Эллиптические координаты, 284 — функции

Путем введения криволинейных координат было рассмотрено несколько других типов поперечных сечений. Используя эллиптические координаты (см. стр. 197) и сопряженные функции и г], определяемые уравнением [c.321]

Приведем решение этой задачи в эллиптических координатах (как п в предыдущем пункте) в рядах по функциям Матье [19] отметим, что решение аналогичной статической задачи известно [215]. [c.433]

Используя свойства функции Матье, убеждаемся в том, что решение (54.25) удовлетворяет уравнению (54.24), условиям излучения (54.8), а также второму граничному условию (54.23). Кроме того, оно удовлетворяет условиям симметрии и периодичности. Первое условие (54.23) в эллиптических координатах примет вид [c.434]

Следовательно, это уравнение представляет прямую, и оно может быть отождествлено с уравнением прямой линии в эллиптических координатах, которое будет, очевидно, алгебраическим относительно д и д . Таким путем мы воспроизвели, следуя Лагранжу, очень важный результат, данный Эйлером и выражающий, что уравнение (Е) допускает алгебраический интеграл. На этом результате основывается сложение эллиптических функций. [c.497]

В случае эллиптических координат на плоскости задача интегрирования уравнений движения точки приводится к квадратурам, когда силовая функция имеет вид [c.506]

Для определения вековых возмущений необходимо лишь вместо Q подставить непериодическую часть этой функции, т. е. первый член разложения О в ряды синусов и косинусов углов, зависящих от средних движений возмущаемой и возмущающих планет. Действительно, так как 9 является только функцией эллиптических координат этих планет, которые всегда —по крайней мере в том случае, когда эксцентриситеты и наклонения незначительны — могут быть разложены в ряды синусов и косинусов углов, пропорциональных аномалиям и средним долготам, то функцию 9 можно разложить в ряд подобного же вида, и тогда первый член, не содержащий синуса и косинуса, будет единственным, который может дать вековые уравнения. [c.114]

Это и будут искомые выражения для координат х в функциях от д, если в них под F(X) подразумевается выражение (19). Мы имеем, таким образом, одно-однозначное соответствие между п эллиптическими координатами и точками пространства со всеми положительными декартовыми координатами (т. е. из первого квадранта при ге = 2, из первого октанта при л = 3 и т. д.). [c.381]

Эллиптические координаты и О выражаются в функции угла f. [c.512]

Если ввести в функцию Жуковского эллиптические координаты и 0 с ио-мои ью выражения [c.512]

Эллиптические координаты ц, и в выражаются ь функции угла ф. [c.675]

Решение этой осесимметричной задачи строится с помощью бигармонической функции Лява % (см. п. 1.10 гл. IV). Применяются цилиндрические координаты г, z, так как использование вырожденных эллиптических координат было бы более сложно. [c.281]

Решение представлено через эллиптические функции Якоби от криволинейных эллиптических координат. Б решении, приведенном в этой книге, выраженном в декартовых координатах и содержащем эллиптические интегралы, исправлена ошибка, допущенная в книге автора [70]. Правильное решение дано в работе [c.918]

Нетрудно видеть, что эти рассмотрения Лиувилля являются естественным обобщением приема Якоби, связанного с введением эллиптических координат в уравнение, определяющее главную функцию S. [c.24]

Совокупности формул (70) с (74) и (71) с (75) позволяют при желании пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты и Сп- Заметим, что эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контура меридионального сечения в ряды по функциям от эллиптических координат, а уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических или цилиндрических координатах. Так, например, как было показано в предыдущем параграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным удлинением коэффициенты и С легко определяются путем разложения уравнения контура в тригонометрический ряд по косинусам эллиптической координаты 1). [c.436]

Несколько других поперечных сечений было исследовано при помощи криволинейных координат. Взяв эллиптические координаты f M. стр, 193) и пользуясь сопряженными функциями а и р, отвечающими уравнению [c.280]

