекул с большим числом атомов или с довольно низкой симметрией часто не удается, даже применяя координаты симметрии, разбить вековое уравнение на легко решаемые уравнения достаточно низкого порядка. Для таких случаев разными авторами были разработаны специальные. методы, в частности Вильсоном [940, 942], который развил метод, юпосредственно дающий вековое [c.175]

Для того чтобы получить частоты нормальных колебаний, необходимо преобразовать (2,182) к координатам симметрии (в этих координатах потенциальная функция попрежнему имеет квадратичную форму), составить соответствующее выражение для кинетической энергии и решить вековое уравнение. Однако мы ограничимся приведением результатов, полученных Деннисоном [276], Яуманом (см. Шефер [763]) и Радаковичем (см. Кольрауил [13]). В данном случае имеется одно невырожденное колебание VJ типа Л,, одно-дважды вырожденное колебание типа Е и два трижды вырожденных колебания Уз и У4 типа (см. стр. 159). Их частоты определяются формулами [c.184]

Периоды колебания. Из формулы (5) видим, что каждая из п координат 0, ф,. .. выражена в виде некоторой суммы от стольких синусов, сколько имеется различных значений р . Таким образом, когда у системы имеется несколько независимых способов движения, то существует столько же периодов колебания. Они, очевидно, равны 2л/р , 2п1р ,. .. Вообще говоря, нас интересуют только эти периоды колебания, а не отдельные положения, занимаемые системой в какие-либо моменты времени. В таком случае для каждой задачи можно опустить все предыдущие рассуждения и сразу написать вековое уравнение. Для этого воспользуемся следующим правилом. Разложим силовую функцию и и живую силу Т по возрастающим степеням координат 0, ф,. .. и ихскоростей 0, ф, . .. и отбросим все степени этих величин выше второй. Затем, опуская над буквами штрихи или точки в выражении для Т и оставляя в и только квадратичные члены, приравняем нулю дискриминант квадратичной формы р Т + и. Корни построенного таким способом уравнения дадут требуемые значения р. [c.401]

Если число координат велико, то вычисление определителя, входящего в вековое уравнение, может оказаться весьма трудоемким. В ряде случаев координатами можно распорядиться так, что учобно воспользоваться исчислением конечных разностей. Если число ко1)рдинат бесконечно, как в случае колеблющейся струны, то получаемое таким путем уравнение в пределе принимает форму дифференциального уравнения с частными производными. Далее, иногда может случиться так, что хотя известны только некоторые из корней векового уравнения, можно найти СОО"вртствующие коэффициенты в ретеиии. [c.402]

Отсюда очевидно, что вековые возмущения координат г, В, V, заданные уравнениями (77), (78) п (81), люжно паппсать в следующем виде [c.340]

Теорема. Если потенциальная энергия системы являета положительно-определенной функцией обобщенных координаты то корни векового уравнения положительны и разделяюта корнями минора, соответствующего первому элементу [c.124]

Для составления векового уравнения (5.15) нужно перемножить матрицы (5.26) и (5.27). В результате подучим определитель треть его порядка, все элементы которого отличны от нуля даже в приближении модели валентных сил. Для дальнейшего продвшсення расчетов решакщее значение имеет диагонализация определителя. Она может быть проведена на основе соображеняй симметрии. Мы знаем ( 4 4) что молекула воды имеет два колебания типа и одно колебание типа в. Поэтол<у из естественных координат мокно составить две [c.88]

Устойчивость, таким образом, будет обеспечена, когда V — Т в относительном положении равновесия есть минимум. Это условие, однако, не необходимо, и устойчивость может иметь место и тогда (с рассматриваемой точки зрения), когда V—Т есть максимум, как это мы покажем для частного случая двух степеней свободы. Необходимо, однако, заметить, что если система подвержена каким-нибудь, хотя бы незначительным силам трения, которые влияют на координаты i,. .., i , то равновесие только тогда перманентно или. вековым образом устойчиво, когда V —То есть минимум. Для таких сил характерно, что их работа, произведенная над системой, всегда является отрицательной. А в таком случае, согласно уравнению (6), выражение -f (V —Tj) в алгебраическом смысле будет непрерывно уменьшаться, пока имеет место какое-нибудь относительное движение. Следовательно, если система перешла из относительного положения равновесия в такую конфигурацию, при которой V —Т будет отри цательным, то вышенаписанное выражение, а тем самым и его часть V — To будут принимать непрерывно возрастающие отрицательные значения, что может случиться только тогда, когда система все более и более удаляется от своего положения равновесия. [c.389]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...