Вязкоупругие системы

Когда демпфирующий элемент в колеблющейся системе не является вязким, как это имеет место в вязкоупругой системе с комплексной жесткостью (l + i n), простейшими методами получить рещения уравнений движения не удается, поэтому не-, обходимо применять методы преобразования. Если для представления жесткостей используется стандартная вязкоупругая модель или модель с дробными производными, то можно воспользоваться преобразованием Лапласа. Когда для представления поведения реальных материалов используются комплексные модули упругости, для которых Й и Т1 являются функциями частоты, единственно приемлемым оказывается метод преобразования Фурье, поскольку уравнения движения можно переписать в пространстве частот колебаний [c.164]

Многие конструкции и их элементы представляют собой упругие или вязкоупругие системы, линейные размеры которых по одним направлениям значительно превосходят линейные размеры по другим направлениям. Такие системы называются вырожденными и к ним, в частности, относятся стержни, пластинки, оболочки и т. п. Поведение таких систем в точной постановке описывается трехмерной теорией упругости или вязкоупругости. [c.226]

Установившиеся вынужденные колебания в вязкоупругих системах. При применении метода комплексных амплитуд (см. гл. VI) исходным является уравнение [c.239]

Всякая вязкоупругая система является динамической системой однако ее движение происходит достаточно медленно, в связи с чем в расчетах силами инерции, как правило, пренебрегают. При квазистатической постановке задачи по истечении некоторого промежутка времени процесс деформирования может завершиться хлопком , чему соответствует либо неограниченное увеличение прогиба, либо его скорости. Этот момент времени называют критическим / . Систему считают устойчивой при t[c.497]

Для вязкоупругой системы, изображенной на рис. 1.3.1, б, уравнение состояния принимает вид [c.33]

Вязкость по Муни 59 Вязкотекучее состояние 61, 135 Вязкоупругие материалы 6 Вязкоупругие системы 33, 34, 37, 41 [c.350]

Отсюда видно, что во всех статически определимых вязкоупругих системах напряженное состояние совпадает с напряженным состоянием аналогичных упругих систем. Если внешние нагрузки остаются постоянными во времени, то и напряжения также не меняются во времени. Влияние ползучести сказывается только на числовых значениях деформаций и перемещений. Последние могут быть найдены, как и в упругих системах, по формуле Максвелла — Мора, для чего необходимо в равенстве (8.39) вместо отношений Л/,/ , записать [c.438]

Мы получили уравнения (6-4.37) и (6-4.38) из уравнений линейной вязкоупругости применительно к описанию поведения некоторых реальных материалов, выходящих и за пределы малых деформаций. Ввиду этого уравнения (6-4.37) и (6-4.38) описывают различное реологическое поведение, хотя они и эквивалентны в предельном случае малых деформаций (см. обсуждение, следующее за уравнением (6-3.1)). С другой стороны, уравнения такого же типа можно получить при рассмотрении простых одномерных моделей, включающих пружинки и амортизаторы , и соответствующем обобщении этих моделей на трехмерную форму относительных механических уравнений, инвариантных относительно системы отсчета. По-видимому, имеет смысл проиллюстрировать этот метод, который оказывается полезным для понимания топологических свойств получающихся функционалов. [c.239]

Иод действием постоянных или медленно меняющихся во времени внешних нагрузок точки вязкоупругого тела медленно перемещаются в пространстве. Если пренебречь силами инерции по сравнению с другими силовыми факторами, т.е. ограничиться рассмотрением квазистатической постановки задачи, то перемещения, деформации и напряжения в вязкоупругом теле будут определены из решения следующей системы уравнений [c.350]

В теории вязкоупругости доказано, что эта система уравнений имеет единственное решение. [c.351]

Определить усилия в стальном АВ и бетонном ВС стержнях системы, показанной на рисунке. Стержень АВ считать упругим с модулем упругости Е, а стержень fi —вязкоупругим, для которого справедлива зависимость [c.265]

Из теории ползучести известно, что решение задачи вязкоупругости для начального и бесконечно Удаленного моментов времени может быть получено без привлечения дифференциальных или интегральных уравнений. Для этого достаточно рассмотреть две упругие системы в одной вязкоупругие элементы считаются упругими с мгновенным модулем упругости Е, а во второй — упру- [c.268]

