Точка пространства моментов регулярная

Мы назовем точку М пространства моментов регулярной точкой, если разбиение окрестности точки М на орбиты диффеоморфно разбиению евклидова пространства на параллельные плоскости (в частности, все орбиты, близкие к точке М, имеют одинаковые размерности). Например, для группы вращений трехмерного пространства регулярны все точки пространства моментов, кроме начала координат. [c.294]

Так как этот единичный вектор к, по определению, не изменяется в теле, а с другой стороны, в настоящем случае г постоянно и речь идет о движении по инерции, а это значит, что момент К неподвижен в пространстве, то из предыдущего выражения для w мы видим, что угловая скорость есть сумма двух векторов постоянной величины, первый из которых, направленный по К, неподвижен в пространстве, а второй, направленный по к, неподвижен в теле. Этого достаточно для того, чтобы можно было заключить (т. I, гл. IV, п. 15), что всякое движение по инерции- твердого тела с гироскопической структурой относительно закрепленной точки О представляет собой регулярную прецессию, имеющую осью прецессии прямую, параллельную моменту К количеств движения и проходящую через точку О, и осью фигуры — его гироскопическую ось. Обозначим через х единичный вектор (неподвижный в пространстве) момента К и введем характеристические элементы любой регулярной прецессии, т. е. угловую скорость Mj = k, которую можно назвать собственной для твердого тела или гироскопической, угловую скорость щ = пре- [c.92]

Таким образом, в турбулентном течении уравнения гидродинамики будут однозначно определять эволюцию во времени распределения вероятности гидродинамических полей. Это означает, что более или менее произвольно (с соблюдением лишь некоторых условий регулярности ) здесь можно выбирать только распределения вероятности в один фиксированный момент времени после этого уже нее остальные и одно- и многовременные распределения вероятности будут однозначно определяться из уравнений движения. Поэтому основную задачу теории турбулентности (например, для случая несжимаемой жидкости) можно сформулировать следующим образом по заданному распределению вероятности значений трех компонент скорости в различных точках пространства в момент 1 /о, сосредоточенному на совокупности дважды дифференцируемых соленоидальных векторных полей, требуется определить распределения вероятности значений полей скорости и давления во все последующие моменты времени (включая и распределения для значений в несколько различных моментов времени). В случае сжимаемой жидкости надо только вместо распределений [c.176]

ПОЛЯ в момент t, и найдя вероятность этой совокупности начальных условий. Таким образом, в турбулентном потоке уравнения гидродинамики будут однозначно определять эволюцию во времени распределения вероятности гидродинамических полей. Это значит, что более или менее произвольно (с соблюдением лишь некоторых условий регулярности ) здесь можно выбирать только распределения вероятности в один фиксированный момент времени после этого все остальные распределения вероятности, относящиеся к значениям гидродинамических полей во всевозможных точках пространства — времени, будут уже однозначно определяться из уравнений движения. Поэтому основную задачу теории турбулентности (например, для случая несжимаемой жидкости) можно сформулировать следующим образом по заданному распределению вероятности значений трех компонент скорости в различных точках пространства в момент t — to, сосредоточенному на совокупности дважды дифференцируемых соленоидальных векторных полей, требуется определить распределения вероятности значений полей скорости и давления во все последующие моменты времени (включая и распределения для значений в несколько различных моментов времени). В случае сжимаемой жидкости надо только вместо распределений вероятности трех компонент скорости исходить из распределений вероятности значений пяти независимых гидродинамических величин. К сожалению, эта общая задача слишком трудна, И в настоящее время еще не видно подхода к ее полному решению. Поэтому дальнейшее обсуждение этой задачи мы отложим до заключительной главы второй части нашей книги в остальных же главах мы будем заниматься лишь более частными задачами, в которых вместо распределений вероятности фигурируют некоторые менее полные статистические характеристики случайных полей. [c.175]

Мы видели выше, что движение симметричного тела с неподвижной точкой по инерции всегда является регулярной прецессией относительно направления кинетического момента. Представим себе теперь, что симметричное тело имеет неподвижную точку (за ось как и ранее, выбрана ось симметрии) и что задана какая-либо неподвижная прямая, проходящая через неподвижную точку и уже не совпадающая с переменным в общем случае направлением вектора Ко кинетического момента. Направим вдоль этой прямой ось 2 неподвижной в пространстве системы х, у, г. Найдем условия, при которых тело совершает регулярную прецессию относительно оси г с заданными — угловой скоростью собственного вращения, 2 Узловой скоростью прецессии и S — углом нутации (рис. V.13). Разумеется, таким движением уже не может быть движение по инерции, так как ось прецессии не совпадает теперь с направлением кинетического момента, и следовательно, для того чтобы подобного рода регулярная пре- [c.202]