Задача. Выразить функцию Гамильтона через эллиптические координаты. [c.230]

В некоторых случаях получаемые таким образом эллиптические координаты в гильбертовом пространстве образуют счетный набор. Однако возможен и случай непрерывного спектра, когда набор координат получается континуальным. В этом случае переход от исходной точки гильбертова (скажем, функционального) пространства к континуальному набору эллиптических координат этой точки может рассматриваться как нелинейное преобразование функционального пространства. Это преобразование, по аналогии с преобразованием Фурье, можно назвать преобразованием Якоби исходной функции сопоставляется функция, выражающая зависимость континуальной эллиптической координаты от ее номера (т. е. номера на оси спектрального параметра). Вероятно, исследование функционально-аналитических свойств прямого и обратного преобразований Якоби — дело не слишком далекого будущего. [c.435]

Динамическая контактная задача для случая чистого сдвига, рассмотренная в [3], изучалась также в работе Н. М. Бородачева I ], причем в 7 ] получено точное решение задачи, основанное на использовании эллиптических координат и функций Матье. Найдены формулы для определения касательных напряжений на площадке контакта, а также амплитуды, колебаний штампа и угла сдвига фаз между колебанием штампа и возмуш.ающей силой. [c.315]

Эти формулы, определяющие вид функций Ламе, вместе с уравнением (Eq), корнями которого являются эллиптические, координаты К, ц, v, приводят на основании теории симметрических функций корней алгебраического уравнения ) к заключению, что каждое произведение Ламе -го порядка, преобразованное к координатам х, у, г, есть многочлен п-й степени (вообще говоря, неоднородный, но который можно разбить на сумму однородных гармонических многочленов), удовлетворяющий уравнению Лапласа. [c.203]

Эллиптические координаты, 284 — функции, 419-42), 423-429. [c.674]

Силовая функция выражается через эллиптические координаты в виде [c.50]

Попытка учесть анизотропную геометрию локализованной подводной возвышенности на неограниченной /-плоскости предпринята в работе [3], в которой использовалась возможность разделения переменных в уравнении Пуассона для топографической составляющей функции тока в эллиптических координатах (р, q) [c.495]

Аналогичным образом интегрирование в двух из интегрируемых случаев задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой (случай Эйлера инерционного движения и случай осевой симметрии) может быть непосредственно выполнено с помош ью введения сферических координат (Эйлер, Лагранж). Возможность интегрирования в третьем случае (Софьи Ковалевской) обусловлена тем, что функция Лагранжа приобретает вид (li) — (I2), если ввести эллиптические координаты qi, qz (Колосов). [c.179]

ОНО имеет в точках, определяемых координатами T = th = Когда эллипс очень узок, эти значения весьма велики и точки, в которых они действуют, близки к концам большой оси. Имеются решения для эллиптического отверстия в пластинке, находящейся под действием чистого изгиба в своей плоскостии параболического распределения касательных усилий, которое возникает в тонкой балке прямоугольного сечения ), для эллиптического отверстия с равными и противоположными по знаку сосредоточенными силами, приложенными по концам малой оси ), а также для жесткого и упругого включений, заполняющих отверстие в растянутой пластинке ). Рассматривались и более общие виды решений в форме рядов для действительной функции напряжений ф в эллиптических координатах ). Эквивалентные им комплексные потенциалы можно построить из функций, использованных или упомянутых здесь вместе с аналогом простых функций, приведенных в задачах на стр. 197, если необходимо учесть влияние дислокаций, а также сосредоточенных сил и моментов. Решение для общего случая нагружения эллиптического отверстия дается позже в 67—72. [c.204]

Эллиптическая пластинка, имеющая верх (г > 0) и низ (г<0), ограниченная фокальным эллипсом о, представляет одну из координатных поверхностей р = 1 семейства эллипсоидов р = onst в системе эллиптических координат р, [х, v [см. п. III. 11, в частности формулу (III. 11.16)]. Поэтому естественно ввести в рассмотрение потенциал простого слоя со (х, г ро) на поверхности эллипсоида Q (р = ро>1), определив эту непрерывную гармоническую функцию ее значением (и х,у,г рс) на Q. Можно для задачи о плоском штампе по (6.2.6) принять [c.312]

