Значения Уравнение Матье

Изложенный метод решения уравнения Матье наряду с достоинствами (удалось, не решая уравнений, установить значения параметров а я д, приводящих к неустойчивым режимам) имеет и недостатки. Первый недостаток заключается в том, что исходное уравнение (7.224), несмотря на большое число прикладных задач, сводящихся к нему, является весьма частным (системы [c.223]

Уточненные границы области, полученные из уравнения (7.244), показаны на рис. 7.27 штриховыми линиями. Для второго приближения пересечение границ областей происходит при больших значениях параметра а . В зависимости от конкретного вида коэффициентов п, а/ уравнения (7.235) области неустойчивости могут существенно отличаться по своей форме от областей, полученных для уравнения Матье. Полученные приближенным методом Рэлея области неустойчивости являются приближенными, поэтому интересно выяснить, насколько они точно соответствуют истинным областям при точном решении исходного однородного уравнения (7.235). Метод точного численного определения областей неустойчивости изложен, например, в книге [12]. [c.227]

По уравнению (12,57) можно исследовать устойчивость дни-Н<ения, используя свойства коэффициентов уравнения Матье. При этом исследовании достаточно предположить, что положе-1 1ие динамического равновесия, т. е. значение угла ад, находится в пределах рабочего диапазона ). Для определения самой величины ад, характеризующей динамическую ошибку механизма ( увод стрелки прибора), можно использовать приближенный метод, основанный на близости величин ао и ад. [c.254]

Подставив это значение ip в уравнение (37) п. 230 и произведя его линеаризацию относительно х, получим, что с точностью до первой степени е линейное уравнение возмущенного движения будет иметь вид уравнения Матье [c.560]

Подставив это значение в уравнение (2.32), получим искомое соотношение между характеристическим показателем [X и параметрами а и q уравнения Матье [c.64]

Таким образом, резонанс наступает тогда, когда характеристический показатель является мнимым, целым и четным числом эти значения характеристического показателя соответствуют значениям параметров а и q, при которых имеют место периодические решения однородного уравнения Матье (функции Матье с периодом я). [c.153]

Исследование задачи об устойчивости решения уравнения Матье по существу доведено до конца. Наличие карты устойчивости (см. рис. 2.1) дает возможность при заданных значениях параметров а и (/, не прибегая к выкладкам, получить ответ на поставленный вопрос. Для этого достаточно установить, в которую из зон этой карты попадает характеристическая точка механизма, координаты которой определяются значениями параметров механизма и параметров возбуждения. [c.200]

Обратимся теперь к основному уравнению рассматриваемых здесь задач ( .5), которое называется уравнением Матье. Решения уравнения Матье носят колебательный характер, и их свойства зависят от конкретных значений параметров а и с/. В одних случаях данной комбинации значениям а тл д соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других случаях — колебания с возрастающими амплитудами. Очень часто (при исследованиях устойчивости) подробности колебаний малосущественны, так как основную важность представляет именно тенденция колебательного процесса если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива в противном случае имеет место параметрический резонанс и система неустойчива. [c.273]

Результаты решения уравнения Матье для двух различных комбинаций а и д показаны на рис. .2, а, б (эти решения получены при помощи электронного аналогового устройства). Хотя в обоих случаях параметр д системы одинаков д = 0,1), но колебания имеют резко различный характер из-за различия между значениями параметра а (а = 1 а = 1,2) в первом случае они возрастают, т. е. система неустойчива, а во втором случае остаются ограниченными, т. е. система устойчива. [c.273]

В связи со сложностью решения уравнения (7) следует ограничиваться определением зон неустойчивости для однородного уравнения [/ (О = 0] после сведения уравнения (7) к хорошо изученному уравнению Матье [С(0= Со (1—v os соО. (В = 2л/Гг] или же использовать аналоговую вычислительную технику [20, 7]. При этом следует иметь в виду, что даже при больших значениях v резонансные явления в системе (7) в случае /(/) = / os pt возникают при частотах pj = oq и pj = где (Во — частота свободных колебаний системы, Ыо = [7, с. 94]. [c.92]

Это предельное соотношение можно выразить через параметр устойчивости р, пользуясь формой решения уравнений Матье (24) или (25), которая следует из функций энергий (26) и (27). При малых значениях р критической формой изгиба, которая характеризуется наиболее быстрым нарастанием амплитуды, является форма с собственной частотой Юп, равной половине частоты радиальных симметричных колебаний [1]. Таким образом, согласно уравнениям (24) и (25), критической форме соответствует = 1/2. Если обозначить [c.35]