И. Определить напряжения в стержнях /, 2, 3 системы (см. рисунок), в которой средний стержень выполнен короче проектного размера на величину А и поставлен на место с начальным напряжением. Брус АВ абсолютно жесткий. Стержень 2 упругий с модулем упругости Е , а стержни /, 3 вязкоупругие. [c.269]

В случае упругой и вязкоупругой сред и вязкой жидкости коэффициенты Рц и свободные члены 1 в системе уравнений (2.1.69) постоянны. Положим во втором приближении параметры т, п, , / = 1 2 и вычислим интегралы (2.1.71) и (2.1.73). По формулам (2.1.70) [c.106]

Для малых де( )ормаций вязкоупругой оболочки справедлива система уравнений (1.3.70) коэ(ф( )ициенты Д.ур и свободные члены Бр уравнений находим по ( )ормулам (4.1.102) второй части книги, где [c.377]

Для малых деформаций вязкоупругой оболочки справедлива система уравнений (1.3.70) коэффициенты Fy и свободные члены Lp уравнений вычисляются по формулам (4.1.102) второй части книги, где [c.421]

Не составляет груда убедиться в том, что интегральное уравнение с ядром (17.6.3) эквивалентно дифференциальному соотношению (17.5.9). Для этого интегральное уравнение (17,5.1) дифференцируется п раз по времени t получившаяся система из га +1 уравнений содержит линейным образом е, о и их производные до порядка п включительно, а также п различных интегралов вида Эо(—Р) о. Исключая эти интегралы, мы приходим к дифференциальному соотношению вида (17.5.9). Обратно, для того чтобы перейти от дифференциального закона к интегральному представлению, можно использовать ту же процедуру, которая была применена к стандартному вязкоупругому телу. [c.592]

Далее, как и в п. 2, приходим к следующему результату оптимальные геометрические параметры симметрично армированной системы из стареющего вязкоупругого материала совпадают с оптимальными параметрами системы из упругого материала, на напряжения и перемещения которой наложены ограничения (6.34). [c.229]

Отметим, однако, что не меньший интерес представляет развитие теории стохастической устойчивости вязкоупругих систем и, в частности, использование вероятностных методов при определении функционала критического времени. Это связано, в частности, с тем, что большая часть реальных факторов, влияюш,их на поведение системы, имеет случайный характер. Кроме того, актуальными представляются различные проблемы динамической устойчивости, проблемы влияния скорости нагружения на процесс потери устойчивости, задачи потери устойчивости при ударных нагружениях, выделение основных параметров вязкоупругих систем, влияюш,их на процесс потери устойчивости, задачи тепловой устойчивости и др. Представляет также интерес исследование вопросов устойчивости вязкоупругих систем в геометрически- и физи-чески-нелинейной постановке. [c.231]

Постановка задачи. В предыдущих параграфах были получены условия устойчивости вязкоупругих стержней при однотипной нагрузке (либо сосредоточенной, либо распределенной). Вместе с тем в ряде реальных ситуаций встречаются нагрузки обоих типов. Условия устойчивости вязкоупругих стержней, находящихся под действием как сосредоточенной, так и распределенной нагрузки, получены в настоящем параграфе. Техника получения указанных условий подобна той же, что и в 1—3. Сущность использованной, ранее техники состоит в следующем. Вначале записывается подходящее представление для функции прогиба / (tr х). Далее выбирается фундаментальная система функций [c.267]

Автору неизвестны другие применения алгоритма FFT для решения задач вязкоупругости, кроме рассмотренного в [23], где решается квазистатическая задача. Из уравнения (5.36) видно, что единственная информация, которая необходима для описания конструкции или материала с вязко-упругими свойствами, это передаточная функция Согласно принципу соответствия [1], и независимо от того, является ли задача квазистатической или динамической, эта функция идентична упругой передаточной функции, за исключением того, что вместо упругих констант в нее входят комплексные модули, или податливости. Более того, как показано в [1], для материалов с малым тангенсом потерь можно получить Rh непосредственно из численного или аналитического упругих решений. Этот подход является весьма общим, если обратить внимание, что и / в уравнении (5.31) могут представлять любые напряжения, деформации или перемещения в любой конструкции, обладающей вязкоупругими свойствами, или другой линейной системе. В следующем разделе будет также показано, что рассмотренный подход легко использовать для анализа некоторых задач из области механики разрушения. [c.200]