Поясним регулярную прецессию при помощи рис. 43. Неподвижную в пространстве ось момента импульса N направим вертикально вверх точку пересечения этой оси с поверхностью сферы единичного радиуса, описанной вокруг центра эллипсоида инерции, обозначим через N. Точки пересечения мгновенной оси вращения и оси фигуры с этой сферой обозначим через R и F. Так как, согласно построению Пуансо, эти три оси должны лежать в меридиональной плоскости, проходящей через точку F, то наши три точки Ни F лежат на одном меридиане, проходящем через неподвижную точку 7V для случая сплюснутого эллипсоида инерции, который здесь подразумевается (рис. 42а), точка N находится между точками F и R. Мгновенное движение является вращением вокруг оси OR. При этом точка F движется нормально к названному меридиану, причем угловое расстояние между точками F и N не изменяется. Таким образом, мы можем изобразить мгновенное перемещение точки F в виде короткой дуги параллели, описанной вокруг оси ON (см. стрелку слева на рис. 43). Следовательно, и точка R должна изменить свое положение, а именно, переместиться так, чтобы все три точки F N и R оставались на одном меридиане, определяе- [c.180]

В таком виде представляется регулярная прецессия наблюдателю связанному с волчком (конечно, с точки зрения неподвижного в пространстве наблюдателя ось фигуры волчка в каждый данный момент вращается вокруг мгновенной оси вращения, которая, как мы знаем, в свою очередь описывает круговой конус вокруг неподвижного вектора момента импульса N). В применении к вращению Земли, которое мы будем рассматривать, наиболее удобна как раз точка зрения связанного с волчком наблюдателя — обитателя Земли. [c.190]

Возьмем в пространстве, заполненном жидкостью, некоторую точку О (фиг. 52). Пусть ее координаты по отношению к неподвижной системе будут о, rio, о. Начало подвижных осей Ох, Оу, Oz, параллельных осям неподвижной системы, поместим в точке О и исследуем картину распределения скоростей частиц жидкости в данный момент времени в достаточно малой области, окружающей точку О. Вычислим скорость точки М с координатами х, у, Z (величины х, у, г считаем малыми настолько, что квадратами и произведениями их можно пренебречь). Предполагая, что в рассматриваемой области компоненты скорости являются регулярными функциями точки, будем иметь [c.254]

Во многих важных случаях множество Мр является многообразием. Например, это будет так, если р — регулярное значение момента, т. е. если дифференциал отображения Р в каждой точке множества Мр отображает касательное пространство к Л/ на все касательное пространство к д. [c.341]

В диссипативных системах ситуация иная — по определению фазовый объем в таких системах в среднем сжимается, т. е. в среднем по фазовому пространству div и < О (и — векторное поле в фазовом пространстве). Хотя сжатие фазового объема — локальное свойство фазового потока (его можно проверить в любой момент времени в каждой точке), в практически встречающихся системах с трением или вязкостью оно часто влечет за собой глобальное свойство — существование в фазовом пространство аттрактора — замкнутого множества, к которому при t оо стремятся все окружающие траектории и остаются в нем. Устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл — знакомые нам примеры регулярных аттракторов. Поскольку фазовый объем в диссипативной системе сжимается, аттрактор имеет нулевой фазовый объем. Всякая траектория, не принадлежащая аттрактору, является переходной. [c.464]

Теорема 8. Предположим, что регулярная точка М пространства моментов является критической точкой энергии на орбите коприсоединенного представления, и что второй дифференциал энергии (PH в этой точке — знакоопределенная квадратичная форма. Тогда М — устойчивое по Ляпунову) положение равновесия уравнения Эйлера. [c.294]

В 1.4 мы условились, что под телом мы будем понимать борелевское множество в некотором пространстве й, на котором определена неотрицательная мера М, называемая массой. В действительности для большинства целей достаточно ограничиться применением термина тело к множествам, являющ,имся замыканиями открытых множеств. Элементы X т называются телами-точками. В механике сплошных сред мы предполагаем, что фактически гомеоморфно замыканию некоторой регулярной области ) пространства В 1.7 мы определили движение % тела а как отображение множества на область х(- >0 трехмерного эвклидова пространства Ж в момент 1 [c.81]

Рассмотрим кривую, изобран<аюш ую решение в пространстве бгг координат Ц, V = 4 при Ь т. Если Ь — т < 5, то д Ь) являются регулярными функциями . При этом, в частности, не может произойти соударения, так как иначе силовая функция 11 стала бы бесконечной, следовательно, в соответствии с интегралом энергии бесконечной стала бы и кинетическая энергия Т, а вместе с нею по меньшей мере одна из составляюгцих скорости ( (<), что противоречит доказанной регулярности q t). Осуш ествим теперь аналитическое продолжение решения для действительных I > т. Тогда либо все бгг координат для всех конечных действительных моментов времени 4 > т будут регулярными, либо суш ествует особенность для момента > т, по крайней мере для одной из координат q t), но все д 1) при т t < tl остаются регулярными. Мы утверждаем, что II при возрастаюгцем 1 —> tl станет больше любого положительного числа и, следовательно, стремится к положительной бесконечности. Если бы это было не так, то суш ествовала бы такая положительная константа А и такая сходяш аяся к снизу последовательность моментов времени п > т, для которой [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...