Вне областей параметрического резонанса поведение решения уравнения (3.6) исследовалось в работах [91, 93, 109, 171, 423, 671] и др. Из теории уравнения Матье известно (см. также [91, 93, 171]), что при достаточно больших значениях частоты и амплитуды колебаний оси подвеса (уо > I, q> q ) верхнее положение равновесия маятника становится устойчивым (при этом нижнее положение равновесия также остается устойчивым). Аналитически оценку границы устойчивости верхнего положения равновесия удобно произвести, если пренебречь затуханием а и записать уравнение (3.6) при малых = х — л в виде [c.278]

Здесь индексами 1, 2 обозначены линейно независимые решения уравнения Матье, соответствующие значениям параметров д = 6ид = —6. Подставляя (3) в (1) и полагая [c.516]

В табл. 17.1 приведены коэффициенты с п 3 для трёх различных пар (а, д) значений параметров ловушки из первой области устойчивости уравнения Матье. Отметим, что в этой области параметров коэффициенты веш,ественны. Как мы сейчас покажем, этот факт не случаен. [c.544]

Таблица 17.1. Коэффициенты Сп с п < 3 для трёх различных пар (а, q) значений параметров ловушки из первой области устойчивости уравнения Матье.

В пределах рис. 70 помещается лишь часть первой области устойчивости, обычно используемая для работы. Расположение второй и последующих областей устойчивости по характеру такое же, как и на известной диаграмме устойчивости для уравнения Матье. Эти высшие области устойчивости при квадрупольной фокусировке не используются из-за их относительной узости и слишком больших значений G, В. [c.203]

Это линейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных является хорошо известным уравнением Матье. При определенных значениях /3 и О это уравнение имеет неустойчивые колебательные решения. Влияние нелинейностей превращает эти колебания в предельный цикл. Аналогичный пример — маятник с колеблющейся точкой подвеса (рис. 3.9). Численное исследование хаотических колебаний в этой задаче проведено в [104, 120]. Математическое описание такого маятника приводит к уравнению [c.86]

Характеристические показатели х уравнения Матье (4.41), определяющие устойчивость (или неустойчивость) его решения, зависят исключительно от величин и 7 и не зависят от начальных условий. Поэтому по каждой паре значений Я и V можно установить, [c.165]

Если отклонения некоторого параметра от его нормального значения остаются малыми, например в случае уравнения Матье у< , то целесообразен метод возмущений, при котором решение представляется степенным рядом по степеням параметра у [c.170]

Таким образом, наша задача привелась к решению уравнения Матье [151]. Исследование свойств интегралов этого уравнения приводит к заключению, что на плоскости двух действительных переменных а, д существуют такие области, включающие в себя ось д = О, что для значений параметров а, д, принадлежащих этим областям, интегралы уравнений (8), (9) представимы сходящимися тригонометрическими рядами. Следовательно, для таких параметров функции Ь и Т будут ограничены для всех значений времени, колебание жидкости будет оставаться в известных пределах и поверхность жидкости будет устойчива при колебаниях сосуда. [c.372]

Значение Ос, входящее в уравнения (49а) и (496), по данным различных авторов, колеблется от /4 до Е/[0, где Е — модуль упругости рассматриваемого материала. Достаточно хорошую оценку прочности большинства неорганических мате- риалов можно получить, приняв ас = /10. В связи с этим выражение для определения порогового значения амплитуды коэффициента интенсивности напряжений для цикла с R = 0 можно представить в виде [c.126]

Опыты по изучению образования одиночных пузырей показали, что охарактеризовать впадину можно единственным размером. Следовательно, характеристика способности поверхности к парообразованию была бы задана, если бы было известно распределение впадин на поверхности. Уравнение (3) позволяет выразить размер впадины через степень перегрева стенки и свойства жидкости. И хотя это позволяет утверждать, что средняя температура поверхности является плохим критерием температуры впадины, все же для поверхности из конкретного материала и определенного способа ее обработки должно существовать единственное значение числа действующих центров при данном перегреве стенки и данных свойствах жидкости. Иначе говоря, если эта теория применима к реальной поверхности кипения, то график зависимости поверхностной плотности действующих центров от теоретического радиуса должен быть инвариантом даже тогда, когда одну жидкость заменяют другой или когда изменяют ее давление. Так, для поверхностей из одинакового мате- [c.115]

Из выражения (5.2.17) следует, что 1,, / = Поэтому мат яща уравнений (5.2.21) симметрична и, следовательно, система уравнений (5.2.21) имеет два действительных собственных значения j и Ы2, которым соответствуют собственных ортонормированных вектора 02 ] и Решив эту простую задачу, получаем [c.156]