Демпфирующие свойства системы, а следовательно, и ее виброактивность зависят от внутреннего и внешнего трения элементов. Внутреннее трение в материале элементов системы особенно существенно влияет на уровни вибрации в области средних и высоких частот. Возникающие при этом напряжения в элементах механизмов и фундаментов, как правило, не превышают 10— 20 кгс/см , поэтому для расчета может быть использована гипотеза вязкоупругости с независящими от амплитуды напряжений коэффициентами. При гармоническом возбуждении можно считать, что коэффициенты вязкоупругости зависят от частоты. [c.22]

Во время действия нагрузки на образец вязкоупругая резина ползет, а гипс постепенно затвердевает, что сопровождается изменением удлинения системы во времени. После полного отвердевания гипса соотношение между величинами модулей меняется, так что теперь [c.178]

Для расчета абсолютного уровня температурных полей в случае применения степенного закона необходима, по нашему мнению, количественная оценка соотношения вязкой (необратимой, диссипативной) и упругой составляющих энергии, затрачиваемой на деформацию полимера. Это можно выполнить, если исходить из соотношения между средним временем релаксации и временем переработки полимера. Тогда решение системы (2)—(4) с учетом уравнения (6) возможно во всех случаях, кроме тех, когда вязкоупругость полимеров приводит к значительной аномалии гидродинамической обстановки процесса, как это бывает, например, в дисковых и комбинированных экструдерах. Тогда система уравнений (2)—(4) должна решаться совместно с уравнением состояния (7) или ему подобным. [c.99]

Эта книга предназначена для тех, кто занимается решением проблем колебаний и шума, возникаюш,их в самых разных отраслях машиностроения и строительстве. Инженеры, чья деятельность непосредственно связана с автомобильной, аэрокосмической, судостроительной промышленностью, а также иными отраслями машиностроения, найдут здесь не только много практических сведений, но и строгие теоретические выкладки, которые могут служить основой для применения промышленных приемов демпфирования в новых, еще неизвестных ситуациях. Демпфирование колебаний с помощью вязкоупругих демпфирующих материалов превратилось в последние годы из специального приема, предназначенного для решения трудных и многоплановых задач в некоторых военных аэрокосмических системах, в широко используемый, часто недорогой, метод, связывающий конструкционные и функциональные подходы, особенно необходимый при решении проблем звуко- и виброизоляции в таких отраслях промышленности, как автомобильное,, в том числе и дизельное двигателестроение, строительство, производство ЭВМ и транспортных систем. Авторам приходилось непосредственно сталкиваться с самыми разными сторонами указанных проблем, поэтому многое из того, что приведено в данной книге, является результатом их собственных исследований в этой новой области и опыта применения демпфирующих устройств в реальных конструкциях. [c.8]

В гл. 1 обсуждаются основы теории колебаний и виды демпфирования. В гл. 2 и 3 вводятся основные понятия о том, как описывается явление демпфирования, причем особое внимание уделяется вязкоупругому демпфированию, определяющему поведение полимерных и стекловидных материалов, а также эластомеров. В гл. 4 описывается влияние вязкоупругого демпфирования на динамическое поведение конструкций, причем основной упор сделан на описании важного для практики случая системы с одной степенью свободы. В гл. 5 рассматривается тот же вопрос применительно к исследованию влияния дискретных демпфирующих устройств типа настроенных демпферов на динамическое поведение конструкции. В гл. 6 описано влияние обширного класса демпфирующих устройств типа систем с поверхностными покрытиями или слоистой структурой, в гл. 7 приведены диаграммы для определения комплексных модулей упругости для большого числа интересных с точки зрения конструктора материалов. В каждую главу включены иллюстрации, примеры и случаи из практики, с тем чтобы показать читателю, как можно использовать теорию и справочные данные при решении практических задач подавления колебаний и шумов. [c.9]