Успех Б решении указанных задач механики и геометрии объясняется возможностью разделения переменных в уравнении в частных производных (33) при введении эллиптических координат. Следует сказать, что функция S определяется в простом виде в том случае, когда возможно ввести та-1сую систему обобщенных координат, которая позволила бы разделить переменные в уравнениях Гамильтона — Якоби. [c.20]

В качестве еще одного применения эллиптических координат рассмотрим задачу о плоском движении материальной точки в поле притяжения двух неподвижных центров эта задача была проинтегрирована Эйлером в 1760 г. Пусть —декартовы координаты в плоскости движения, (О, с), (О,-с) — координаты притягивающих центров (с > 0). Перейдем к эллиптическим координатам в плоскости = хьхг , считая, что 02 — = 2с. Это означает, в частности, что при фиксированных значениях Л уравнение х / а - Л) +Х2/(аг - Л) = 1 задает коническое сечение, фокусы которого совпадают с неподвижными центрами. В симплектических координатах Л, рь функция Г амильтона этой задачи равна [c.103]

Числа р, [i, V определяют криволинейную систему эллиптических координат. Положение точки на поверхности эллипсоида р = onst определяется параметрами ]х и v, и заданная на ней функция может быть выражена через эти параметры. В частности, при р=1 получаем [c.288]

В разработанном Я. М. Серебрийским (1944) методе расчета обтекания тел вращения используется то обстоятельство, что для удлиненных тел одна из эллиптических координат мала и что при разложении функций Лежандра второго рода выделяется общий для них простой главный член разложения. Хорошую точность для плавных тел дает первое приближение. И. Б. Федоровой (1948) этот метод использован для приближенного решения обратной задачи о построении формы тела вращения по заданному распределению давления. [c.91]

Функция S может быть решением уравнения эйконала. В рассматриваемом случае удобно ввести систему эллиптических координат, определяемую выражениями (2.7.10), с ограниченными переменными fl > О и —ж р < Условию ц = onst соответствуют эллипсы с фокусами в точках х = Ь, в то время как граница резонатора определяется кривой ц = При этом простой способ решения уравнения эйконала состоит в поиске решений вида (см. разд. 2.12 координату р не надо путать с частотой р) [c.491]

Лонге-Хиггинс [367] обнаружил, что отклонение от круговой симметрии в форме рельефа может привести к разделению частот захваченных гравитационных мод в различных парах мод. Саммерфилд [605] изучил эту проблему на примере эллиптического мелководья, применил эллиптические координаты и получил решения в форме функций Матье и модифицированных функций Матье. Как можно было и ожидать, две пары мод — одна симметричная и одна асимметричная относительно большой оси эллипса — имеют каждая различный сдвиг собственных частот в зависимости от волнового числа вдоль края шельфа данной формы. С помощью этих вычислений были интерпретированы записи длинных волн на о. Маккуори. Эту же задачу ранее рассмотрел и Лонге-Хиггинс [367]. [c.140]

Впервые проблема копцептрации папряжепий у эллипсоидального дефекта была исследована в [ ]. В этой работе использовались эллиптические координаты, и решение было выражено через эллиптические функции. Оригинальный и более простой метод решения был предложен А. И. Лурье (см. [ ], с. 292-306). [c.37]

Полный формальный анализ этой конструкции, использующий уравнения Максвелла в софокусных эллиптических координатах, был выполнен Кингом и Уилтсом [5.3] и дает после небольших приближений, требующих асимптотических выражений для бесселевых функций и Кп, формулу, которая может быть записана в форме, идентич- Рис. 5.1. поперечное сеченне эллиптичь НОЙ ур-нию (5.2.1). Заме- -кой коаксиальной линии ТИМ, что при W ->-b [c.103]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...