Поскольку искомый параметр собственного значения Л (или (0 ) входит в коэффициенты матрицы разрешающих дифференциальных уравнений, то коэффициенты матрицы фундаментальных решений, а следовательно, и коэффициенты жесткости кольцевого оболочечного элемента будут в общем случае иметь нелинейную зависимость от Л (или со ). В случае разбивки оболочки на короткие элементы для каждого элемента можно применить прием линеаризации матрицы жесткости по параметру собственного значения и выделить для элемента мат- [c.232]

Возбуждающая функция равна os т, а ее период равен 2п. В соответствии с примечанием к (7.79) будем искать те значения б и е, при которых существуют периодические решения периодов 2л и 4п. Из самой формы уравнения (7.89) видно, что если функл,ия х = х (г) есть решение уравнения (7.89), то функцин х = х (—т) и а = = —X (т) будут также решениями этого уравнения. Из отого следует, что среди периодических решений уравнения Матье имеются четные и нечетные решения. Четные периодические решении периода 2л будем искать в форме [c.246]

Периодические и полупериодические решения уравнения Матье, имеющие важное значение для различных приложений, получили название функций Матье первого рода. [c.56]

Диаграмма Айнса— Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций ио решению уравнения Матье. В каждом конкретном случае достаточно составить это уравнение, т. е. найти значения параметров системы а и после этого диаграмма сразу дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости системы. [c.275]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

На примерах исследования систем, описываемых дифференциальными уравнениями Матье и нелинейным уравнением Дюффинга — Булгакова, показано, что значение предложенных приближенных методов выходит за рамки задачи изучения динамики силового гиростабилизатора. Эти работы автора вошли в его монографию по механике гироскопических систем. [c.176]

На рис.5 8 показана часть диаграммы Айнса-Стретта, относящаяся к малым значениям параметра д. В качестве примера на диаграмме указаны точки 1 и 2, соответствующие параметрам а1 = 1 = 0,1 аг = 1,2 дг = 0,1 (решения уравнения Матье для этих случаев даны на рис.57). [c.160]

В плоскости параметров а, q области устойчивости чередуются с областями неустойчивости, причем наиболее широкая, а потому и наиболее важная область неустойчивости содержит точку а = 1, q = 0. Диаграмма Айнса-Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций по решению уравнения Матье. Достаточно составить это уравнение, т.е. найти значения параметров системы а и д, после чего диаграмма дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости системы. [c.161]

При Е2 = О уравнение (2.14) является уравнением Матье-Хилла с периодическим коэффициентом. Из общей теории этих уравнений следует, что в системе может возникнуть параметрический резонанс в окрестностях значений параметра С1 = п12, и= 1,2,.... Наличие диссипативных сил (Ез > 0) и учет нелинейных членов приведет к тому, что возникнут периодические боковые колебания нити. Применительно к модели поезда периодическая структура крепления рельс (опора рельс на шпалы) обуславливает выбранный выше вид силовой функции. Таким образом, при определенных значениях скорости поезда могут наблюдаться боковые колебания его вагонов. [c.289]

Следует отметить, что направления неизве<т-ных реакций, перемещений и т. д. можно приг и-мать совершенно произвольно. В рассмотренном примере для реакций и принято напр в-ление вверх. В результате расчета значения о( е-их реакций получились положительными это (>з-начает, что действительные направления их совпадают с принятыми предварительно. Если, нап и-мер, для реакции / 2 принять направление внлз, то в результате решения дополнительного уравнения получим / 2=—Знак минус укажет на о, что действительное направление реакции нижгей заделки обратно принятому направлению ее, т е. что она направлена вверх. Таким образом, окс Н-чательный результат расчета не зависит от О-го, какое направление реакции принято предварительно. [c.60]

По на1пему методу система обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к одному уравнению в частных производных первого порядка, матем ищется полное решение этого уравнения, и производные, взятые от этого решения по произвольным постоянным, дают систему интегральных уравнений. Но решение уравнения в частных производных может принимать чрезвычайно разнящиеся друг от друга формы разыскивая эти различные формы, мы получаем разлитаые по виду системы интегральных уравнений, которые однако должны по своему значению совпадать друг с другом. Это и есть тот путь, следуя которым мы будем доказывать теорему Абеля. ЛГы будем иеюдить т уравнения в частных производных [c.207]