Будут рассмотрены два случая, а именно система с одной степенью свободы и слабым демпфированием, имеющая упругий элемент из эластомера, и такая же система с высоким демпфированием, изготовленная из вязкоупругого материала. На рис. 2.20 и 2.21 показаны, зависимости жесткости k и коэффициента потерь т] от частоты при комнатной температуре для двух материалов — BTR (силиконового эластомера) и ЗМ-467 (вязко-упругого клея). В обоих случаях с целью иллюстрации жесткость выбиралась равной = 5,11-10 Н/м при 100 Гц, а масса равнялась т = 1,295 кг. Для того чтобы выполнить численные [c.101]

Принцип наложения температурного и частотного факторов. Если учитывать влияние на демпфирующие свойства материала как частоты колебаний, так и температуры, то наиболее удобным способом представления экспериментальных данных является использование принципа температурно-частотной эквивалентности (приведенной частоты) для линейных вязкоупругих материалов [3.2, 3.3]. Согласно этому способу, по одной оси координат откладываются параметры (7 оро/Тр) и т), а по другой— так называемый параметр приведенной частоты шаг, где (О — действительная частота, ат — функция абсолютной температуры Т, То — фиксированное значение абсолютной температуры. Обычно отношения То/Т и ро/р считаются равными единице для широкого диапазона изменения температур и поэтому во внимание не принимаются. Построение генеральных кривых зависимости модуля упругости Е и коэффициента потерь ц от параметра аат исключительно полезно при экстраполяции результатов экспериментов, получаемых при сильно различающихся условиях. Например, в серии экспериментов можно получить данные для диапазона частот от 100 до 1000 Гц и диапазона температур от О до 100 °С, а требуется определить свойства при 50°С и 2 Гц. Для этого сначала используются имеющиеся результаты для построения системы наиболее достоверных генеральных кривых. Эту процедуру наиболее удобно выполнять эмпирически путем задания значений коэффициента ат на основе смещений, необходимых для построения кривой, описывающей зависимость модуля упругости Е от частоты в логарифмических координатах (см. рис. 3.4) при температуре Ti (i = 1, 2,. ..), с тем чтобы кривая была как можно ближе к кривой для зависимости модуля упругости Е от частоты при температуре То. Тем же способом подбираются кривые для зависимостей коэффициента потерь т) от частоты колебаний при температурах Т и То, причем получаются графики, аналогичные показанным на рис. 3.10. Таким образом удается по крайней мере частично компенсировать ограниченные возможности измерительной техники. Типичные графики зависимости ат от температуры показаны на рис. 3.11. [c.117]

Когда в конструкцию намеренно вводится демпфирование, то несколько изменяются и отдельные узлы, поскольку при колебаниях конструкции ее части деформируются и в свою очередь воздействуют на присоединенные вязкоупругие элементы, рассеивающие энергию. Если для того, чтобы успешно решать задачи колебаний конструкции, используются демпфирующие материалы, то необходимо понимать не только поведение демпфирующих материалов, но также и связанную с этим задачу динамики конструкции. Для облегчения понимания часто оказывается эффективнее с точки зрения затрат исследовать математическую модель, дающую упрощенное представление о динамических характеристиках конструкции. Это могут быть математические модели самой разной сложности, начиная от системы с одной степенью свободы, соответствующей телу единичной массы, соединенному с пружиной, и кончая тонкими аналитическими представлениями о непрерывной системе с распределенными массой, жесткостью и демпфирующими свойствами, на которую действует распределенная возмущающая силовая функция. Степень сложности модели, используемой в процессе решения задачи, зависит не только от сложности конструкции, но и от времени и других ресурсов, которыми располагает инженер для решения задачи. [c.136]

Как уже обсуждалось в гл. 3, динамическое поведение линейных резиноподобных (или вязкоупругих) материалов можно описать с помощью комплексного модуля к + щ), где жесткость k и коэффициент потерь т) зависят как от частоты колебаний, так и от температуры. Поэтому предположения как о вязком, так и о гистерезисном демпфированиях не позволяют достоверно описать динамическое поведение системы с одной степенью свободы, состоящей из массивного тела, соединенного с опорой вязкоупругой связью. Однако благоприятным обстоятельством здесь является то, что свойства большинства материалов сравнительно мало зависят от частоты колебаний, поэтому изменение свойств при изотермических условиях можно моделировать с помощью параметров комплексного модуля [c.145]