И. у., содержащие неизвестную ф-цию нелинейно, ная. нслииейиыми интегральными уравнениями. Для нек-рых типов нелинейных И. у. разработана достаточно полная теория. Исследовано ветвление решений нелинейных И. у. найдена зaв I имo ть решения от параметров И. у., получены значения параметров, при к-рых решение разветвляется, найдено число ветвей и представление каждой ветви как ф-ции параметров. Важность И. у. для матем. физики определяется тем, что краевые задачи и задачи на собств. значения для дифферснц. ур-пий можно свести при помощи Грина функций к И. у. [c.157]

Физическая О. рассматривает проблемы, связанные с процессами испускания света, природой света и световых явлений. Утверждение, что свет есть поперечные ал.-маги, волны, явилось результатом огромного числа эксперим. исследований дифракции света, интерференции света, поляризации света, распространения света в анизотропных средах (см. Кристаллооптика, Оптическая анизотропия]. Совокупность явлений, в к-рых проявляется волновая природа света, изучается в крупном разделе фиа. О.— волновой оптике. Её матем. основанием служат общие ур-ния класснч. электродинамики — Максвелла уравнения. Свойства среды при этом характеризуются макроскодич. материальными константами — значениями диэлектрической проницаемости 8 и магнитной проницаемости р,, входящими в ур-ния Максвелла в виде коэффициентов. Эти значения однозначно определяют показатель преломления среды л = [Лер. [c.419]

То.с—Т), исходя из теплофизических параметров паяемого мате- риала и конструкционных особенностей изделия, определяют по заданному градиенту величину относительной температуры, опре-.деляют по таблице значение коэффициента к, подставляют полученные значения х, О в уравнение (1) или (2) и рассчитывают вреыя нагрева (охлаждения) паяемого изделия до заданной теыпературы в точке, выбранной в его объеые. [c.241]

Как нн удивительно, в литературе отсутствуют какие-либо сообщения о систематических исследованиях явлений переноса в асбопластиках, несмотря на их широкое применение. Изучение коэффициентов теплопроводности однонаправленных композиционных материалов на основе антофиллита и эпоксидного связующего было предпринято НИИ взрывчатых веществ [24] в связи с их применением в качестве материалов конструкционного назначения в химическом машиностроении и в качестве высокотемпературных теплоизоляционных материалов. Результаты этого исследования, приведенные на рис. 7.15, являются первым шагом в заполнении пробела в наших знаниях в этой области. Было исследовано влияние объемной доли волокна и температуры на k r-Для установления корреляции между экспериментальными и расчетными данными были использованы уравнения (7.24) и (7.25), которые, как отмечалось выше, оказались вполне приемлемыми для установления такой корреляции для коэффициентов теплопроводности в поперечном направлении композиционных материалов на основе углеродных волокон. Кроме того, на рис. 7.15 приведены некоторые дополнительные данные, относящиеся к композиционным материалам на основе тканых матов и матов с хаотически расположенными в плоскости хризотиловыми волокнами, и некоторые показатели свойств композиционных материалов на основе эпоксидной смолы. Имеется некоторое различие в свойствах материалов на основе хризотила и антофиллита. Для облегчения сравнения свойств композиционных материалов данные на рис. 7.15 отнесены к общепринятой стандартной температуре 35 °С. Экспериментально установлено [24], что для композиционных материалов на основе антофиллита и эпоксидной смолы характерны низкие значения температурного коэффициента теплопроводности. Его значение аналогично значению температурного коэффициента эпоксидной матрицы при всех исследованных объемных долях волокна и приблизительно равно 0,4-10 Вт/(м-К ). [c.314]

Трууп нашел [375], что показатель степени л степенного уравнения Париса не постоянен, а зависит от интервала скорости роста трещины, в котором его измеряли. Было обнаружено, что параметр изменяется от 2,2 до 6,7 в зависимости от уровня прочности мате-риад а. Параметр п меняется от 2 в интервале скоростей 10 - Ю дюйм/цикл (от 2,5-10 до 2,5-10 мм/цикл) до 3 в интервале скоростей 10" - 10" дюйм/цикл (от 2,5 -10" до 2,5 10" мм/ /цикл). Выводы Труупа основываются на анализе более 50 опубликованных в литературе работ по исследованию скорости роста трещины. Можно предположить, что чем больше интервал изменения скорости роста трещины, тем труднее описать экспериментальнь1е данные степенной функцией с постоянными значениями параметров. С и /7. Литературные данные это подтверждают. Интервал изменения скорости роста трещины обычно составляет не более двух порядков, очень мало сведений для скорости роста трещины — менее 10" дюйм/цикл (2,5 10 мм/цикл) и практически никаких - менее 10" дюйм/цикл (2,5 10" мм/цикл). [c.294]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...