Система с вязкоупругим демпфированием [c.164]

Краевую задачу (7) — (11) будем решать при помощи численных методов. Именно, перейдем от указанной системы уравнений к уравнениям в конечных разностях, используя явную схему конечно-разностной аппроксимации первого порядка, согласно методике, описанной в разд. 12,5 книги [9]. Кроме того, поскольку мы предполагаем задать скачок скорости на поверхности полупространства, эту систему разностных уравненйй дополним системой уравнений, в соответствии ско-торой осуществляется расчет процесса развития ударной волны из первоначально разрывных краевых условий. Этот метод широко применяется при решении задач газовой динамики [9]. Мы не считаем распространение такого метода на нелинейные вязкоупругие системы, анализируемые методом Лагранжа, сколь-нибудь выдающимся достижением, однако нам не известны какие-либо работы, опубликованные по этому вопросу [c.155]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

Пример 2.3. Система с демпфирующей пружиной (рис. 14). Рассмотрим систему, состоящую из твердого тела (спутника) и присоединенной к нему с помощью вязкоупругого подвеса точечной маесы т , расположенной в точке О2 Центр масс системы движется по круговой орбите (у -скорость движения, II — радиус-вектор, Ь - бинормаль к орбите). [c.92]

Установившиеся колебания. Предположим, что вязкоупругое тело совершает периодические колебания под действием внешних поверхностных периодических воздействий с частотой со (внешние массовые силы предполагаются равными нулю). В этом случае по истечении достаточно большого промежутка времени переходные процессь[ в системе практически затухнут и решение с достаточной степенью точности будет представлено в виде [c.259]

Для вязкоупругой сферической оболочки параметры Атпрь . .., Отпр1 находим в результате решения системы уравнений (1.3.70), считая деформации малыми. [c.428]

Сущность метода исследования во всех случаях состоит в разложении прогиба НЛП его производных в ряд по некоторой фундаментальной системе функций и изучении счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты разложения. Для однотипной нагрузки в качестве фундаментальной системы берется последовательность собственных функций некоторой вспомогательной упругой задачи. При ис-с.тедовании же устойчивости сжато-растянутых неоднородно-стареющих вязкоупругих стержней последовательность собственных функций непосредственно уже не связана с соответствующей упругой задачей. Существенным является также выбор удачного представления для функции прогиба. Для ряда ситуаций численно исследована зависимость критического времени от функции неоднородного старения, параметра армирования и других характеристик задачи. Обзор современных концепций и библиография работ, связанных с устойчивостью однородно-стареющих вязкоупругих стержней, имеется, например, в [270, 404, 415, 520]. Некоторые [c.230]

В отличие от дисперсии, которая вызывает перераспределение энергии в искаженном импульсе напряжений при сохранении энергии волны, рассеяние связано с энергетическими потерями. Потери энергии в задачах динамики композиционных материалов определяются по крайней мере четырьмя явлениями 1) вязко-упругими или неупругими эффектами в структурных компонентах 2) рассеянием волн 3) появлением микроразрушения 4) трением между неполностью связанными компонентами. Важная для приложений задача о вязкоупругом демпфировании в слоистых балках и пластинах была рассмотрена, например, в работах Кервина [82] и Яна [198], где исследовались трехслойные системы, состоящие из вязкоупругого слоя, заключенного между двумя жесткими упругими слоями. Теория вязкоупругого поведения слоистых композиционных материалов была разработана на основе теории смесей Гротом и Ахенбахом [67], Био [33], а также Бедфордом и Штерном [22, 23], Бедфордом [21]. В первых двух работах волновые явления не рассматривались, а Бедфорд и Стерн определили коэффициент рассеяния для волн, распространяющихся вдоль волокон, и выразили его через вязкоупругие характеристики материала. [c.297]

Общие линейные соотношения между напряжениями sij (/,/=1,2,3) и деформациями ец в ортогональной декартовой системе координат (хиХ2,Хз) для нестареющего вязкоупругого материала с произвольной анизотропией сразу получаются из формулы (9). Используя функции (модули) релаксации iju(t) (г, 1, 2,3), можно записать [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...